河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ＝（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用诱导公式计算即可.
【详解】
.
故选：A.
2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据弧长、半径和圆心角的关系，可求得扇形半径，代入面积公式，即可得答案.
【详解】设扇形的半径为r，由题意圆心角为，
所以弧长，解得，
则该扇形的面积.
故选：B
3. 设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出.
【详解】因为是第二象限角，所以，即．
又，解得（舍去），
所以．
故选.
4. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（ ）.

A. B. C. πD.
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即，
所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即，
因为，所以令，即，
故选：D.
5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为1B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【正确答案】D
【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断.
【详解】因为函数，
对于选项A：的最小正周期为，故A错误；
对于选项B：为奇函数，故B错误；
对于选项C：因为，不为最值，
所以的图象不关于直线对称，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解.
【详解】的图象向右平移个单位长度，
可得，
因为函数的对称中心为，
若平移后的图象关于原点对称，
则，得，
因为，故当时，取得最小值.
故选：C.
7. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）

A. B.
C. 为的一条对称轴D. 若，则为奇数
【正确答案】D
【分析】对A，根据图像上两个零点间的距离求出周期，进而得出判断；对B，由图象过点，结合图象在该点附近的单调性求解判断；对C，将代入验证判断；对D，由，解得，可知为奇数.
【详解】对于A：由图，，所以，，A错误；
对于B：图象过点，可得，可得，
解得，B错误；
对于C：由上可知，因为，
所以不是的一条对称轴，C错误；
对于D：若，即，可得，解得，
因为是偶数，是奇数，所以为奇数，D正确.
故选：D.
8. 是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ）
A. 10B. 13C. 22D. 26
【正确答案】D
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解.
【详解】因为对于任意的，都有，，
所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，
故
所以为的周期，
由得，又由时，有，
可以画出与的图象，如图：
由于也关于对称，且当时，，

由图象可得，函数共有13个零点，故所有零点之和为.
故选：D
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有错选得得0分.
9. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（ ）
A. 在起始位置，扇形的面积为
B. 经过，点的坐标为
C. 经过，扇形的弧长为
D. 经过，点单位圆上第二次重合
【正确答案】BD
【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数，以及扇形的弧长和面积公式，逐项分析判断，即可求解．
【详解】对于A，由点，可知，
扇形的面积，故A错误；
对于B，经过1s，点转过了2rad，所以点的坐标为，故B正确；
对于C，经过1s，点在的终边上，点在2rad的终边上，
所以扇形的弧长为，故C错误；
对于D，要使得点第二次重合，则点走过的弧长减去点走过的弧长等于，
设经过了，则，解得，故D正确．
故选：BD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若是第二象限角，则是钝角B. 若，则为第三象限角或第四象限角
C. 角与角的终边相同D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
【正确答案】CD
【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，A错误；
对于B，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，B错误；
对于C，∵，C正确；
对于D，若为第二象限角，则，，所以，，
若为偶数时，为第一象限角；
若为奇数时，则，，为第三象限角.
综上，为第一象限或第三象限角，D正确.
11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
C. 若，则取值范围是
D. 若，则的取值范围是
【正确答案】ABD
【分析】据中心对称即可求值A；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D.
【详解】对于A，由及在上单调递减，
得的图象关于点对称，因此，A正确；
对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，
即，解得，，而周期，则，
又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确；
对于C，，取，函数在上单调递减，
即也满足要求，C错误；
对于D，依题意，为单调递减区间的子集，
则，其中，解得，，
当时，，当时，，
所以的取值范围是，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题.每题5分，共15分.
12. 求函数的定义域为_________．
【正确答案】
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，则，即，
解，得，
解，得，于是，
所以所求定义域为.
故
13. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________．
【正确答案】.
【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案.
【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转，
此次点走过的路径是.
第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是.
第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，
点三次共走过的路径是.
故答案为:.
14. 已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为___________．
【正确答案】
【分析】根据区间上，求出的范围，由于在区间上恰有2个最高点，建立不等式关系，求解即可．
【详解】因为，所以，
依题意得，解得．
故答案为.
四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
分析】（1）利用诱导公式将角全部化成，再约分化简即可.
（2）由条件代入解析式得，利用诱导公式求解即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
因为，
所以，
，
故.
16. 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则

（1）求关于x的函数关系式；
（2）若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可；
（2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可.
【小问1详解】
由题意可知：，
则，即，
又，所以即，
所以；
【小问2详解】
易知大扇形与小扇形的面积分别为：，
所以扇环的面积为，
结合（1）得，
则砖雕面积与雕刻费用之比为，
整理得
，当且仅当时等号成立，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.
17. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．

（1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？
（2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间；
（2）由已知代入，解方程，解方程即可.
【小问1详解】
设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转，
则游客距地面高度，
又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为，
则，，则，
所以，
又当时，，
解得，
则，
又时，，
解得或，，
又运行一周的时间不低于分钟，
即，解得，
即，
所以运行一周所需时间分；
【小问2详解】
由（1）得，
由已知，令，
则或，，
又，则或.
18. 已知函数的最小正周期为，且．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域；
（3）设函数，若，求t的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式.
（2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域.
（3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值.
【小问1详解】
因为最小正周期．所以，解得．
因为，
所以，则．
解得．
由，得，从而.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，即在上的值域．
【小问3详解】
由（1）知．
因，所以，
所以，解得，
因为，所以当时，的最小值为．
19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）求实数的值和函数的解析式；
（2）若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．
（i）求的单调递减区间；
（ii）当时，方程有解，求的取值范围．
【正确答案】（1），，，；
（2）（i）；（ii）
【分析】（1）由题意可得过点，且其最大值为2，即可求得函数的解析式，再分别由，和求解即可；
（2）（i）由图象的平移可得，结合正弦函数的性质求解即可；
（ii）求得函数在上的值域为，由求解即可.
【小问1详解】
根据表中已知数据可知：过点，
且其最大值为2，故可得，
由，解得，
故，
所以，解得：，
，解得：，
，解得：．
综上，，，，；
【小问2详解】
（i），
令，解得：，
即，
所以的单调递减区间为；
（ii）当，使得方程有解，即有解，
即，
因为，所以，
所以当，即时，，
当，即时，，
所以，
解得：．
故的取值范围为．
0
0
2
0
0