吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷+答案

这是一份吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷+答案，共17页。试卷主要包含了回答非选择题时，请使用0， 函数的图象大致形状为， 已知，则函数的值可能为， 已知函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高一年级期末考试
注意事项：
1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解二次不等式得到集合，然后得到
【详解】，∴，
∴，
∴，
故选：D
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助根式与分式有意义的条件及对数函数性质计算即可得.
【详解】由题意可得，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式代入计算即可.
【详解】由两角和得正切公式得.
故选：C.
4. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数与对数函数性质即可得.
【详解】由，则，，
故.
故选：C.
5. 函数的图象大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知当时，；当时，，结合指数函数的图象与性质即可判断.
【详解】当时，；
当时，，
所以时函数是减函数，
时函数是增函数，且图象是的部分关于轴的对称图形.
故选：D.
6. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（ ）
（参考数值：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可.
【详解】由题意，
由参考数值可得：，
大约增加了，
故选：B
7. 如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意结合矩形性质与对数函数、指数函数与幂函数的运算法则逐步计算、、即可得.
【详解】由，则，即，即，
又，则，即，则，
即有，即，即.
故选：A.
8. 已知定义域为的函数满足，当时，，则在区间上的零点的个数为（ ）
A. 403B. 404C. 405D. 406
【答案】C
【解析】
【分析】由可得函数是周期为的周期函数，结合时的函数解析式可得在一个周期内的零点个数，即可得在区间上的零点的个数.
【详解】由，则，
即，即是周期为的周期函数，
当时，，
令，解得或，
则无解，由，则当时，无解，
故当时，有零点、，
即当时，有零点、，
即在一个周期内有个零点，
则当时，有个零点.
当时，有零点，
故在区间上的零点的个数为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则函数的值可能为（ ）
A. 1B. －1C. －3D. 3
【答案】BD
【解析】
【分析】分为第一、二、三、四象限角讨论即可得.
【详解】当为第一象限角时，，即；
当为第二象限角时，，即；
当为第三象限角时，，即；
当为第四象限角时，，即；
综上所述，的值可能为或.
故选：BD.
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 时，
B. 函数的值域为
C. 若方程有两个不相等的实数根，则
D. 函数有个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A：；利用分段函数性质计算即可得；对B：分及讨论即可得；对C：结合B中所得即可得；对D：由题意可得，计算的根可得或，再计算的根即可得解.
【详解】对A：令，解得，符合要求，令，解得，不符，
故时，，故A正确；
对B：当时，，当时，，
故函数的值域为，故B正确；
对C：结合B中所得，可得方程有两个不相等的实数根时，
有，故C错误；
对D：令，则，
令，则，令，则，均符合要求，
即或时，均能使，
令，则，令，无解，
则有个零点，分别为、、，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于对称
B. 函数为偶函数
C.
D. 若时，，则时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据所给性质，利用函数对称性判断AB，根据性质求出周期判断C，根据图象的对称性求解析式判断D.
【详解】由可知函数关于直线轴对称，故A正确；
由可得，又，
所以，故函数为奇函数，故B错误；
因为，
所以，故C正确；
由知函数关于成中心对称，
当时，设为函数图象上任意一点，
则在函数图象上，且，
所以，即，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 已知，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】化简原式为即得解.
【详解】原式分子分母同时除以得:
=.
故答案为：
13. 已知，，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】法一：由题意可得，则，又，则，化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得，再借助权方和不等式计算即可得.
【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用：
由，，，则，
即，则，
则
，
当且仅当，即，即、时，等号成立.
法二：借助权方和不等式：
由，，，则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
14. 设奇函数在上是增函数，且，若不等式对任意的，都成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数在上是增函数，且得最大值为5，则有对任意的成立，将看成变量，得出不等式组，解之可得结果．
【详解】因为奇函数在上是增函数，且，
所以的最大值为5．
所以只需
即对任意的恒成立即可，
令，
则，即
解得或或．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.
（1）求的值；
（2）化简，并求其值.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案；
（2）利用诱导公式化简得到，凑角法，结合，得到答案.
【小问1详解】
，
由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为，
且圆为单位圆，由三角函数定义得．
【小问2详解】
．
其中，
由（1）知：，
所以．
16. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若在上存在最小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简函数，令，解得函数递减区间；
（2）求出函数的对称轴，由（1）可知函数的单调区间，结合对称性得出函数有最小值的条件.
【小问1详解】
，
，
，
，
令，则，
即的单调递减区间为：.
【小问2详解】
令，解得，
即是函数的对称轴，
又由（1）可知函数区间上单调递增，
结合对称性可知当时，，
此时函数在上不存在最小值，
当时，，
在区间上最小值
或者在处取得，
或者在整个函数最低点处取得，
当时，，即时取得最小值，
所以实数的取值范围.
17 设函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）增函数,证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论；
（2）在上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤；
（3）由的奇偶性和单调性，可得，再解一元二次不等式，可得所求范围．
【小问1详解】
由解得，
函数的定义域为，
，
可得是定义域为的奇函数；
【小问2详解】
函数在上为减函数．
证明：设，，且，
，
由，可得，所以，
由，可得，,
所以，则，所以，
即，
所以在上为增函数；
【小问3详解】
因为是定义域为的奇函数，所以，
不等式化为，
因为在上为增函数，所以，
解得：或，
，解得：
，解得：,
综上：实数的取值范围
18. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围；
（3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可解得，结合已知，可得的解析式；
（2）先求出的表达式，再根据正弦函数的单调递增区间的性质，结合给定的区间，来确定的取值范围；
（3）先求出的表达式，然后根据函数在上存在零点，转化为方程在该区间有解，
进而转化为在有解的问题，通过对勾函数的性质来确定的取值范围.
【小问1详解】
∵，且，
∴，则，，即，
∵，∴.得：.
【小问2详解】
∵，
∴，
当时， 即，时单调递增，
∵则在上单调递增，
∴解得：
，当时，，当时，无解.
综上,的取值范围是
【小问3详解】
∵，
∴
令，，则，
则，
令，，则.
所以，在上存在零点，
即，使得有解，即时，有解，
即在上有解，
令，
∵在上单调递增，在上单调递减，且，
∴的值域为，所以在有解等价于.
综上的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”.
（1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由；
（2）若函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有.
【答案】（1）是“L函数”，理由见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“L函数”的定义分析判断即可；
（2）由为“L函数”，可得，则，得，可得，得，从而可求出实数a的取值范围；
（3）由函数f（x）为“L函数”，可得对任意整数，有，再讨论是否为整数，结合“L函数”定义即可证得，从而得出结论.
【小问1详解】
对于，当 时，，，
因为，
所以，
所以是“L函数”；
【小问2详解】
当 时，由是“L函数”，得
，即对一切正数恒成立，
因，所以对一切正数恒成立，
所以，
由，得，
所以，
因为，所以，
由对一切正数恒成立，
所以，即，
综上可知，实数a的取值范围为；
【小问3详解】
因为函数f（x）为“L函数”，
所以对于任意正数都有，，且，
所以

所以对任意整数，有，
若 为整数，显然，
若 不为整数，设 ,
则，，，
又因为
所以，
所以对任意，都有.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.