2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(3,−4)，b=(x,1)，若a⊥b，则实数x=( )
A. 34B. 43C. −43D. −34
2.下列叙述正确的是( )
A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
3.将函数f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. sin(2x−π3)B. sin(x2+π6)C. sin(2x+2π3)D. sin(2x+π3)
4.已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，则下面命题正确的是( )
A. m//α，n//α，m⊂β，n⊂β⇒α//β B. l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α=l⊥α
C. m⊥α，m//n，n⊥β⇒α//β D. α⊥β，α∩β=l，m⊥l⇒m⊥α
5.从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( )
A. 至少有2个红球B. 至少有2个黄球C. 都是黄球D. 至多2个红球
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A. 1010B. 3 1010C. 105D. 155
7.已知一组数据：5，4，3，3，3，2，1，则下列叙述正确的是( )
A. 极差是5B. 平均数是207C. 方差是107D. 下四分位数为4
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合成点A′，则下列叙述错误的为( )
A. DA′⊥EF
B. 二面角A′−EF−D的正切值为2 2
C. 点A′在平面DEF上的射影是△DEF的垂心
D. 三棱锥A′−DEF的外接球与内切球的半径之比为 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+i，则( )
A. |z|=2B. z−在复平面内对应的点在第四象限
C. z的虚部为iD. z和z−都是方程x2−2x+2=0的解
10.在空间中，下面叙述正确的是( )
A. 若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补
B. 若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补
C. 若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补
D. 若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
11.如图，已知正三棱台ABC−A1B1C1是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中AA1=2，以点A为球心，2 7为半径的球面与侧面BCC1B1的交线为曲线Γ，P为Γ上一点，则下列结论中正确的是( )
A. 点A到平面BCC1B1的距离为2 6 B. 曲线Γ的长度为4π
C. CP的最小值为2 3−2 D. 所有线段AP所形成的曲面的面积为4 7π3
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市______家．
13.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 ．
14.一个棱长为4cm的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AB=8，BC=7，AC=5，PB=10．
(1)求∠BAC的大小；
(2)求三棱锥P−ABC的体积．
16.(本小题10分)
某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，(满分150分)，将所有数据整理后绘制成如图频率分布直方图：
(1)求a的值；
(2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数；
(3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分．
17.(本小题12分)
(特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分)
如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将△ABD沿BD折起，使得点A到达点A′的位置，点A′在平面BCD上的射影O恰好落在CD上．
(1)求证：A′D⊥平面A′BC；
(2)求直线A′C与平面BCD所成的角．
18.(本小题13分)
如图，在正三棱柱ABC−A′B′C′中，A′A=AB=2，E是棱A′C′的中点，点D是侧棱B′B上一动点，且BD=λBB′(λ∈R,且0