2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，且zi−1=1+i，则z⋅z−=( )
A. 3B. 3C. 5D. 5
2.已知向量a=(2,3)，b=(1,m)，且a+2b与a−b平行，则m=( )
A. 32B. 95C. 12D. −12
3.下列关于空间几何体的论述，正确的是( )
A. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B. 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C. 有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 三棱锥的四个面都可以是直角三角形
4.在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，若AC−=mAE−+nAF−(m,n∈R)，则m+2n的值是( )
A. 1B. 2C. 43D. 73
5.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=3，c=3 3，B=π6，则A=( )
A. π3B. 2π3C. π3或2π3D. π6或π2
6.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B′到x轴的距离是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
7.已知sin(α+π3)−sinα=45，则sin(2α−π6)=( )
A. 725B. −725C. 2425D. −2425
8.已知非零平面向量a，b的夹角为π3，且|a−b|=1，则a⋅(a+2b)的最大值为( )
A. 2 33B. 2 33+1C. 36D. 36+2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z1，z2，z3为复数，下列命题中正确的是( )
A. 若z1z2=0，则z1=0且z2=0
B. 若|z1|=|z1−2−2i|，则|z1|的最小值为 2
C. 若z2−=z3，则|z1z2|=|z1z3|
D. 若|z1−z2|=|z1+z2|，则z1z2=0
10.十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形.求作一点.使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，则该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为废马点.已知在△ABC中，C=2π3，AC=1，BC=2，CM是△ABC的角平分线，交AB于M，P为△AMC的费马点，则下列说法正确的是( )
A. CM=23
B. S△BCM= 33
C. S△BCM=2 33
D. PA⋅PM+PC⋅PM+PA⋅PC=−13
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinA=sinBsinC，则下列说法正确的是( )
A. tanA=b2+c2−a22a2B. S△ABC=12a2
C. sinBsinC+sinCsinB有最大值D. a2≤45bc
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,0)，a⋅b=1，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是______．
13.在△ABC中，∠A=π4，点D满足AD=23AC，且对任意x∈R，|xAC+AB|≥|AD−AB|恒成立，则cs∠ABC= ______．
14.已知点D为△ABC所在平面内一点，AD=13AB+23AC，AD=|AC|AB+|AB|AC|AC|+|AB|，则|AD||AC|的取值范围是______；又△ABC的面积为1，则|BC|的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知tanα=17，csβ=−45，其中α，β∈(0,π)．
(1)求α−β的值；
(2)求cs(2β+π3)的值．
16.(本小题10分)
如图，在直角△ABC中，角A为直角，点M是AC边的中点，点P满足AP=23AB，点Q是BC边上的动点．
(1)若点Q是BC边上靠近C的三等分点，设PQ=λAB+μAC，求λ+μ的值；
(2)若AB=3，AC=2，求MQ⋅PQ的取值范围．
17.(本小题10分)
已知向量m=( 3sinωx,csωx)，n=(csωx,−csωx)(ω>0,x∈R)，f(x)=m⋅n−12，且y=f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求函数y=f(x)的解析式，并求f(x)在区间[0,π2]上的值域；
(2)若a>0，且函数y=f(x)在区间(a,2a)上单调，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m=(csA,1+sinA)，n=(1+cs2B,−sin2B)．
(1)设单位向量j=(0,1)，若m−2j与n共线，且B=π6，求A；
(2)当m⊥n且△ABC为斜三角形时：
(i)若C=2π3，求B；
(ii)求a2+b2c2的最小值．
19.(本小题15分)
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四个点E，F，G，H经过中心投影之后的投影点分别为A，B，C，D.对于四个有序点A，B，C，D，定义比值x=CACBDADB叫做这四个有序点的交比，记作(ABCD)．
(1)证明：(EFGH)=(ABCD)；
(2)已知(EFGH)=32，点B为线段AD的中点，AC= 3OB=3,sin∠ACOsin∠AOB=32，求csA．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：z=2+ii=(2+i)ii2=1−2i，则z−=1+2i，
∴z⋅z−=(1−2i)(1+2i)=1−4i2=5．
故选：C．
依题意先对原式进行化简，可求得z，利用共轭复数的定义可得z−，再利用复数的运算可求得答案．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：a=(2,3)，b=(1,m)，
则a+2b=(2,3)+(2,2m)=(4,3+2m)，a−b=(1,3−m)，
则4(3−m)=3+2m，解得m=32．
故选：A．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，
如图，三棱锥D−ABC中，△ABD，△ACD都是等腰三角形，AB=AC=AD，△ABC是等边三角形，
BD=CD≠AD，故三棱锥D−ABC不是正三棱锥，A错误；
对于B，所有侧面都是正方形的四棱柱，但底面不一定是正方形，该棱柱不一定是正方体，B错误；
对于C，有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，如图：
但四条直线AE，BF，CG，DM的延长线不相交于一点，此时几何体不是棱台，
C错误；
对于D，如图所示：
三棱锥A−BCD，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，则三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确．
故选：D．
根据题意，由棱锥的定义分析A、D，由正方体的定义分析B，由棱台的定义分析C，综合可得答案．
本题考查多面体的结构特征，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意，可得AC=AB+AD
=(AE+EB)+(AF+FD)=(AE−12AD)+(AF−12AB)
=AE+AF−12(AB+AD)=AE+AF−12AC，
则32AC=AE+AF，即AC=23AE+23AF，
故m=n=23，则m+2n=2．
故选：B．
由平面向量的线性运算即可求得m，n的值，进而得出结论．
本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为b=3，c=3 3，B=π6，
由正弦定理得，sinC=csinBb=3 3×123= 32，
因为c>b，
所以C>B，
故C=π3或2π3，
则A=π2或π6．
故选：D．
由已知结合正弦定理先求出C，然后结合三角形内角和定理即可求解A．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，
如图，过点B′作B′C′//y′′轴，交x′′轴于点C′，
在△O′B′C′中，∠B′O′C′=30°，∠B′C′O′=135°，O′B′=2，
由正弦定理得B′C′sin30∘=O′B′sin135∘，
于是得B′C′= 2，且原图中BC即为B到x轴的距离，
由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2 2．
故选：D．
根据题意，先由正弦定理求出直观图的B′C′，再由斜二测画法规则求出B到x轴的距离即可．
本题考查平面图形的直观图，涉及正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为sin(α+π3)−sinα= 32csα−12sinα=cs(α+π6)=45，
所以sin(2α−π6)=sin[2(α+π6)−π2]=−cs[2(α+π6)]=1−2cs2(α+π6)=−725．
故选：B．
应用和差角正余弦公式可得cs(α+π6)=45，再由诱导公式、倍角余弦公式求值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，得a⋅b=|a|⋅|b|csπ3=12|a|⋅|b|，
因为|a−b|=1，所以(a−b)2=|a|2−2a⋅b+|b|2=1，即|a|2−|a|⋅|b|+|b|2=1，
a⋅(a+2b)=|a|2+2a⋅b=|a|2+|a|⋅|b|=|a|2+|a|⋅|b||a|2−|a|⋅|b|+|b|2=|b||a|1+(|b||a|)2−|b||a|，
设t=|b||a|(t>0)，则a⋅(a+2b)=1+t1+t2−t=1+t(1+t)2−3(1+t)+3=1(1+t)+31+t−3≤12 (1+t)⋅31+t−3=1+2 33，
当且仅当1+t=31+t，即t= 3−1，即|b|=( 3−1)|a|时，等号成立，
综上所述，当|b|=( 3−1)|a|时，a⋅(a+2b)的最大值为1+2 33．
故选：B．
利用数量积的定义，可得a⋅b=12|a|⋅|b|，根据|a−b|=1得到|a|2−|a|⋅|b|+|b|2=1，由此将a⋅(a+2b)化为关于|b||a|的分式，利用基本不等式加以计算，可得a⋅(a+2b)的最大值．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：若z1z2=0，则z1=0，或z2=0，A错误；
设z1=x+yi(x,y为实数)，
若|z1|=|z1−2−2i|，则x2+y2=(x−2)2+(y−2)2，即x+y=2，
故|z1|的最小值即为原点到直线x+y=2的距离d=2 2= 2，B正确；
因为z3=z2−，则|z1z2|=|z1||z2|，
|z1z3|=|z1||z3|=|z1||z2|，C正确；
当z1=1+2i，z2=2−i时，满足|z1−z2|=|z1+z2|，但z1z2=(1+2i)(2−i)=4+3i≠0，D错误．
故选：BC．
由已知结合复数的四则运算检验选项AC，结合复数的几何意义检验选项BD即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及几何意义的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，依题意，∠ACM=∠BCM=π3，由S△ACM+S△BCM=S△ACB，
得12×1×CMsinπ3+12×2×CMsinπ3=12×1×2×sin2π3，
解得CM=23，A正确；
对于BC,S△BCM=12×2×23×sinπ3= 33，B正确，C错误；
对于D，S△ACM=12×1×23×sinπ3= 36，
在△ABC中，A>B,2A>A+B=π3，即π6