河北省秦皇岛市实验中学2025~2026学年高二上册11月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份河北省秦皇岛市实验中学2025~2026学年高二上册11月期中考试数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．直线和的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．3B．C．5D．
4．若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ）
A．B．C．或D．或
7．已知，直线，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
8．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知空间向量，，，则（ ）
A．B．
C．D．可以为空间的一组基底
10．下列说法正确的是（ ）
A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
B．若向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为
C．直线，恒过定点
D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
11．在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面B．平面
C．点到平面的距离为D．直线到平面的距离为
三、填空题
12．直线与直线间的距离为________．
13．已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是______．
14．如图，在大小为45°的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________
四、解答题
15．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为．
（1）若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行；
（2）若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直．
16．如图，正方体的棱长为2，E是的中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．
（1）用为基底表示向量，并求的长；
（2）求的值．
18．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
19．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，为中点．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】D
【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称，
则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，
故点关于平面的对称点坐标为.
故选D.
2．【正确答案】C
【详解】由方程组，得，即交点为．
故选C．
3．【正确答案】A
【详解】向量，，若，则，
所以，，故.
故选A．
4．【正确答案】C
【详解】因为方程可变形为，
由题知，得到，
故选C.
5．【正确答案】C
【详解】设的倾斜角为，则，且，
如图，由正切函数的性质知.
故选C.
6．【正确答案】C
【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等，
所以，即，
化简得，解得或；
法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故；
若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则．
经检验，或均符合题意.
故选C
7．【正确答案】C
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选C.
8．【正确答案】A
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，可得，
设，所以可得；
因此，
因此点到直线的距离为
.
当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为.
故选A.
9．【正确答案】AB
【详解】对于A选项，，故，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，则，C错；
对于D选项，设，即，
所以，解得，故，
故、、共面，即不能为空间的一组基底，D错.
故选AB.
10．【正确答案】AC
【详解】对于A，，因为，所以P，A，B，C四点共面；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，直线恒过点，故C正确；
对于D，直线过点且在x轴，y轴上的截距相等，故D错误.
故选AC
11．【正确答案】ABD
【详解】，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，如图：
则，
，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
因为，又平面，
所以平面，故A正确；
所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
又，所以，所以平面，故B正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
则点到平面的距离为，故C错误.
故选ABD
12．【正确答案】/
【详解】直线的方程可化为，所以这两条直线平行，
且这两条直线间的距离为.
13．【正确答案】
【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以圆心和为直径的圆的标准方程是.
14．【正确答案】
【详解】，
，
.
15．【正确答案】（1）的斜截式方程为，
（2）在轴上的截距；
【详解】（1）直线的斜率，直线过点，直线的点斜式方程为，
故直线的斜截式方程为.
直线的斜率,，
显然点不在直线上，故.
（2）在直线的方程中令，得，故直线在轴上的截距为，
直线的斜率为，所以，故.
16．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）连接，在正方体中有平面，又平面，
所以，又因为四边形是正方形，E是的中点，
所以，又,平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2，
则，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令得，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【正确答案】（1），
（2）
【详解】（1）记，，，
则，，
∴，，
，
∴，即的长为；
（2），故，
故，
由（1）知，，
故
，
∴．
18．【正确答案】（1）；
（2）；轨迹是以为圆心，半径为的圆.
【详解】（1）设圆的方程为（其中），
因为圆过点，，，可得，
解得，满足，
所以圆的方程为，
所以圆的标准方程为.
（2）设点的坐标为，点的坐标为，
因为点的坐标是，点是线段的中点，
所以，所以，，
又因为点是圆上的一个动点，所以点的坐标满足圆的方程，
代入得，整理得，
所以点的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，半径为的圆.
19．【正确答案】（1）见详解
（2）存在；为的中点
【详解】（1）证明：取中点记为，连接，，如图所示，
则，且，
，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）存在点满足要求，理由如下：
取的中点为，连接，，如图所示，
则四边形为正方形，
且根据勾股定理得，
所以，
所以为等腰直角三角形，所以.
又，所以，而平面，且相交于点,所以平面，则，
又因为，，得，所以为等腰直角三角形，
所以，而平面，且相交于点,所以平面.
因此，以点为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为和，
则，令，得，
，令，得，
设平面与平面的夹角为，，
则，解得.
因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为.