2024-2025学年重庆市城口中学、渝高中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市城口中学、渝高中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=ex⋅lnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为( )
A. 0B. 1C. 1eD. e
2.设函数f(x)在x=x0处存在导数为2，则Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)2Δx=( )
A. 2B. 1C. 23D. 6
3.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=lnx+12x2−ax+1，则“ab>cB. b>c>aC. b>a>cD. c>a>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导过程正确的选项是( )
A. (1x)′=1x2B. ( x)′=12 x
C. (xa)′=axa−1D. (lgax)′=(lnxlna)′=1xlna
10.下列命题正确的有( )
A. 函数的极小值一定比极大值小
B. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12
C. 若函数f(x)=−13x3+x2+1，则f(x)的极大值为1
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
11.已知函数f(x)=x2+x−1ex，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)存在三个不同的零点
B. 函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C. 若x∈[t,+∞)时，f(x)max=5e2，则t的最小值为2
D. 若方程f(x)=k有两个实根，则k∈(−e,0]∪{5e2}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)是定义在R上的函数，f(x)=ax2−2x−1，且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为6，则a= ______．
13.已知a>0，b>0，直线y=x+a与曲线y=ex−b相切，则12a+3b的最小值是______．
14.已知函数g(x)=13x3−a2x2+2x+1，若g(x)在(1,2)内不单调，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+x−lnx．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)求f(x)在区间[1e,1]上的最值．
16.(本小题12分)
(1)若f(x)=x+sinx，解不等式f(2x−1)>−f(3−x)．
(2)已知函数g(x)的定义域为R，且g(x)的图象是一条连续不断的曲线，g(x)的导函数为g′(x)，若函数ℎ(x)=(x+2)g′(x)的图象如图所示，求g(x)的单调区间．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx−(2a+1)x+x2．
(1)当a=−1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，试讨论f(x)的单调性．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+lnx+ax在x=1处的切线l和直线x+y=0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)=f(x)−x2−mex，已知g(x)在(0,2]单调递增，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xex−x−1．
(1)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最值；
(2)讨论方程f(x)=lnx+m−2的实根个数．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.B
6.A
7.C
8.D
9.BCD
10.BD
11.ABD
12.2
13.27
14.(2 2,3)
15.解：(1)函数f(x)=x2+x−lnx，
函数的定义域为{x|x>0}．
∵f′(x)=2x+1−1x
=2x2+x−1x=(2x−1)(x+1)x，(x>0)，
由f′(x)=0得，
当x∈(0,12)时，f′(x)0，f(x)单调递增；
所以函数f(x)单调递减区间为(0,12)，
函数f(x)单调递增区间为[12,+∞)，
∴x=12是函数f(x)的极小值点，
故f(x)的极小值是f(12)=34+ln2，无极大值；
(2)由(1)得：x∈[1e,12]，函数是减函数，
x∈[12,1]，函数是增函数，
f(12)=34+ln2，f(1)=2，f(1e)=1e2+1e+1，
又因为 f(1)>f(1e)，
∴所以函数f(x) 在区间[1e,1]的最小值为34+ln2，最大值为2．
16.
17.
18.解：(1)由函数f(x)=x2+lnx+ax，可得f′(x)=2x+1x+a，可得f′(1)=a+3，
因为函数在x=1处的切线l和直线x+y=0垂直，所以f′(1)=1，
即a+3=1，解得a=−2；
(2)因为g(x)=f(x)−x2−mex=lnx−2x−mex在(0,2]单调递增，
从而有g′(x)=1x−2−mex≥0，即m≤e−x(1x−2)在(0,2]上恒成立，
设ℎ(x)=e−x(1x−2)，则m≤ℎ(x)min，
因为ℎ′(x)=−e−x(1x−2)+e−x⋅(−1x2)=e−x⋅2x2−x−1x2(00，即2x2−x−1=(2x+1)(x−1)>0，解得10，
∵t′=(x+1)ex>0，∴原式等价于t−lnt+1=m，
令g(t)=t−lnt+1，t>0，∴g′(t)=1−1t=t−1t，
∴当0