乘法公式与因式分解——初中数学中考一轮分层训练(教师版)练习含答案

这是一份乘法公式与因式分解——初中数学中考一轮分层训练(教师版)练习含答案试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．（2025·深圳） 以下运算正确的是（ ）
A．a2+a4=a6B．a3⋅a3=a6C．(a2)3=a5D．(a+b)2=a2+b2
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对A选项，a2，a4不是同类项，不可合并，故A错误；
对B选项，a3⋅a3=a6，故B正确；
对A选项，(a2)3=a6 ，故C错误；
对A选项，(a+b)2=a2+b2+2ab，故D错误；
故答案为： B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、乘方与完全平方公式计算，依次判断即可.
2．（2018·云南）已知x+ 1x =6，则x2+ 1x2 =（ ）
A．38B．36C．34D．32
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】把x+ 1x =6两边平方得：（x+ 1x ）2=x2+ 1x2 +2=36，
则x2+ 1x2 =34，
故答案为：C．
【分析】根据互为倒数的两数的乘积为1，将x+1x=6两边完全平方，再移项合并即可得出答案。
3．（2014·茂名）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6B．a3•a3=a9
C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，故此选项错误；
B、a3•a3=a6，故此选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，正确．
故选：D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和平方差公式分别判断得出即可．
4．（2013·茂名）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（x+y）=ax+ayB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
5．（2024八上·增城期末）已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】x2+kx+9=x2+kx+33，由完全平方式式的性质得k=±2×3=±6.
故答案为：D.
【分析】根据“首平方尾平方，两倍乘积放中间”的规则，直接计算出k的值.
6．（2019八下·未央期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a(x−y)=ax−ayB．x3−x=x(x+1)(x−1)
C．(x+1)(x+3)=x2+4x+3D．x2+2x+1=x(x+2)+1
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.
7．（2024八下·罗湖期中）因式分解：a2b+ab2=
【答案】ab(a+b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b+ab2=ab•a+ab•b=ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）.
【分析】直接提取公因式ab，即可求解.
8．（2017九下·佛冈期中）分解因式： x2−4=
【答案】（x+2)(x−2)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 x2−4 = (x+2)(x−2) ．
故答案为： (x+2)(x−2) ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
9．（2023·深圳）已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×7=42.
故答案为：42.
【分析】将待求式子，利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
10．（2025·广州）求代数式2m2+4mm−2⋅m2−4m+4m的值，其中m=3−1．
【答案】解：2m2+4mm−2⋅m2−4m+4m
=2m(m+2)m−2⋅(m−2)2m
=2(m+2)(m−2)
=2m2−8，
当m=3−1时，
原式=2×(3−1)2−8
=2×(4−23)−8
=8−43−8
=−43．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
二、能力题
11．（2022·呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A．12×8=±2B．(m+n)2=m2+n2
C．1x−1−2x=−1xD．3xy÷−2y23x=−9x22y
【答案】D
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A. 12×8=4=2，故此计算错误，不符合题意；
B. (m+n)2=m2+2mn+n2，故此计算错误，不符合题意；
C. 1x−1−2x=−x−2x(x−1)，故此计算错误，不符合题意；
D. 3xy÷−2y23x=3xy·3x−2y2=−9x22y，计算正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】逐项进行运算判断即可。
12．（2020·郴州）如图 1 ，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为 1 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2 所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2−2x+1=(x−1)2B．x2−1=(x+1)(x−1)
C．x2+2x+1=(x+1)2D．x2−x=x(x−1)
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故答案为：B．
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
13．（2024八下·徐闻月考）已知a+1a=6，则a−1a=（ ）
A．±2B．±3C．−2D．−3
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵a+1a=6，
∴(a+1a)2−4=(a−1a)2=(6)2−4=2，
∴a−1a=±2
故答案为：A.
【分析】先根据完全平方公式进行变形，计算(a−1a)2，进而可得答案．
14．（2025八上·福田期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ）
A．a+b=5B．ab=8C．a2+b2=12D．a−b=2
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；求算术平方根；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，
∵大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，
∴12ab×4+(b−a)2=13，(b−a)2=1，
∴ａ2+ｂ2＝13，ａ2+ｂ2−2ab=1，
∴13−2ab=1，ａ+ｂ2=4ab+1，
∴2ab=12
∴ab=6，ａ+ｂ2=25
∴b+a=5或b+a=−5（舍），ab=6，故Ｂ错误，Ａ正确.
∴ａ2+ｂ2＝2ab+1＝12+1＝13，故Ｃ错误.
∵(b−a)2=1，
∴a−b=±1，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，得12ab×4+(b−a)2=13，(b−a)2=1，进一步根据完全平方公式变形得ａ+ｂ2=25，ab=6，进一步得b+a=5，a−b=±1，ａ2+ｂ2＝2ab+1＝12+1＝13即可得答案.
15．（2025八上·福田开学考）如图，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB=10，两正方形的面积和S1+S2=60，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10B．20C．40D．25
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：设AC=m，BC=n
∵AB=10
∴m+n=10
∵S1+S2=60
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=60
∴mn=20
∴S阴影=12mn=10
故答案为：A
【分析】设AC=m，BC=n，由题意可得m+n=10，m2+n2=(m+n)2-2mn=60，可得mn=20，再根据三角形面积即可求出答案.
16．（2025·东莞模拟）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为14和134，则正方形A，B的面积之和为 ．
【答案】72
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形 A，B 的边长分别为a,b，则
图①中阴影部分面积为a2−b2−2b(a−b)=a2−2ab+b2=14
图②中阴影部分面积为(a+b)2−a2−b2=134
∴a2+b2+2ab−a2−b2=134
∴2ab=134
∴a2+b2=14+2ab=14+134=72．
故答案为：72
【分析】设正方形 A，B 的边长分别为a,b，由几何图形得，a2−b2−2b(a−b)=a2−2ab+b2=14，(a+b)2−a2−b2=134，联立化简即可求出答案.
17．（2025九上·揭阳月考）已知x1，x2是方程x2−4x+2=0的两根，求：x1−x22= ．
【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2−4x+2=0的两根，
由根与系数的关系可得，x1+x2=4，x1x2=2，
对式子x1−x22进行变形，得到x1−x22=（x1+x2)2−4x1x2
再将x1+x2=4，x1x2=2，代入可得：
原式=42−4×2=8，
故答案为：8．
【分析】由x1，x2是方程x2−4x+2=0的两根可得，x1+x2=4，x1x2=2，对式子x1−x22 进行变形，得到x1−x22=（x1+x2)2−4x1x2，代数求解即可．
18．（2024八下·荔湾期末）已知x=3+1，y=3−1，则x2−y2= ．
【答案】43
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x=3+1，y=3−1，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=23×2=43．
故答案为：43．
【分析】先将代数式x2−y2变形为x2−y2=(x+y)(x−y)，再将x=3+1，y=3−1代入计算即可.
19．（2017·深圳模拟）因式分解：2x2﹣18= ．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
20．（2025七下·福田期末） 转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为S1，S2，则S1−S2= .
【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设重合部分面积为S，则S1−S2=(S1+S)−(S2+S)=12a2−12b2 ，由a+b=7，a−b=2，根据平方差公式12(a2−b2)=12(a+b)(a−b)=12×7×2=7.
故答案为：7 .
【分析】通过设重合部分面积，将S1−S2转化为两个等腰直角三角形面积之差，再用平方差公式结合已知a+b、a−b的值计算.
21．（2025七上·深圳月考）数学探究：
（1）例：代数式（a+b）2表示a、b两数和的平方，代数式（a+b）（a-b）表示a、b两数的和与这两个数的差的积；仿照上例填空：代数式a2-b2表示 ；
（2）试计算a、b取不同数值时，a2-b2及（a+b）（a-b）的值，填入下表（侯老师已经算了三个，请把剩余的值补充完整）：
（3）请你再任意给a、b各取一个数值，并计算a2-b2及（a+b）（a-b）的值：
当a= ，b= 时，a2-b2= ，（a+b）（a-b）= .
（4）我的发现：a2-b2 （a+b）（a-b）；（填“”、“＜”或“=”）
（5）用你发现的规律计算：78.352-21.652.
【答案】（1）a、b两数的平方的差
（2）-27；24；-27
（3）2；1；3；3
（4）=
（5）解： 78.352-21.652 =
（78.35-21.65）×（78.35+21.65）
=56.70×100
=5670.
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】（1）根据代数式意义知， 代数式a2-b2表示 ：a、b两数的平方的差，
故答案为：a、b两数的平方的差.
（2）当 a=5，b=1时 ， （a+b）（a-b） =（5+1）（5-1）=24；
当a=-3，b=-6时 ， a2-b2 =（-3）2-（-6）2=-27，
（a+b）（a-b） =【-3+（-6）】【-3-（-6）】=-9×3=-27；
故答案为：-27；24；-27.
（3）当a=2，b=1时， a2-b2= 22-12=3， （a+b）（a-b）= （2+1）（2-1）=3；
故答案为：2；1；3；3.
（4） a2-b2 = （a+b）（a-b） ，
故答案为：=.
【分析】（1）根据代数式的意义作答.
（2）将a、b代入求值即可.
（3）任意取一组a、b的值代入 a2-b2及（a+b）（a-b） 求值即可.
（4）根据（2）（3）得出结论 a2-b2=（a+b）（a-b）.
（5）根据a2-b2=（a+b）（a-b）计算即可.
22．（2025八上·封开期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用含m，n的代数式表示图b中阴影部分的面积：________．
（2）观察图b，请问下面三个式子m+n2，m−n2，4mn之间有什么等量关系？
（3）根据（2）中的等量关系，解决以下问题：
①已知a−b=5，ab=−6，求a+b的值？
②已知a>0，a−2a=1，求a+2a的值？
【答案】（1）m−n2或m+n2−4mn
（2）解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得：
m−n2=m+n2−4mn．
（3）解：①由（2）得a+b2−4ab=a−b2，∵a−b=5，ab=−6，
∴a+b2−4×−6=52，
∴a+b2=1，
解得a+b=±1；
②∵a+2a2=a−2a2+4⋅a⋅2a，a−2a=1，
∴a+2a2=a−2a2+4⋅a⋅2a=a−2a2+8=9，
∵a>0
∴a+2a>0
∴a+2a=3．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为m−n，面积为m−n2；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积−4个长为m，宽为n的面积，
即图b中阴影部分的面积为m+n2−4mn；
故答案为：m−n2或m+n2−4mn
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景及利用完全平方公式变形求值。
（1）求阴影部分面积有两种思路，一是观察阴影部分为正方形，边长为m−n，根据正方形面积公式得面积为(m−n)2；二是用大正方形面积减去4个小长方形面积，大正方形边长为m+n，面积为(m+n)2，每个小长方形面积为mn，4个总面积为4mn，因此阴影部分面积也为(m+n)2−4mn；
（2）由阴影部分面积的两种表达式，可直接得出等量关系(m−n)2=(m+n)2−4mn；
（3）①利用（2）的等量关系变形得(a+b)2=(a−b)2+4ab，将a−b=5、ab=−6代入，计算得(a+b)2=25+4×(−6)=1，因此a+b=±1；②同理，(a+2a)2=(a−2a)2+4×a×2a，将a−2a=1代入，得(a+2a)2=1+8=9，又因为a>0，所以a+2a>0，故a+2a=3。
（1）解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为m−n，面积为m−n2；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积−4个长为m，宽为n的面积，
即图b中阴影部分的面积为m+n2−4mn；
（2）解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得：
m−n2=m+n2−4mn．
（3）解：①由（2）得a+b2−4ab=a−b2，
∵a−b=5，ab=−6，
∴a+b2−4×−6=52，
∴a+b2=1，
解得a+b=±1；
②∵a+2a2=a−2a2+4⋅a⋅2a，a−2a=1，
∴a+2a2=a−2a2+4⋅a⋅2a=a−2a2+8=9，
∵a>0
∴a+2a>0
∴a+2a=3．
三、拓展题
23．（2025八上·潮南期末）探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2−6x+9=___________；25x2+10x+1=__________；4x2+12x+9=___________；
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有−62=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，于是小明发现：若多项式ax2+bx+ca>0,c>0是完全平方式，那么系数a、b、c之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式k+1x2−2k+6x+k+6是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出k的值．
【答案】（1）x−32；5x+12；2x+32；
（2）b2=4ac；
（3）∵多项式k+1x2−2k+6x+k+6是一个完全平方式，
∴−2k+62=4k+1k+6，
整理得：4k2+24k+36=4k2+28k+24，解得：k=3，
∴k的值为3.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；探索数与式的规律；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）x2−6x+9=x−32；25x2+10x+1=5x+12，4x2+12x+9=2x+32
故答案为：x−32；5x+12；2x+32．
（2）∵观察上述三个多项式的系数，有−62=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，
∴若多项式ax2+bx+ca>0,c>0是完全平方式，那么系数a、b、c之间存在的关系式为：b2=4ac．
故答案为：b2=4ac．
【分析】(1)本题考察完全平方公式的逆用（因式分解），解题时观察每个多项式的结构，判断是否符合完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的形式。对于x2−6x+9，x是a，3是b，中间项-6x是−2×x×3，因此分解为(x−3)2；对于25x2+10x+1，5x是a，1是b，中间项10x是2×5x×1，因此分解为(5x+1)2；对于4x2+12x+9，2x是a，3是b，中间项12x是2×2x×3，因此分解为(2x+3)2。
(2)本题考察对完全平方式系数规律的总结，解题时观察(1)中三个完全平方式的系数关系：第一个多项式中b=−6，a=1，c=9，满足(−6)2=4×1×9；第二个多项式中b=10，a=25，c=1，满足102=4×25×1；第三个多项式中b=12，a=4，c=9，满足122=4×4×9，由此可归纳出完全平方式ax2+bx+c(a>0,c>0)中系数的关系式为b2=4ac。
(3)本题考察完全平方式系数关系的应用和一元二次方程的解法，解题时首先明确多项式(k+1)x2−(2k+6)x+(k+6)是完全平方式，结合(2)中得出的b2=4ac，确定该多项式中a=k+1，b=−(2k+6)，c=k+6；将其代入关系式b2=4ac，得到[−(2k+6)]2=4(k+1)(k+6)；展开方程左边得4k2+24k+36，右边得4(k2+7k+6)=4k2+28k+24；整理方程，移项、合并同类项后得到−4k+12=0，解这个方程即可求出k的值。
24．（2025八上·湛江期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：x2−xy+4x−4y
=x2−xy+4x−4y（分成两组）
=xx−y+4x−y（直接提公因式）
=x−yx+4．
乙：a2−b2−c2+2bc
=a2−b2+c2−2bc（分成两组）
=a2−b−c2（直接运用公式）
=a+b−ca−b+c．
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2−1−2ab．
（2）已知a−b=3，b−c=−4，求式子a2−ac−ab+bc的值．
（3）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+2c2=2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：a2+b2−1−2ab
=a2−2ab+b2−1
=a−b2−1
=a−b+1a−b−1
（2）解：a2−ac−ab+bc
=a2−ac+bc−ab
=aa−c+bc−a
=a−ca−b，
∵a−b=3，b−c=−4，
∴a−c=−1，
原式=3×−1=−3。
（3）解：等边三角形，理由如下：
∵a2+b2+2c2=2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2−2ac−2bc=0，
∴a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，
∴a−c2+b−c2=0，
∴a−c=0，b−c=0，
∴a=c=b，
∴△ABC是等边三角形．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；偶次方的非负性；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先分组，将a2−2ab+b2利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式分解即可；
（2）先分组，然后分别利用提公因式法提取公因数a和b进行分解，再提取公因式a-c得出分解结果a−ca−b，结合条件求得a−c=−1，最后整体代入求解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解得出a−c2+b−c2=0，再利用偶次幂的非负数的性质即可得出a=c=b，从而确定△ABC的形状。
（1）解：因式分解：a2+b2−1−2ab
=a2−2ab+b2−1
=a−b2−1
=a−b+1a−b−1；
（2）解：a2−ac−ab+bc
=a2−ac+bc−ab
=aa−c+bc−a
=a−ca−b，
∵a−b=3，b−c=−4，
∴a−c=−1，
原式=3×−1=−3；
（3）解：∵a2+b2+2c2=2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2−2ac−2bc=0，
∴a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，
∴a−c2+b−c2=0，
∴a−c=0，b−c=0，
∴a=c=b，
∴△ABC是等边三角形
a、b的值
当a=5，b=1时
当a=-4，b=2时
当a=-3，b=-6时
a2-b2
24
12

（a+b）（a-b）

12