吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高一下册第四周周测数学试卷（含答案）

这是一份吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高一下册第四周周测数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简：等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】.
2. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量与的夹角.
【详解】设向量与夹角为，则由题意可知，，
因为向量的夹角，所以.
故选：B.
3. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：C
4. 向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A. 32B. -32C. 16D. -16
【正确答案】D
【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.
【详解】由题设，，，
.
故选：D
5. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（ ）
A. 垂心B. 外心C. 内心D. 重心
【正确答案】D
【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心．
【详解】如图，设为边的中点，，
，
共线，
即点在底边的中线上．
故选：D．
6. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用向量线性运算求解.
【详解】
.
7. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.
【详解】因为是单位向量，且的夹角为，
所以，
又，
所以，
又，所以，所以.
故选：C.
8. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值.
【详解】解法一：
连接，则
，
当时，最小，即，
结合，得的最小值为．
解法二（极化恒等式法）：
依题意，为线段的中点，
则
,
由于，，所以的最小值为．
故选:D

二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 若，则和的夹角为
B. 若，则和的夹角为
C. 若，则和方向相同
D. 若，则和b的夹角为钝角
【正确答案】ABC
【分析】利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关系判定判断D.
【详解】解：，，，构成等边三角形，A正确；
由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B正确；，则与同向，C正确；
若，则和的夹角为钝角或者，D错误，
故选：ABC.
10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称；
B. 函数在区间上是单调增函数；
C. 若函数的定义域为，则值域为
D. 函数的图象与的图象重合
【正确答案】AD
【分析】依次判断各项，其中B中，函数应为单调减函数；C中，函数的值域为，可知此两项错误；A和D经验证，是正确的，由此可得结果.
【详解】对于A，，函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，时，，函数在区间上是单调减函数，故B错误；
对于C，若函数的定义域为，，则值域为，故C错误；
对于D，，故D正确．
本题正确结果：AD
11. 已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 与夹角是钝角
【正确答案】BC
【分析】利用平面向量的数量积运算可判断AB选项的正误；作，，，分析得出点的轨迹，求出的最大值，可判断C；以、为邻边作平行四边形，求出取最大值时点的位置，可判断D.
【详解】对于A，，
故，故A错误；
对于B选项，，
故，故B正确；
对于CD选项，作，，，
则，，
因为，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示：
设线段的中点为点，则，，
所以，，故C正确；
以、为邻边作平行四边形，则，
则为向量与的夹角，
当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值，
连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，故D错误.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 在平行四边形中，．设，请用表示_______．
【正确答案】
【分析】利用平面向量的线性运算计算.
【详解】
.
故答案为.
13. 已知，则______________．
【正确答案】
【详解】由，得，
即
整理得：，即，
而，故，故答案为.
14. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______.
【正确答案】
【分析】先利用向量的运算律求得及，然后利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】因为平面向量满足，
所以，
所以，即，
所以，
设与夹角为，则，
又，所以.
故
四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）若，求；
（2）若，的夹角为，求；
（3）若，求与的夹角为．
【正确答案】（1）或
（2）
（3）
【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得；
(2)根据向量模的求法及数量积计算可得；
(3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角.
【小问1详解】
若，则与夹角为0或．
所以或．
【小问2详解】
因为
，
所以．
【小问3详解】
若，则，即，
所以，
即，所以，
又，所以．
16. 已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．
（2）设，若恒成立，求实数c的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据的性质得到，然后根据图象的平移变换得到，最后求值域即可；
（2）利用换元法得到最大值，即可得到的范围.
【小问1详解】
,
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以，
因为图象相邻两对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，解得，
所以，
由题意得，
当时，，则，
所以的值域为.
【小问2详解】
，
令，
则，
所以当时，取得最大值，最大值为，
因为恒成立，所以，
所以的最小值为.
17. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点．
（1）用和表示；
（2）设，实数，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式；
（2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论即可求解；
（3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
因，所以，又因为的中点，所以，
所以．
【小问2详解】
因，所以，
又因，所以，
又因三点共线，所以，即．
【小问3详解】
设，由（1）（2）可知，
即．
因，
，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，所以，
所以化简得，
令，因，即，
当且仅当时，等号成立，所以．
因此，
又因为，所以，
所以．