2026高考物理专题复习之历年真题精选分类汇编（教师版）_专题四　曲线运动

这是一份2026高考物理专题复习之历年真题精选分类汇编（教师版）_专题四　曲线运动，共6页。
题点1 曲线运动
(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是( )
【答案】A
【解析】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧.
【难度】基础题
题点2 运动合成问题
(2025·江苏卷·4)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则( )
A.A点做匀速圆周运动
B.O'点做匀速圆周运动
C.此时A点的速度小于O'点
D.此时A点的速度等于O'点
【答案】B
【解析】A点运动为A点绕O'的圆周运动和O'绕O点的圆周运动的合运动，则轨迹不是圆周，不做匀速圆周运动，故A错误；根据题意O'固定在底盘上，故可知O'围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上且A点和O'点运动方向相同，则vA＝vO'＋vA'，vA'为A相对于O'的速度，故此时A的速度大于O'的速度，故C、D错误。
【难度】基础题
(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则( )
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C．t＝1 s时，物块的加速度大小为5eq \r(3) m/s2
D．t＝2 s时，物块的速度大小为10eq \r(2) m/s
【答案】BD
【解析】根据题图乙可得F1＝4－t(N)，F2＝3t(N)，故两力的合力为Fx＝4＋2t(N)
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay＝eq \f(mgsin 30°,m)＝gsin 30°＝5 m/s2
故t＝1 s时，物块的y坐标值为
y＝eq \f(1,2)ayt2＝2.5 m
故B正确；
t＝1 s时，Fx＝6 N，故ax＝eq \f(Fx,m)＝5 m/s2
则a＝eq \r(ax2＋ay2)＝5eq \r(2) m/s2
故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得
Fxt＝mvx－0
由于Fx与时间t成线性关系，故可得
eq \f((4＋2×0)＋(4＋2×2),2)×2＝1.2vx
解得vx＝10 m/s
此时y轴方向速度大小为
vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s
故此时物块的速度大小为
v＝eq \r(vx2＋vy2)＝10eq \r(2) m/s
故D正确。
【难度】基础题
(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
【答案】D
【解析】以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上.
【难度】基础题
题点3 运动分解问题
(2025·湖南卷·2)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是( )
【答案】C
【解析】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度大小为a，斜面倾角为θ，物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为v0x＝v0cs θ，加速度大小为ax＝acs θ，则有vx2－v0x2＝－2axx，整理可得vx＝(v0csθ)2−2acsθ·x，可知，vx－x图像为类似抛物线的一部分，故A、B错误；物块在竖直方向上做匀减速直线运动，初速度为v0y＝v0sin θ，加速度大小为ay＝asin θ，则有vy2－v0y2＝－2ayy，整理可得vy＝(v0sinθ)2−2asinθ·y，可知，vy－y图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。
【难度】基础题
(2025·黑吉辽蒙·6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v( )
A.一直减小B.一直增大
C.先减小后增大D.先增大后减小
【答案】B
【解析】设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳方向和垂直绳方向分解，可得v块cs θ＝vsin θ，解得v＝v块tanθ，由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大。故选B。
【难度】中档题
(2021·辽宁卷·1)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河．首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突．若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A．75 s B．95 s
C．100 s D．300 s
【答案】D
【解析】河宽d＝300 m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度v＝1 m/s，渡河时间最短为tmin＝eq \f(d,v)＝eq \f(300,1) s＝300 s．故选D.
【难度】基础题
(2021·广东卷·4)由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
【答案】A
【解析】由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，则P点的线速度大小不变，P点的加速度方向时刻指向O点，A正确，B错误；Q点在竖直方向的运动与P点相同，相对于O点在竖直方向的位置y关于时间t的关系为y＝lOP·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋ωt))，则可看出Q点在竖直方向不是做匀速运动，C错误；Q点相对于O点在水平方向的位置x关于时间t的关系为x＝lOP·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋ωt))＋lPQ，则可看出Q点在水平方向也不是做匀速运动，D错误．
【难度】中档题
考点2 抛体运动规律的理解和应用
题点1 平抛运动
(2025·云南卷·3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则( )
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
【答案】D
【解析】鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝12gt2，由于hMta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx=xt，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。
【难度】基础题
(多选)(2024·江西卷·8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是( )

【答案】AD
【解析】小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x＝vxt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y＝vy0t－eq \f(1,2)gt2，vy＝vy0－gt，且最高点时竖直方向的分速度为0，故B错误，D正确。
【难度】基础题
(多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2eq \r(3) s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
【答案】BD
【解析】解法一 以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴)
将v0沿两个坐标轴分解，则有
v0x＝v0cs 60°＝10 m/s，v0y＝v0sin 60°＝10eq \r(3) m/s
将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有
ax＝gsin 30°＝5 m/s2
ay＝gcs 30°＝5eq \r(3) m/s2
从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t＝2eq \f(v0y,ay)＝4 s，A错误；
重物距PQ连线最远距离Y＝eq \f(v0y2,2ay)＝10eq \r(3) m，C错误；
落至Q点时vx＝v0x＋axt＝30 m/s
由对称性得vy＝v0y＝10eq \r(3) m/s
落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ
tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(3),3)，
则θ＝30°
又因PQ与水平方向夹角为30°，
则落地速度方向与水平方向夹角α＝60°，B正确；
重物从抛出到最高点所用时间为t1＝eq \f(v0sin 30°,g)＝1 s
从最高点到落地所用时间为t2＝t－t1＝3 s
则轨迹最高点的落点的高度差为h＝eq \f(1,2)gt22＝45 m，D正确。
解法二 以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P′与P等高
v0x＝v0cs 30°＝10eq \r(3) m/s
v0y＝v0sin 30°＝10 m/s
从P→P′
t1＝eq \f(2v0y,g)＝2 s
x1＝v0xt1＝20eq \r(3) m
vx＝v0x＝10eq \r(3) m/s
vy＝v0y＝10 m/s，
从P′→Q
x2＝vxt2
y＝vyt2＋eq \f(1,2)gt22
由几何关系知：
tan 30°＝eq \f(y,x1＋x2)＝eq \f(10t2＋5t22,20\r(3)＋10\r(3)t2)
解得：t2＝2 s
t总＝t1＋t2＝4 s
A错误；
从最高点至Q点时间为t3＝t总－eq \f(t1,2)＝3 s
vy′＝gt3＝30 m/s
tan α＝eq \f(vy′,vx)＝eq \r(3)，α＝60°，B正确；
H＝eq \f(1,2)gt32＝45 m，D正确；
离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D＝eq \f(v⊥2,2a⊥)＝eq \f((v0sin 60°)2,2gcs 30°)＝10eq \r(3) m，C错误。
【难度】较难题
(2020·山东卷·16)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°.某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道．图乙为腾空过程左视图．该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cs 72.8°＝0.30.求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L.
【答案】(1)4.8 m (2)12 m
【解析】(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vMsin 72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mgcs 17.2°＝ma1②
由运动学公式得d＝v122a1③
联立①②③式，代入数据得
d＝4.8 m④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，
由运动的合成与分解规律得v2＝vMcs 72.8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得
mgsin 17.2°＝ma2⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得
t＝2v1a1⑦
L＝v2t＋12a2t2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m⑨
【难度】较难题
(2023·浙江1月选考·5)如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小( )
A．O点最大B．P点最大
C．Q点最大D．整个运动过程保持不变
【答案】A
【解析】由于空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，小石子在O点时速度斜向上方，此时速度最大，空气阻力斜向下方最大，上升过程与竖直方向夹角最小，故此时空气阻力分解在竖直方向最大，根据牛顿第二定律可知此时竖直方向分运动的加速度最大.
【难度】中档题
(2023·江苏卷·15)如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)求滑雪者运动到P点的时间t；
(2)求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
(3)若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。
【答案】(1)eq \r(\f(2\r(2)d,g(1－μ))) (2)eq \r(\r(2)gd(1－μ)) (3)eq \r(2)d(1－μ)
【解析】(1)滑雪者从A点到P点，根据动能定理有mgdsin 45°－μmgdcs 45°＝eq \f(1,2)mvP2－0
根据动量定理有(mgsin 45°－μmgcs 45°)t＝mvP－0
联立解得t＝eq \r(\f(2\r(2)d,g(1－μ)))
vP＝eq \r(\r(2)gd(1－μ))
(2)由于滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，故从P点到B点合力做功为0，所以当从A点下滑时，到达B点时有vB＝vP＝eq \r(\r(2)gd(1－μ))
(3)当滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大；滑雪者从B点飞出做斜抛运动，竖直方向上有vBcs 45°＝g×eq \f(t′,2)
水平方向上有L＝vBsin 45°·t′
联立可得L＝eq \r(2)d(1－μ)。
【难度】中档题
【关联题点】动能定理
(2023·山东卷·15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
(2)已知电容器储存的电能E＝eq \f(1,2)CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
【答案】(1)60 m (2)1 000eq \r(2) V
【解析】(1)灭火弹做斜上抛运动，则水平方向上有
L＝v0cs θ·t
竖直方向上有
H＝v0tsin θ－eq \f(1,2)gt2
代入数据联立解得H＝60 m
(2)根据题意可知
Ek＝ηE＝15%×eq \f(1,2)CU2
又因为Ek＝eq \f(1,2)mv02
联立解得U＝1 000eq \r(2) V。
【难度】中档题
考点3 圆周运动的描述
（2025·浙江6月选考·3）如图所示,在水平桌面上放置一斜面,在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下,越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时,钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x,重力加速度为g,则( )
A.钢球平抛初速度为x2ℎg
B.钢球在空中飞行时间为2ℎg
C.增大h,钢球撞击木板的速度方向不变
D.减小h,钢球落点离桌边的水平距离不变
【答案】B
【解析】 根据平抛运动的规律可知,钢球在空中飞行时间为t=2ℎg,钢球平抛初速度为v0=xt=xg2ℎ,A错误,B正确;钢球撞击木板时,速度方向与水平方向的夹角满足tan θ=vyv0=2gℎv0,增大h,钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大,C错误;根据x=v02ℎg可知,减小h,钢球落点离桌边的水平距离x减小,D错误。
【难度】 中档题
(2025·山东卷·10)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1＝5 m的圆形区域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O'点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO'B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.ωmax＝π3 rad/s
B.ωmax＝23 rad/s
C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
【答案】BC
【解析】 物品从无人机上释放后做平抛运动，竖直方向H＝12gt2，可得t＝2 s，要使物品落点在目标区域内，水平方向满足x＝R12−R22＝vt，最大角速度ωmax＝vR2，联立解得ωmax＝23 rad/s，故A错误，B正确；无人机从A点到B点的时间t'＝π2ωmax＝3π4 s，由于t'>t，可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。
【难度】中档题
考点4 水平面内圆周运动及临界问题
题点1 圆盘圆周
(2025·河北卷·5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是130 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为( )
A.90B.120C.150D.180
【答案】C
【解析】根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝θΔt＝π6130 rad/s＝5π rad/s，转动周期T＝2πω＝0.4 s，故每分钟跳绳的圈数为n＝tT＝600.4＝150，故选C。
【难度】基础题
(2025·安徽卷·6)在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t＝0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是( )
【答案】D
【解析】因为质点M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度vN与M在竖直方向的分速度vMy大小相等，设M做匀速圆周运动的角速度为ω，半径为r，转动角度θ＝ωt时刻，其竖直方向分速度vMy＝ωrcs ωt，即vN＝ωrcs ωt，则D正确，A、B、C错误。
【难度】中档题
【关联题点】运动分解问题；简谐运动的图像分析
(2025·福建卷·5)春晚上转手绢的机器人如图所示，手绢上有P、Q两点，圆心为O，OQ＝3OP，手绢做匀速圆周运动，则( )
A.P、Q线速度之比为1∶3
B.P、Q角速度之比为3∶1
C.P、Q向心加速度之比为3∶1
D.P点所受合外力总是指向圆心O
【答案】AD
【解析】手绢做匀速圆周运动，由题图可知P、Q属于同轴转动，故角速度相等，即角速度之比为1∶1，B错误；由v＝ωr可知，P、Q线速度之比vP∶vQ＝OP∶OQ＝1∶3，故A正确；由a＝ω2r可知，P、Q向心加速度之比aP∶aQ＝OP∶OQ＝1∶3，故C错误；做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，合外力总是指向圆心，D正确。
【难度】基础题
(2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面足够大)，则( )
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在圆台边缘
D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
【答案】D
【解析】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，半径最大，设为r，根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=μgω2，μ与ω均一定，故r与陶屑质量无关且为定值，即陶屑只能分布在某一半径的圆内，故A、B、C错误，D正确。
【难度】基础题
(2024·黑吉辽·2)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的( )
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
【答案】D
【解析】由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确；由题图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP＜rQ，故A错误；根据v＝rω可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为vP＜vQ，故B错误；根据an＝rω2可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为aP＜aQ，故C错误。
【难度】基础题
(2024·广东卷·5)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为eq \f(l,2)、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
A．req \r(\f(k,2m)) B．leq \r(\f(k,2m))
C．req \r(\f(2k,m)) D．leq \r(\f(2k,m))
【答案】A
【解析】由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝eq \f(l,2)，
根据胡克定律有F＝kΔx＝eq \f(kl,2)
插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，弹力提供向心力，则有F＝mlω2
对卷轴有v＝rω
联立解得v＝req \r(\f(k,2m))，故选A。
【难度】基础题
(多选)(2024·甘肃卷·8)电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．小车的动能不变
B．小车的动量守恒
C．小车的加速度不变
D．小车所受的合外力一定指向圆心
【答案】AD
【解析】做匀速圆周运动的小车速度大小不变，方向时刻在改变，故动能不变，但动量不守恒，故A正确，B错误；
做匀速圆周运动的小车加速度大小不变，方向时刻在改变，故C错误；
小车所受的合外力一定指向圆心，故D正确。
【难度】基础题
(2023·福建卷·15)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计
(1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
(2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
(3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
【答案】(1)0.05m；(2)；(3)
【解析】(1)当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得
根据胡克定律得
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离
(2)若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得
由几何关系得圆环此时转动的半径为
联立解得
(3)圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有
，
由几何关系得
联立解得.
【难度】中档题
(2022山东卷·8)无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3 m的半圆弧BC与长8 m的直线路径AB相切于B点，与半径为4 m的半圆弧CD相切于C点．小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD.为保证安全，小车速率最大为4 m/s，在ABC段的加速度最大为2 m/s2，CD段的加速度最大为1 m/s2.小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为( )
A．t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(7π,4))) s，l＝8 m
B．t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)＋\f(7π,2))) s，l＝5 m
C．t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(5,12)\r(6)＋\f(7\r(6)π,6))) s，l＝5.5 m
D．t＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋\f(5,12)\r(6)＋\f((\r(6)＋4)π,2))) s，l＝5.5 m
【答案】B
【解析】在BC段的最大加速度为a1＝2 m/s2，则根据a1＝eq \f(v1m2,r1)，可得在BC段的最大速度为v1m＝eq \r(6) m/s，在CD段的最大加速度为a2＝1 m/s2，则根据a2＝eq \f(v2m2,r2)，可得在BC段的最大速度为v2m＝2 m/svBB.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFB
【答案】C
【解析】设绳子与竖直方向夹角为θ，从小球到顶点的绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球受力分析有F向=mgtan θ=ma，由题图可知，小球从A高度到B高度θ增大，则FB>FA，aB>aA，故C正确，D错误；
又mgtan θ=mrω2=mv2r，r=htan θ=lsin θ，整理有v=gltanθsinθ，ω=gℎ，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，又hBωA，故A、B错误。
【难度】较难题
(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
【答案】(1)eq \f(μg,ω12r1) (2)eq \r(\f(μgsin θcs β,(sin θsin β＋μcs θ)r2))
【解析】(1)设转椅做匀速圆周运动时轻绳拉力为FT，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供轮椅做圆周运动的向心力，故可得
FTcs α＝mω12r1，μmg＝FTsin α
联立解得tan α＝eq \f(μg,ω12r1)
(2)设此时轻绳拉力为FT′，沿A1B方向和垂直A1B方向竖直向上的分力分别为FT1＝FT′sin θ，FT2＝FT′cs θ
对转椅根据牛顿第二定律得FT1cs β＝mω22r2
沿切线方向根据平衡条件有FT1sin β＝Ff＝μFN
竖直方向根据平衡条件有FN＋FT2＝mg
联立解得ω2＝eq \r(\f(μgsin θcs β,(sin θsin β＋μcs θ)r2))。
【难度】中档题
(2022·福建卷·13)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”(可理解为低身斜体)二字揭示了滑冰的动作要领。500 m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
(1)武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8 m 用时2 s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
(2)武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10 m的匀速圆周运动，速度大小为14 m/s。已知武大靖的质量为73 kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
(3)武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在(2)问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。(不计空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2，tan 22°＝0.40、tan 27°＝0.51、tan 32°＝0.62、tan 37°＝0.75)
【答案】(1)4 m/s2 (2)1 430.8 N (3)27°
【解析】(1)设武大靖运动过程的加速度大小为a，根据x＝eq \f(1,2)at2
解得a＝eq \f(2x,t2)＝eq \f(2×8,22) m/s2＝4 m/s2
(2)根据F向＝meq \f(v2,r)
解得过弯时所需的向心力大小为
F向＝73×eq \f(142,10) N＝1 430.8 N
(3)设场地对武大靖的作用力大小为F，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得
F向＝eq \f(mg,tan θ)
解得tan θ＝eq \f(mg,F向)＝eq \f(73×10,1 430.8)≈0.51
可得θ＝27°。
【难度】中档题
(2021河北卷·9)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时( )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【答案】BD
【解析】对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin θ＝mg
而FT＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(MP,cs θ)－l0))
可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；
水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，
则FTcs θ－FN＝mω2r
即FN＝FTcs θ－mω2r
当转速较大，FN指向转轴时，
则FTcs θ＋FN′＝mω′2r
即FN′＝mω′2r－FTcs θ
因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；
根据F合＝mω2r，可知，因角速度变大，则小球受合外力变大，则D正确．
【难度】基础题
考点5 竖直面与斜面内圆周运动及临界问题
(2025·山东卷·4)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为150 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径15的圆弧形径迹，重力加速度g取10 m/s2。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为( )
A.11 NB.9 NC.7 ND.5 N
【答案】C
【解析】根据题意可知在曝光时间内小球运动的弧长为Δl＝15r＝15×0.6 m＝0.12 m，可得线速度v＝ΔlΔt＝0.12150 m/s＝6 m/s，在最低点根据牛顿第二定律有FT－mg＝mv2r，代入数据解得FT＝7 N。
【难度】基础题
(2024·北京卷·7)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是( )
A.物体在C点所受合力为零
B.物体在C点的速度为零
C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
【答案】C
【解析】物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆形轨道的半径为r，由牛顿第二定律得mg=mv2r，解得物体在C点的速度v=gr，A、B错误；由牛顿第二定律得mg=ma，解得物体在C点的向心加速度a=g，C正确；由能量守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点时的动能和重力势能之和，D错误。
【难度】基础题
(2021·浙江6月选考·7)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是( )
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
【答案】A
【解析】在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明，沿摆绳方向受力分析有
F－mgcs θ＝meq \f(v2,l)
由于小明的速度为0，则有F＝mgcs θ