专题04 二元一次的方程组（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版试卷+答案

这是一份专题04 二元一次的方程组（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版试卷+答案，共9页。试卷主要包含了二元一次方程，二元一次方程组，去分母 / 括号，求出一解，忘记回代求第二个解等内容，欢迎下载使用。

二元一次方程（组）
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
2.二元一次方程组
（1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解．
解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
二元一次方程组的应用
二元一次方程组的应用的解题步骤
题型1 二元一次方程(组)的定义
．【例1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（ ）
A．x−y=6B．3xy+1=−6C．3x+2=4x−1D．x−6=5
【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·月考）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．3x−6=xB．3x=2yC．2x+3y=1D．2x−3y=x2
【变式2】（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知2−ax+ya−1=3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（ ）
A．2B．−2C．2或−2D．1
【例2】（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．2a+2b=105b+4c=24B．x+y=52x+3y=10C．x2=9x+y=3D．x+y=6x2−y=4
【变式1】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．3x−2y=72x+y2=5B．x+y=3xy−4=0C．x−12+2=yx+2y=1D．1x+y=122y−x=4
【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·月考）有下列方程组：①2x=33y=5②x=12x+y=3③2x+y=13x−y=2④1x=5y2x−y=3其中二元一次方程组有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型2 二元一次方程的解
【例3】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知x=−1是方程−2x+y=5的解，那么y=( )
A．−2B．3C．−3D．7
【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知x=2y=−1是方程ax+2y=4的一组解，那么a的值是（ ）
A．1B．−1C．3D．−3
【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知2x+3y=13，则“用含x的代数式表示y”的结果是（ ）
A．y=xB．y=13−2xC．y=13−2x3D．x=13−3y2
【变式3】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（ ）种购买方案．
A．2B．3C．4D．5
题型3 解二元一次方程组
【例4】（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）解方程组
(1)2x−y=132x−6y=−7 (2)x−y3=x+y22x−5y=−6
【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法：
(1)4x+5y=11①2x−y=2② (2)4x−3y=14①5x+3y=31②
【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)2x−y=104x+y=8； (2)x=y+2x+3y=8．
题型4 二元一次方程组的特殊解法
【例5】（24-25七年级下·广东广州·月考）先阅读下列材料，解方程组18x+17y=1617x+16y=15时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组18x+17y=16①17x+16y=15②
解：①−②，得x+y=1，③
③×16，得16x+16y=16，④
②−④，得x=−1，
将x=−1代入③得y=2，
所以原方程组的解是x=−1y=2，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组2021x+2020y=20192019x+2018y=2017；
(2)在（1）的条件下，求式子x2+xy+y2的值．
【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）【注重阅读理解】
先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：x−y−1=0①4(x−y)−y=5②
由①，得x−y=1③．
把③代入②，得4×1−y=5，解得y=−1．
把y=−1代入③，得x=0．
∴原方程组的解为x=0y=−1
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：x+y−2=1①3(x+y)−x=7②
【变式2】（23-24七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6时，采用了一种“整体换元”的解法．把a−1,b+2看成一个整体，设a−1=x,b+2=y,原方程组可变为x+2y=62x+y=6，解得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，解得a=3b=0
(1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：a3−1+2b2+2=52a3−1+b2+2=1
(2)已知关于x,y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=10y=6，求关于m，n的方程组5a1(m+3)+3b1(n−2)=c15a2(m+3)+3b2(n−2)=c2的解．
【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13时，若假设2x+y=mx−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解之得m=8n=−1，即2x+y=8x−2y=−1，解之得x=3y=2，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
(1)已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，求关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解；
(2)请用上面的换元法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
题型5二元一次方程组的错解复原问题
【例6】（24-25七年级下·河南南阳·月考）甲、乙两人同时解方程组ax+y=3①2x−by=1②甲看错了b，求得的解为x=1y=−1乙看错了a，求得的解为x=−1y=3你能求出原题中正确的a，b吗？
【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知关于x,y的方程组ax−3y=175x+by=4，小明在解方程组时看错a，解得x=−2y=7，小红在解方程组时看错b，解得x=5y=1．求a,b的值．
【变式2】（24-25七年级下·河南开封·期末）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组ax+by=2cx−7y=8，小明得出的答案是x=3y=−2，小文得出的答案是x=−2y=2．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，请求出字母a,b,c的值．
【变式3】（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知方程组ax+5y=14①4x−by=−2②，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x=−1y=−1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=6y=−1．若按正确的a、b计算，求出原方程组的正确的解．
题型6 构造二元一次方程组求解
【例7】（24-25七年级下·河南南阳·期末）在等式y=kx+b中，当x=1，y=−2；当x=−1，y=−4；则当x=2时，y的值为______．
【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则2x−y的值为________；5x+y的值为________．
【变式2】（23-24七年级下·河南安阳·期末）对x，y定义一种新运算▲，规定：x▲y=ax+by（其中a，b均为非零常数），例如：1▲0=a．已知1▲1=5，−1▲1=−1．则a−2b=________．
【变式3】（23-24七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点Px,y，给出如下定义：记a=x+y，b=−y，将点Ma,b与Nb,a称为点P的一对“互助点”，例如：点P2,3的一对“互助点”是点5,−3与−3,5，若点Q的一对“互助点”之一为−1,7，则点Q的坐标为__________．
题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数
【例8】（2024八年级上·全国·专题练习）若方程3x−y=4k−52x+6y=k的解满足x+y=2024，则k=__________．
【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）已知方程组3x+5y=m+25x+3y=m的解x、y互为相反数，则有m的值_______．
【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）已知关于x，y的方程组3x+2y=22x+3y=k+7，的解满足4x+y=26，则k的值为___________．
【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若二元一次方程组的解x=ay=b满足a=2b或b=2a，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组2x+y=m+1x−y=2m−7是“二倍解方程组”，则m的值为_______．
题型8 方程组相同解问题
【例9】（23-24七年级下·山东德州·月考）ax−by=134x−5y=41与ax+by=32x+3y=−7有相同的解，则a=______，b=______．
【答案】 2 1
【变式1】（22-23七年级下·江苏·单元测试）已知关于x，y的方程组ax+by=mcx+dy=n的解是x=−4y=3，则方程组ax+5+by−1=2mcx+5+dy−1=2n的解是_____．
【变式2】（24-25七年级下·河南安阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=9的解为x=1y=2，那么关于m，n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=9的解为_____．
【变式3】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=5y=3则关于m、n的方程组a1m+n+b1m−n=c1a2m+n+b2m−n=c2的解是___________．
题型9 方案问题
【例10】（24-25七年级下·云南昆明·期中）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）果园丰收一批苹果共150吨，现需运往A市销售．在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）：
(1)若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？
(2)考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？
【变式2】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元．
(1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案．
【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务．
题型10 分配问题
【例11】（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？
【变式1】（21-22七年级下·广西桂林·月考）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖）
(1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张；
(2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？
【变式2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
(1)求大、小两种垃圾桶的单价；
(2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？
【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
题型11 销售经济问题
【例12】（24-25七年级下·河北唐山·月考）学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读，一套是革命家故事丛书，共18册；一套是青少年科普读物丛书，共20册．若购买3套革命家故事丛书，2套青少年科普读物丛书共需1290元；若购买2套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书共需1260元．若学校预算500元，能否购买一套革命家故事丛书和一套青少年科普读物丛书？
【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·月考）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
(1)求A、B两种材质的围棋每套的售价．
(2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，则商店销售完这30套围棋所得最大利润是______．
【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）小红家水果店花费500元从水果批发市场批发了香蕉和苹果共110千克，其中香蕉的批发价为4元/千克，苹果的批发价为5元/千克．
(1)香蕉和苹果各批发多少千克？
(2)若小红家水果店香蕉的零售价为6元/千克，苹果的零售价为8元/千克，则卖完这些香蕉和苹果能赚多少钱？
【变式3】（24-25七年级下·河南新乡·期末）五一劳动节到了，某中学打算去花店购买鲜花为学校的保洁阿姨送上一份节日祝福．已知买2束康乃馨和6束玫瑰共花费670元，并且每束康乃馨比玫瑰便宜25元．
(1)求每束康乃馨和玫瑰的售价．
(2)花店里搞活动，有两种促销方案：
方案①：五束康乃馨和五束玫瑰为一套餐，套餐打八折；
方案②：消费满990减100，满1990减200．
两种方案不能同时参与．学校打算购买14束康乃馨和12束玫瑰，请问如何购买更划算？
题型12 几何问题
【例13】（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？
【变式1】（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，在长为7 m，宽为5 m的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽．
【变式2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图1，长方形ABCD中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为x cm，宽为y cm，观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题．
【变式3】（2024·广东潮州·一模）【综合实践】
主题：制作一个有盖长方体盒子．
操作：如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=4dm，AD=6dm，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子．
计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．

题型13 古代问题
【例14】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈五千四百；人出三百，盈四百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题．
【变式2】（24-25七年级下·重庆垫江·期末）阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数x，y的系数，据此图2可以列出方程为：x+2y=14．
请你根据上述材料中的方法，完成下列任务：
任务一：
（1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解；
任务二：
（2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数m，n的系数，且图5所表示的方程组中m的值为−1，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数．
【变式3】（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．

题型14 其他问题
【例15】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某物流公司用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货18吨；用3辆A型车和4辆B型车装满货物一次可运货25吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？
(2)若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金150元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用．
【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明是一个热爱研究的孩子，在阅读了《乌鸦喝水》的故事后，想研究物体对水位的影响，于是用小球模拟了乌鸦喝水的场景，根据图中信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球水面升高_____cm，放入一个大球水面升高_____cm；
(2)如果放入10个球且使水面恰好上升到50 cm，应放入大球、小球各多少个？
【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某工厂与A,B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买原料运回工厂，制成产品运到B地．已知公路的运价为a元/（吨⋅km），铁路的运价为b元/（吨⋅km）．
(1)设一批原料有x吨，生产成的产品有y吨．填写下表（结果用含a, b, x, y的代数式表示）；
(2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B地运费39000元．求a, b的值．
(3)工厂从A地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往B地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？
【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20mL/s；开水的温度为100℃，流速为15mL/s．接水的过程中，为了接到较适合饮用的温开水，先接温水x秒，再接开水y秒，整个过程不计热量损失．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：
开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学要接满一杯500mL的水，如果他先接温水16秒，则再接开水的时间为______秒；
(2)在（1）的条件下，求甲同学接的这杯水的温度；
(3)乙同学要接一杯1680mL且水温为50℃的温开水，直接写出x、y的值．

计算类错误（最多）
1.加减消元：同减异加记反，符号崩盘
2.等式扩倍：只乘未知数，常数项漏乘
3.去分母 / 括号：漏项、正负变号错
4.求出一解，忘记回代求第二个解
方法选择错误
1.系数 ±1 硬用加减，浪费时间还错
2.系数成倍数不用加减，盲目代入复杂化
概念混淆错误
1.分不清：二元一次方程无数解 / 方程组唯一解
2.误把单个方程的解，当成方程组的解
应用题专属错因
1.找不齐两组等量关系，只列一个方程
2.配套 / 行程题：比例、顺水逆水、路程关系理解错
3.接设元卡死，不会用间接设元
答题规范失分
1.不检验、不写答句
2.含参题漏分类讨论，取值范围不写
选法速判
（1）系数有 ±1 →优先代入消元。
（2）同未知数成倍数 →优先加减消元
（3）含分数/小数 →先去分母、化整数再算.
代入消元三
（1）变:把系数 +1的项，单独放一边
（2）代:整体塞进另一个方程，消元
（3）求:先算一个，再回代求第二个
加减消元口诀
（1）同系数，相减;异系数，相加
（2）扩倍要全员乘:未知数+常数，一个不漏
化简秒杀
（1）小数方程组:全体 x10、x100 化成整数
（2）分数方程组:两边同乘最小公分母，去分母
应用题抓分
（1）必找两句等量关系，列两个方程
（2）行程:路程=速度x时间;顺水加水流，逆水减水流
（3）配套:按比例列等式(如 1桌面配 4 桌腿)
（4）难列式一换间接设元
避坑收尾
（1）算出两解必回原方程检验
（2）含参题:无解/无数解，看系数比例步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
x+3y
−7
−2
4
3
2x−y
车型
甲
乙
丙
运载量/（吨/辆）
6
10
12
运费/（元/辆）
450
600
700
如何设计板材裁切方案？
素材1
图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．

素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）．
方法一：裁切靠背16张和坐垫0张．
方法二：裁切靠背 张和坐垫 张．
方法三：裁切靠背 张和坐垫 张．
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三
解决实际问题
现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
销售时段
销售数量
销售收入
A种材质
B种材质
第一个月
3套
5套
1800元
第二个月
4套
10套
3100元
A地
B地
公路运费（元）
10ax
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铁路运费（元）
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