安徽师范大学附属中学2026届高三下学期3月模拟考试 数学（含解析）

这是一份安徽师范大学附属中学2026届高三下学期3月模拟考试 数学（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
是符合题目要求的。
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 在直角三角形 中，斜边 的中点为 ，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3. 列选项中，与复数 （i 为虚数单位）相等的复数是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知锐角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5. 已知 是椭圆 的左右焦点，点 在直线 上， 为等腰三
角形， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6. 在一个水平平面 上放一个半径为 2 的球，球面上两点 满足 ， 是球心，且点 到平面 的
距离为 3，则点 到平面 距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则对于 ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8. 已知 是定义在 上周期为 2 的偶函数，且当 时， .设 ，
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 的最小值为 3 B．若 ，则 的最小值为
C．函数 的最小值为 D．若 ，且 ，则
10. 如图，已知正方体 的棱长为 2，P 是正方形 （包括边界）底面内的一动点，则下
列结论正确的有（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．存在点 P，使得
C．若 ，则 P 点在正方形 内的运动轨迹长度为
D．若点 P 为 的中点，点 Q 为 的中点，过 P，Q 作平面 平面 ，则平面 截正方体
所得截面的面积为
11. 已知 是定义在 上的奇函数， ， 是奇函数，且 ，则下列说法中正确
的有（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 过 ， ， 三点圆的方程为____________.
13. 存在狄利克雷函数 ，若 ， ，则 的所有值之和为_______.
14. 如图，圆锥 有且仅有一条母线 在平面 内，圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则圆锥外接
球的表面积为 ；若 是 中点， ，且点 到直线 的距离为 ，则 与圆锥底面所
成角的余弦值为 .
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）在△ABC 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且△ABC 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 边上的高 .
16.（15 分）如图， ， ， 都是等边三角形，点 D，E 分别在平面 的上方和下方，点
为 中点.
(1)求证：A，D，O，E 四点共面；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
17.（15 分）已知函数 ．
(1)若函数 过原点 的切线为 ，求实数 的值；
(2)若函数 的图象与 相交于两个不同点 ， ，记直线 的斜率为 ．
（i）当 时，求实数 取值范围；
（ii）当 时，证明： ．
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18.（17 分）已知椭圆 的离心率为 ，左､右焦点分别为 ，过 的直线 （斜
率存在且不为 0）与椭圆 相交于 两点， 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 两点分别作椭圆 的切线 ，设 与 交点为 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值.
19.（17 分）已知随机变量 的取值为非负整数，其分布列为：
0 1 2
其中 ，且 .由 生成的函数为 .
(1)若 生成的函数为 ，设事件 ：当 为奇数时，求 的值；
(2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有 1 个红球，在盒二中有 2 个蓝球和 4 个绿球（球的颜色不同，
其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为 ，设随机变量 生成的
函数为 ，其中 分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率.
请判断 与 的大小关系；
(3)从方程 的自然数中等可能地随机选取一组解，用 表示一组解中最小的数，此时由 生成
的函数记为 ，令 ，求 的极小值点.
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 【答案】B
【详解】因为 ，则 ，则 .故选：B
2. 【答案】C
【详解】 ，∵ 为斜边 的中点，∴ ，
∴ ，∴ ，
在直角 中， ，∴ ，∴ .故选：C
3. 【答案】A
【详解】 ．故选：A
4. 【答案】C
【详解】 ， ， ， ， ，
是锐角， ， ， ，
，
， ， ， ，
1
.故选：C.
5. 【答案】B
【详解】由题意知 ，由 为等腰三角形，且 ，得
，过 作 垂直 轴于 ，如图所示，则在 中， ，故
， ，
所以 ，即 ，代入直线 的方程 ，
得 ，即 ，所以所求的椭圆离心率为 .故选：B.
6. 【答案】D
【详解】过 作与平面 平行的截面，截面直径为 ，如图，
，取 中点 ，过 作 平行线交球 与 ，
则点 在以 为直径的小圆上，当 在 点时，过 作与 垂直的直径交球 于 ，
则 点在以 为直径的大圆运动，当 位于 点时， 到平面 距离最大，
设 ，则 ， ，所以 到 距离最大值为
，故选：D
7. 【答案】D
【详解】令 ， ， ， ， ，A 错； ，B 错；
2
，C 错；一般情况， 时， ， ， ，
，此时 ； 时， ，
左边 ，
右边 左边，D 对；
故选：D．
8. 【答案】B
【详解】 ，且 在[0，1]上单调递减，因为
，所以 ，故选:B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 【答案】BCD
【详解】对于 A，∵ ，
∴ ，∴ ，
当且仅当 ，即 时，取得最大值 ，故 A 错误；
对于 B， ，当且仅当 ， 时， 取到最小值为 ，故 B
正确；
对于 C，
.当且仅当 时，取等号，故 C 正确；
对于 D，当 ，且 时， ，∴ ，
当且仅当 ， 取最大值 ，故 D 正确.故选：BCD
10. 【答案】ACD
【详解】对于 A，在正方体 中，平面 平面 ，
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则点 P 到平面 距离为定值， 的面积为定值， 为定值，A 正确；
对于 B，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
设 ， ， ，
不垂直，因此不存在点 P，使 ，B 错误；
对于 C，连接 ， 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则 .
同理得 ，又 平面 ，则 平面 ，
由 ，得 平面 ，又 平面 ，因此点 轨迹为平面
与底面 交线，即为线段 ，又 ，C 正确；
对于 D，取 中点为 ，连接 ， 平面 ，
由 平行于 ， 平面 ，得 ，又 ，则 平面 ，
又取 中点为 ，则 ，有 四点共面，则平面 平面 .
平面 即为平面 ，设平面 分别与 交于 ，
由平面 平面 ，平面 ，平面 ，
则 ，又 都是中点，则 是 中点，同理 是 中点，
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于是平面 截正方体 所得截面为正六边形，又正方体棱长为 2，则 ，
所以截面面积为 ，D 正确.
故选：ACD
11. 【答案】ACD
【详解】由于 是定义在 上的奇函数，所以 ，则 ，即 ，故
A 正确；因为 是奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，令 ，所以 ，所以 ，即 的图
象关于直线 对称，则 ，故 B 错误； ，故 C 正确；
，故 D 正确.故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 【答案】 （或 ）（两种形式均正确）
【详解】设所求圆的方程为 ，
由已知 三点在圆上， ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 .故答案为： （或 ）（两种
形式均正确）.
13. 【答案】13
【详解】令 ，则 为有理数，又因为 ， ，即 ， ，
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要使 为有理数，则 必须是整数，令 ，则 ，因为 ，所以
，则 ，解得 ，所以 的可能取值有
共 个，所以 的次数为 ，则 的所有值之和为 .
14.【答案】
【详解】设圆锥的母线长 ，底面半径 ，因为圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，所以
， ，解得 ，所以 中， ，设圆锥外接圆
的圆心为 G，半径为 R，由圆锥外接圆的性质可知，点 G 在线段 上，在 中，
，即 ，解得 ，故圆锥外接球的表面积为 .
在平面 内过点 P 作直线 ，取 中点 M，连接 ，则 ，且 ，因为顶点为 的
圆锥有且仅有一条母线 在平面 内，所以平面 平面 ,又平面 平面 ， 平面
，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，过 作 垂线，分别交 ， 于点 和
，连接 ， ，即 ,又 , 平面 ，所以 平面 ,又 平
面 ，所以 ，即 到 的距离为 ，所以 ，所以
，因为 ，所以 ，所以 ，在 中，
，在 中， 设
与圆锥底面所成角为 ，则 ，则 ,即 与圆锥
底面所成角的余弦值为 .故答案为： ； .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分） (1) (2)
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【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又△ABC 的面积 ，所以 ，所以 .
（2）由正弦定理得 ，则 ，所以 ，
由余弦定理， ，解得 ，
即 ，又△ABC 的面积 ，解得 ，即 边上的高 为
.
16.（15 分） (1)证明见解析 (2)
【详解】（1）连接 DO、AO、EO，
因为 ， ， 都是等边三角形，所以 ，
又 在平面 内交于点 O， 在平面 内交于点 O，
所以 平面 ， 平面 ，因为过 O 只有一个平面与 垂直，且平面 与平面 有公共
点 O，所以平面 与平面 是同一平面，即 A，D，O，E 四点共面；
（2）连接 DO、AO、EO，AD，以 OA，OB 分别为 x、y 轴，以过点 O 且垂直于平面 ABC 的直线空间直角
坐标系，
则 ，因为 是等边三角形，边长 ，点 为 中
点，所以 ，所以 又 ，
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设 ，所以 ，解得 ，所以 ，
因为 是等边三角形，边长 ，点 为 中点，
所以 ，又 ，设 ，
所以 ，解得 ，由(1)得 为二面角 平面角，
设 ，则点 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 得
，所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
其中 ，当 时， 取得最大值为 ，所以直线 与平面 所成
角的正弦值的最大值 .
17.（15 分） (1) (2)（i） ；（ii）证明见解析；
【详解】（1）设切点为 ， ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 处的切线为 ，将 代入得 ，解得 ，
（2）（ⅰ）当 时，原问题 有两个不等实根．
， ，令 ，
则 ， 在 上递增，
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，使得 ， 当 时， ，当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，设 ，则 ，当 时， ，当 时，
， ， ．
（ⅱ）设 ， ，不妨设
则 ，即 ， ，令 ，
则 ， 是方程 两个根．
又
欲证 ，只需证
，设
则
∴当 时， ；当 时， ；
在 递减， 递增，设 ，下面证明
， ，
设 ， ，则
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故 ． 在 递增， ， ， ，
又 在 递减， ，故 ．
18.（17 分） (1) (2)（i） ;（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意可设 ，则 ，根据椭圆的定义可知 的周长为
，所以 ，即椭圆方
程为 ；
（2）设点 在椭圆 上，易知 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时
取得等号，即椭圆上有且仅有一点 在直线 上，所以过椭圆上一点 的切线方程为：
；
（i）由上知 ，可设 l 方程为 ， ，而直线 斜率存在且不为
0 及椭圆的对称性可知 ，则 分别为 ，联立 可得
是定值，又作差可得 ，整理得
，即 ，所以 M 点在定直线 上；
（ii）易知 ，联立 得 ，
所以 ，则
，是定值，证毕.
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19.（17 分） (1) (2) (3)
【详解】（1）解：由变量 生成的函数为 ，
可得 ，所以 ，
所以当 为奇数时，可得 .
（2）证明：由 分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率，
故 ，即 ，所以 ，
所以 生成的函数为 ，可得 ，则 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，故 ，因为 ，
所以 ，所以 .
（3）解：由方程 的自然数中等可能地随机选取一组解，
可得有序三元组 的总数的组合数为 种，
由随机变量 ，所以随机变量 的可能取值为 ，
当 时，即数组 中，有 1 个 0 或 2 个 0，可得 ；
当 时，即数组 中，有 1 个 1 或 2 个 1，可得 ；
当 时，即数组 中，有 1 个 2 或 2 个 2，可得 ；
当 时，即数组 中，三个数都是 3，可得 ，
则变量 的分布列为
11
0 1 2 3
所以 ，可得 ，
则 ，令 ，即 ，解得 ，
所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，所以，当 是函数 的极小值点.
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