安徽省师范大学附属中学2024届高三下学期最后一卷模拟数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 2024年5月28日
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．四答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（ ）
A. B. 3C. 5D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先化简复数，再求出，最后得解.
【详解】，
，
.
故选：C
2. 设，则“”是“为的等比中项”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断“”和“为的等比中项”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】取，满足，但不成等比数列，
故“”推不出“为的等比中项”；
当为的等比中项时，必有成立，
故“”是“为的等比中项”的必要不充分条件，
故选：B
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 正方体各面所在平面将空间分成27个部分
B. 过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行
C. 若空间中四条不同的直线满足，则
D. 若为异面直线，平面平面，且与相交，若直线满足，则必平行于和的交线
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间关系，可以判断AB，对于C可用正方体模型来举反例，对于D也是举反例.
【详解】对于A，利用四个侧面将空间分成九个部分，再由上下底面又将空间分成上中下三层，所以可以将空间分成27个部分，故A是正确的；
对于B，因为过平面外一点可以作一个平面与该平面平行，在这个平行平面内有无数条过该点的直线都与已知平面平行，故B是错误的；
对于C，
在正方体中，把看成，把看成，把看成，把看成，
它们满足，但不满足，故C是错误的；
对于D，由平面平面，且与相交于，则，
即满足条件，但此时与重合，它们不平行，故D是错误的；
故选：A.
4. 下列选项中，所得到的结果为4的是（ ）
A. 双曲线的焦距
B. 的值
C. 函数的最小正周期
D. 数据的下四分位数
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线关系，求，求焦距，判断；运用二倍角变形公式化简，判断；依据正切型函数的最小正周期，代入求解，判断；按照求解百分位数的步骤，直接求解，判断.
【详解】对于，，双曲线的焦距为，故错误；
对于，，故错误；
对于，最小正周期，故正确；
对于，一共有12个数据，，
所以这组数据的下四分位数是从小往大排列，第3个和第4个的平均数，
即，故错误.
故选：C.
5. 已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（ ）种
A. 186B. 264C. 284D. 336
【答案】D
【解析】
【分析】先考虑A和B不相邻的排法，再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，相减后得到答案.
【详解】先考虑A和B不相邻排法，
将C、D、E、F四个人进行全排列，有种情况，
C、D、E、F四个人之间共有5个空，选择2个排A和B，有种情况，
故有种选择，
再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，
先从两端选择一个位置安排C，有种情况，
再将D、E、F三个人进行全排列，有种情况
最后D、E、F三个人之间共有4个空，选择2个排A和B，有种情况，
故有种情况，
则要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的安排有种情况.
故选：D
6. 已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到，所以，设为边的中点，根据向量的运算法则，求得，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由，可得圆心，半径，
因为直线交圆于两点，且圆被截得两段弧的长度比为，
所以，可得，
设为边的中点，可得，
则
，
当且仅当与方向相同时，等号成立，
因为，所以.
所以的最大值为.
故选：B.
7. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解.
【详解】令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以，
而，
令，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，所以，
,
令，
则，
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即，所以，
综上所述，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造和两个函数，是解决本题的关键.
8. 已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（ ）
A. 1012B. 2024C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到，故，求导得到，两边求导得到，从而得到，故，故是的一个周期，其中，根据周期性求出答案.
【详解】由于，则，
两式相加得，
故，
所以，
故，即，
其中两边求导得，，
故，
故，
将替换为得，
又，
故，
将替换为得，
则，
故是的一个周期，
其中，
故，
故.
故选：D
【点睛】结论点睛：
设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的为（ ）
A. 在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，意味着模型的拟合效果越好
B. 数据的标准差为，则数据的标准差为
C. 已知随机变量，若，则
D. 在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用决定系数的意义可判断A；计算的标准差可判断B；由正态分布概率计算可判断C；摸出的两个球“均为黑球”的对立事件为“摸出的两个球“不全为黑球”，可判断D.
【详解】对于A，决定系数的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，故A正确.
对于B：设数据的平均数，则的平均数为，
标准差为，故B正确；
对于C：因为随机变量，所以，
又因为，所以，
所以，故C正确；
对于D：在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，
则摸出的两个球“均为黑球”的对立事件为“摸出的两个球“不全为黑球”，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知，下面结论正确的是（ ）
A. 时，在上单调递增
B. 若，且的最小值为，则
C. 若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
【答案】CD
【解析】
【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断.
【详解】对于A，，
当时，，
而在不单调，故A是错误的；
对于B，，由的最小值为，
则函数周期为，所以，解得，故B是错误的；
对于C，在上恰有7个零点，结合正弦曲线可知，
，解得：，故C是正确的；
对于D，由的图象向右平移个单位长度后得到：
，由它关于轴对称，可知：，
解得：，当时，，故D是正确的；
故选：CD.
11. 已知、是曲线上不同两点，为坐标原点，则（ ）
A.
B.
C. 线段PQ长度的最大值为
D. 当均不在轴上时，过点分别作曲线的两条切线与，且当时，与之间的距离记为，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】就不同的符号分类讨论后可得曲线，结合两部分的几何性质可求判断AB的正误，就不同分布分类计算后可判断C的正误，对于D，可判断在不同的曲线段上，设出切线方程，结合判别式或几何性质可求，从而可求其范围，故可判断D的正误.
【详解】
由题设可得曲线：或
，
整理得到：或，
由解得，由解得.
故曲线如图所示：
此时轴上半部分为椭圆，其焦点为,
3个顶点为，
其下半部分为圆弧，其圆心为，半径为2.
对于A，当在半椭圆上时，，
当在圆弧上时，，故，
故，故A错误.
对于B，设，则为椭圆的下焦点，
，
若在半椭圆上，则，
若在圆弧上，则
综上，，故B正确.
对于C，
当在半椭圆上时，设，不妨，
由可得，
故，且.
故，
此时
，当且仅当时等号成立，
故此时.
当同在弧上时，此时恒成立，
当一个在圆弧上，另一个在半椭圆上时，不妨设在半椭圆上，
则，
若求的最大值，由椭圆和圆的对称性可设，
则，
表示到的距离，由在半椭圆上的分析可得，
而表示到的距离，而为椭圆的下焦点，故，
综上，总成立，故C正确.
对于D：因两条切线平行，故一个在半椭圆上，一个在圆弧上，不妨设在椭圆上，
由对称可设半椭圆在处的切线方程为，，
设圆弧在处的切线方程为，，
由C的分析可得：即，
又即，
故
，
因直线与圆弧相切，故即，
设，则，
且该函数上为减函数，故，故D正确.
故选: BCD.
【点睛】思路点睛：关于组合曲线的性质的研究，需就点的不同分布分类讨论，如果点分布在不同的曲线上，则考虑一些几何性质时，要注意多变量问题的合理转化.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出的展开式的第4项的系数：______．（用数字表示）
【答案】-160
【解析】
【分析】利用二项式定理得到通项公式，求出第4项系数.
【详解】.
故答案为：
13. 在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则四面体的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设四面体的外接球的球心为，列式求解可得，即可求得外接球的半径，由球的体积公式即可求得答案.
【详解】以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设四面体的外接球的球心为，
则,即得
，
整理得，解得，
故四面体的外接球的半径为，
故四面体的外接球的体积为，
故答案为：
14. 已知实数，且满足，当取得最大值时，______．
【答案】7
【解析】
【分析】求得，分类讨论可求得取得最大值为6，此时或，进而可求得.
【详解】由，
可得,
当时，若时，随的增大而增大，此时，
若时，，
当且仅当，解得时，的最大值为6，所以取得最大值为6，
同理可得当时，可得，取得最大值为6，
故.
故答案为：7.
【点睛】关键点点睛：本题求最值时关键是用不等式：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本大题满分13分）
15. 已知分别为三个内角的对边，且
（1）求；
（2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得.
【小问1详解】
由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因为，
所以，则．
【小问2详解】
由有
又可得，
联立解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得．
故的长为.
16. 如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面，
（1）求证：两两垂直；
（2）若为中点，为中点，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在上任取一点，作交于，作交于，证明平面，从而证明，继而推出，即可证明平面，继而可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法啊，即可求得答案.
【小问1详解】
在上任取一点，作交于，作交于，
由平面平面交于面，，则平面，
又平面，则，同理，
又由平面，可得平面，
平面，则．
同理可得，即两两垂直．
【小问2详解】
分别以DB，DC，DA所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
易得，
有，
设面的法向量，则由，
即，可取．
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角的正弦值为
17. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：
（2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率．
（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为．事件“”的概率为，求使取得最大值时的值．
参考公式：，其中．
【答案】（1）可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算，与临界值比较后得结论；
（2）全概率公式计算概率；
（3）依题意可得，即可得到，从而得到，解得即可.
【小问1详解】
：假设食堂就餐与性别无关
由列联表可得
所以依据小概率值的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关．
【小问2详解】
记星期二选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为，
星期四选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为，
则，
所以，
所以．
【小问3详解】
依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率，
则，所以且，
若取得最大值，则，
即，解得
又且，所以．
18. 已知点是椭圆与抛物线的交点，且、分别为的左、右顶点.
（1）若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程；
（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于两点，与相交于两点，，若直线的斜率为1，求的值；
（3）设直线，直线分别与直线交于两点，与的面积分别为，若的最小值为，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知求得椭圆，可求得，代入抛物线方程可求，可求得的准线方程；
（2）设，联立直线与椭圆方程可求得，联立直线与抛物线方程可求得，可求得；
（3）由三点共线，可得同理可得，可求得，，可得，计算可求得的最小值.
【小问1详解】
由题意得，故，则，解得，故椭圆，
因为，所以，所以，将其代入中，
即，解得，
故的准线方程为；
【小问2详解】
由题意得，解得，故，
直线的方程为，联立得，，
设，则，
故，
联立与得，，
设，则，
故，
若方向相同，，若方向相反，，
所以；
【小问3详解】
由三点共线，可得，故
同理，由三点共线，可得，
则
因为，所以，
所以，
又，故，
因为，令，则，
所以，其中，
因为，所以的开口向下，
对称轴为，其中，
故当时，取得最大值，
最大值为，
故的最小值为，令，解得，负值舍去，
故，解得，此时
又，故，
则点的坐标为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围.
19. 若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
（1）已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；
（2）若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
（3）设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据的性质，由等量关系代换成关于的结论，紧扣定义，即可证明；
（2）由原函数有三个零点，且导函数为二次函数，分析出导函数有两个零点，判别式大于零，推得；有三个零点，得到有三个零点，再次借助导函数的零点个数，可以得到，即可得证；
（3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
因为，所以，因为正项数列是一个“凸数列”，
所以，所以，所以，
所以数列是一个“对数性凸数列”，，
所以，变形可得到，
所以数列是一个“对数性凸数列”，且有.
【小问2详解】
因为有三个零点，
所以有两个不等实数根，
所以，
又，所以；
时，，所以不是零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
令，则有三个零点，
所以有两个零点，
所以，
因为，
所以正项数列对任意的相邻三项，都满足，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
【小问3详解】
记，则要证，
即证，
即，即①，
因为数列为对数性凸数列，所以，，
所以，所以，
，
而，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故式①成立，所以原不等式成立．
【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解.
男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
40
20
60
不喜欢食堂就餐
10
30
40
合计
50
50
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828