重庆市大足中学2025-2026学年高二下册第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份重庆市大足中学2025-2026学年高二下册第一次月考数学试卷（含答案），共33页。
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. （）
A. 9B. 18C. 28D. 36
【正确答案】B
【分析】根据组合数公式计算出正确答案.
【详解】.
故选：B
2. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】结合图象利用导数的几何意义以及割线斜率即可判断.
【详解】表示两点所在直线的斜率，
而分别表示在处的切线斜率，
由图可知，.
故选：B
3. 若，则（）
A. B. 6C. 3D. -3
【正确答案】C
【分析】由导数的定义可得；
【详解】.
故选：C.
4. 已知，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【正确答案】B
【分析】对求导代入求出得到，代入0可得答案.
【详解】根据题意,，
则其导数，
令可得：，解可得，
则有，
故.
故选：B.
5. 、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（）
A. 24种B. 12种C. 48种D. 23种
【正确答案】B
【分析】利用捆绑法求解相邻问题．
【详解】由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，
故选：B．
6. 如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（）
A. 124B. 185C. 220D. 330
【正确答案】D
【分析】由题意可知问题转化为根据组合数性质计算即可.
【详解】根据题意可知：这些数分别为，
则由逐步应用得：
，
所以这些数和 330.
故选：D.
7. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（）
A. 0B. 1C.D.
【正确答案】A
【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值.
【详解】设，，设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
由题意得，即，解得，
即与的公切线为，
，，设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
由题意得，即，解得，
故选：A.
8. 已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】
设，则 ,由条件可得在上单调递增，进一步可得在上单调递增，将可化为，即，由单调性可得答案.
【详解】设，则
当时，有成立，此时
所以在上单调递增.
又为奇函数，则，则为奇函数，又
则在上单调递增，所以在上单调递增.
当，恒有
可化为，即，
由在上单调递增，所以
故选：A
关键点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数，求出的导函数，由条件得到的单调性，将可化为，根据的单调性解出不等式，属于中档题.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值
【正确答案】ABC
【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案
【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数f(x)单调递减区间为：，，递增区间为，，
且函数在和取得极小值，在取得极大值.
故选：ABC．
10. 下列求导结果正确的有（）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据导数的四则运算一一计算即可.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的单调递减区间是
B. 若，则方程有两个不等的实根
C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为
D. 若过点可以作曲线的三条切线，则
【正确答案】ACD
【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值.
【详解】对于A：，由得，又函数在连续，
所以的单调递减区间是，A正确；
对于B：当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，取得最大值，又时，；
时，，所以的图象大致如图：
当时，函数与函数图象有两个交点，
即方程有两个不等的实根，B错误；
对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
设点，则，解得，此时，
点到直线的距离，C正确；
对于D：设过点的切线切点为，则，整理得，
若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点，
对函数，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
又当时，；当时，；时，；时，，
所以函数的图象大致如下：
则当时，函数与函数有三个交点，
此时过点可以作曲线的三条切线，D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；
【正确答案】243
【分析】根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，
所以5名同学共有种选择方法.
故答案为.
13. 已知函数，则______.
【正确答案】
【分析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故答案为.
14. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是____．
【正确答案】
【分析】将题意转化为，再根据的单调性分别求解最小值即可.
【详解】当时，由得，，
∴在单调递减，
∴是函数的最小值，
∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），
可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，
即∃x∈[2，3]，使成立，即∃x∈[2，3]，使成立，故.
故
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【正确答案】（1）；
（2）最大值为4，,最小值为0.
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【小问1详解】
，由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
16. 用0，1，2，3，4，5可组成多少个：
（1）没有重复数字的四位数？
（2）没有重复数字且被5整除的四位数？
（3）比2000大且没有重复数字的自然数？
【正确答案】（1）300；（2）108；（3）1440
【分析】（1）先考虑千位，再考虑剩余的百位，十位和个位；（2）考虑个位是0或5两种情况，再用分类加法原理计算；（3）从四位数，五位数和六位数考虑，再用分类加法原理计算.
【详解】（1）千位可以从1，2，3，4，5中任选一个，有种，剩余的百位，十位和个位，可以从剩余的5个数中任意选择，所以有种，所以没有重复数字的四位数共有种
（2）没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况：
个位数字为0时，有种；个位数字为5时，千位可以从从1，2，3，4种任选一个，有4种，剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列，有，则有种，利用分类加法原理可得：共有种.
（3）比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2，3，4，5中选一个有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有种，共有种；当是五位数时，共有种选法；当是六位数时，共有种选法；故共有240+600+600=1440种，所以比2000大的自然数共有1440种.
17. 已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
【正确答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）答案详见解析；
（2）.
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；
（2）运用转化法，结合导数的性质和数形结合思想进行求解即可.
小问1详解】
函数的定义域为，.
①当时，由，知函数在内单调递增；
②当时，由，即得；
由，即得.
所以，函数在内单调递增，在内单调递减.
因此，当时，在内单调递增；
当时，内单调递增；在内单调递减；
【小问2详解】
函数的定义域为，
，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不相等的正实数根，
即，设函数，
当时，单调递减，当时，单调递增，
即函数的最大值为：，
由，由，
因此函数的图象如下图所示：
要想方程有两个不相等的正实数根，
只需函数的图象有两个交点，即，
实数的取值范围.
方法点睛：函数的极值个数可以转化为函数导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用导数和数形结合思想进行求解即可.
19. 定义运算：，已知函数．
（1）当时，①求在处的切线方程；
②证明：在内存在唯一的极小值点，且；
（2）若对任意（），都有，求实数取值范围．
【正确答案】（1）①；②证明见解析
（2）
【分析】（1）确定函数解析式：①求导得，求切点纵坐标，由点斜式得切线方程；②设，求确定函数的单调性，从而得函数的零点性质，即可得的极值点，从而证得结论；
（2）原不等式等价于，设，则，由函数单调可得恒成立，孤立参数求解最值即可得数的取值范围．
【小问1详解】
，
当时，，
，
①由题意得，
则在处的切线方程为，
即；
②证明：设，
则，
和在上均单调递增，
在上均单调递增，
存在唯一零点，使得，
当时，单调递减，即在上单调递减；
当时，单调递增，即在上单调递增，
是函数在内唯一的极小值点，
.
【小问2详解】
不妨设，原不等式等价于，
即，
设，则，
由的任意性，可知在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
在上单调递增，
，
实数的取值范围为.
方法点睛：本题中双变量结构相同的不等式，集中变量转化为，构造函数得含参不等式恒成立问题，对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立；
(2)恒成立.