安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月测试数学试题

这是一份安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月测试数学试题，共13页。试卷主要包含了已知集合，则，在等差数列中，若，则公差，已知，则，1，参考数据等内容，欢迎下载使用。


一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，则公差（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知不重合的直线和平面，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知的平均数和方差分别为4，10，那么数据的平均数和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.1 B.-1 C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9
8.已知定义在上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知为复数，设在复平面上对应的点分别为，其中为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. D.
11.设定义在上的可导函数和满足为奇函数，且.则下列选项中正确的有（ ）
A.为偶函数
B.为周期函数
C.存在最大值1
D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.已知，若在圆上存在点满足，则实数的取值范围是__________.
14.已知动点分别在圆和曲线上，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数在区间上的最值.
16.（15分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求和的标准方程
（2）若和交于不同的两点，求的值.
17.（15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，.
（1）求证：平面平面；
（2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值.
18.（17分）设为数列的前项和，已知是首项为､公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）令为数列的前项积，证明：.
19.（17分）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
（3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”
安徽师范大学附属中学2023-2024学年第二学期测试
参考答案：
1.C
【详解】由，
由，所以，
2.B
【详解】在等差数列中，因为，所以，求得.
3.C
【详解】可得两平面的法向量垂直，则两平面垂直，
平面垂直可得两平面的法向量垂直，
4.D
【详解】设数据的平均数和方差分别为和，
则数据的平均数为，方差为，
得，
5.C
【详解】因为，且，所以，即，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
6.B
【详解】，
所以，则.
7.B
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，两边同时取自然对数并整理，
得，
则，则给氧时间至少还需要0.5小时
8.D
【详解】设，因为，
又，所以，即在上为增函数，
选项A：因为，即，化简得，故A成立；
选项B：因为，即，化简得，故B成立；
选项C：因为，即，化简得，故C成立；
选项D：因为，即，化简得，而
故D不一定成立；
9.ABD
【详解】对于A，，均有唯一确定，符合函数定义，A正确；
对于B，，均有唯一确定，符合函数定义，B正确；
对于C，，取，不符合函数定义，C错误；
对于，均有唯一确定，符合函数定义，正确.
10.AB
【详解】设，，
对于A，，故选项A正确；
对于B，，故选项B正确；
对于C，，
当时，，故选项C错误；
对于D，，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项错误.
11.AD
【详解】选项，由为奇函数，即，对方程两边同时求导，
根据求导法则，得，即，
从而为偶函数，所以正确.
选项，由题意知，构造函数，
根据求导法则，得，
于是，构造函数，根据求导法则，
得.
从而，即，其中为待定常数.
由为奇函数，得.再由，得，
又，即，
从而.
另由为奇函数，为偶函数知，
，
与联立，解得.
由于当时，，
故不是周期函数，所以不正确：
C选项，由基本不等式知，，
其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为1，所以不正确：
D选项，
，
D正确.
12.2
【详解】由，
所以.
13.
【详解】设，将坐标代入式子，可得，
即，则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
依题意，两圆有公共点，则，解得.
14.
【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，故的最小值为，
则的最小值等于.
15.【详解】（1）因为，所以，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当时，由，解得或，由，得到
，
此时在上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，解得或，由，得到，
此时在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，则，
由，得到或，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，
所以当时，函数在上的最小值为0，最大值为5.
16.【详解】（1）设抛物线的标准方程为，则，
结合表格数据，因为，
所以点在抛物线上，且，解得，
所以抛物线的标准方程为.
将点代入椭圆的标准方程中，
得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）根据对称性，可设两点坐标分别为，
联立方程组，消得，
解得，因为，所以.
所以.
17.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，
为正三角形，且.
为的中点，，
又底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形，而，所以四边形为矩形，.
平面平面
平面平面平面
（2）由（1）得，由（1）又可得
如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系则，
.
设平面的法向量为，
由，得，令，则，
设与平面所成的角为，则
，
与平面所成角的正弦值为.
18.【详解】（1）由是首项为､公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故，
当时，，符合上式，
故；
（2）由，
故，
则，
由，故，
则.
19.【详解】（1）集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③
（ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设，则有，即不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
（2）证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或（舍），
因为是偶数，所以集合，
令，解得，
显然，
所以集合是集合的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于，
不妨设，令，则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数，
令，则由条件①得，
由条件②得，
由条件③得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，
所以，
因为，
所以均属于
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”.
综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.1
2
2
0