广东中山市三鑫学校2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份广东中山市三鑫学校2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已经进入2026年了，各位同学都要有更好的精神面貌去学习新的知识.请运用已学知识研究一下，在平面直角坐标系中，属于（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【正确答案】C
【分析】利用“终边相同的角”的性质，将转化为到范围内的角，再根据象限角的定义判定.
【详解】因为，
所以与的终边完全相同，
由属于第三象限角，可知属于第三象限角.
故选：C
2. 已知，，则（ ）
A. 2B. C. 2或D. -2
【正确答案】A
【详解】因为，①
所以，
解得，又，
所以，
又，
所以，②
联立①②解得，
所以.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【正确答案】C
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，
所以把函数图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：C.
5. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据函数奇偶性结合当时函数值的符号性分析判断.
【详解】∵，即，
∴为偶函数；
又∵当时，则，故，
∴；
综上所述：A正确，B、C、D错误.
故选：A.
6. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算结合充分必要条件定义判断求解.
【详解】若，则．
因为，所以．
若，则，即．
故“”是“”的充分不必要条件．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解.
【详解】由，
所以.
故选：B
8. 已知，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 的值域为D. 的增区间为
【正确答案】C
【分析】利用函数解析式计算判断A，根据特例判断B，函数写成分段函数，根据正弦型函数性质判断CD.
【详解】因为，
所以，故A错误；
因为，
即，所以B错误；
因为，
所以当时，，
当时，，所以函数的值域为，故C正确；
由可知，
的增区间为，故D错误.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列等式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AD
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C错误；
对D：，故D正确.
10. 若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的有（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】AC
【分析】根据三角形内角和性质，结合三角函数的诱导公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，由题意可得，则，故A正确；
对于B，由题意可得，则，故B错误；
对于C，由题意可得，则,即，故C正确；
对于D，由题意可得，则，
该式不一定等于，故D错误.
故选：AC.
11. 对于定义在上的函数，满足，有，则下面判断正确的是（ ）
A.
B. 是的一个周期
C. 是奇函数
D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】令得，再令代入关系式判断A，令，结合奇偶性的定义判断C，令，得，进而有，结合C结论判断B，将位置作交换及C结论得，令及已知判断D.
【详解】令，则，可得恒成立，则，
令，则，A对，
令，则，即是奇函数，C对，
令，则，则，显然不是的一个周期，B错，
将位置作交换得，而，
所以，联立，
所以，令，且，则，
令，则，即，D对.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，则______.
【正确答案】
【详解】因为，，
所以.
13. 已知，，则_______________.
【正确答案】
【分析】由，得.由同角三角函数关系式求得，根据两角差的余弦公式求得.
【详解】因为，所以.
因为，所以.
所以.
故答案为.
14. 函数，若方程有四个不等的实根，则的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】根据对数函数的性质可得，根据正弦型函数的性质及图象，得为定值，根据二次函数给定区间上的值域可求的取值范围，即的取值范围.
【详解】图象如下，
因为；，当且仅当时，；.
所以当方程有四个不等的实根，即函数的图象与直线的图象有四个交点时，.
设，则，所以，则.
函数的最小正周期为，对称轴为，即.
当时，，所以当时，的图象关于对称，所以与关于对称，所以.
令，则，即.
当时，；当时，.
所以，.
可得在上单调递增，所以.
所以.
故答案为.
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用两角和的余弦公式求值.
（2）利用二倍角公式，结合诱导公式化简求值.
【小问1详解】
因为，，，，
所以，.
所以.
【小问2详解】
.
16. 函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的值域.
【正确答案】（1）
（2）；
（3）
【分析】（1）根据图象求出，再将代入求；
（2）根据正弦函数单调性求解；
（3）根据三角函数以及复合函数求值域.
【小问1详解】
由图象知，则，即.
由图象过点，则 ，即，
因为，则，
所以；
小问2详解】
令，
解得，
故函数的单调递增区间为；
【小问3详解】
因为，所以，则，
则，
所以的值域为.
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围；
（3）求在上的解集．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简；
（2）求出的范围，将问题转化为与函数图象有两个不同的交点，根据函数性质即可求出；
（3）解三角不等式，再与取交集.
【小问1详解】
，
则函数的最小正周期为；
【小问2详解】
因为函数在上恰有两个零点，
所以与函数图象有两个不同的交点，
因为，所以，
所以与函数图象有两个不同的交点，
画出如图：
由图可知，且（不妨设），
则且，
则，
则的取值范围为；
【小问3详解】
由，即，
得，得，
当时；当时；
故在上的解集.
18. 已知和为的两条对称轴，的最小值为．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．
（1）求的解析式；
（2）若，求的值；
（3）设，若，，使得，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由题意求得函数的最小正周期，从而求得的值，根据，求出，从而得到的解析式，再根据图象变换法则求得的解析式；
（2)根据诱导公式及同角三角函数关系式可求得的值；
（3）由题意得，.根据函数单调性，分别求得的取值范围，从而求得的取值范围．
【小问1详解】
因为的最小值为，所以函数的最小正周期.
所以，所以
因，所以
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以.
由题意可得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
.
所以.
【小问3详解】
由题意得，.
，单调递增，
所以.
当时，，.
①当时，，不成立，所以不合题意；
②当时，，所以，解得；
③当时，，所以，解得.
综上，的取值范围为.
19. 已知，，，其中
（1）已知，求的对称中心．
（2）已知，其中，求函数的最大值与最小值．
（3）已知，求的对称轴方程；并证明：对任意的正整数，的图象都关于直线对称．
【正确答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）；证明见解析
【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合三角函数求对称中心；
（2）令，结合三角函数求出的范围，再求一元二次函数的最值即可；
（3）利用倍角公式和降幂公式化简并结合三角函数的性质求出对称轴，并求证即可.
【小问1详解】
，
令，得，
故的对称中心为；
【小问2详解】
，
令，
则，
因为，所以，则，则，
因为，
所以函数的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
，
令，得，
故的对称轴方程为；
，
则对任意的正整数，的图象都关于直线对称.