专题04 二元一次方程组（十五大类题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版试卷+答案

这是一份专题04 二元一次方程组（十五大类题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版试卷+答案，共9页。试卷主要包含了解方程组，解方程等内容，欢迎下载使用。

题型1 二元一次方程(组)的定义
题型9 方案问题（难点）
题型2 二元一次方程的解（常考点）
题型10 分配问题（常考点）
题型3 解二元一次方程组（常考点）
题型11 销售经济问题（重点）
题型4 二元一次方程组的特殊解法（常考点）
题型12 几何问题（常考点）
题型5二元一次方程组的错解复原问题（重点）
题型13 古代问题（常考点）
题型6 构造二元一次方程组求解
题型14 其他问题
题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点）
题型15 三元一次方程的应用（拓展）
题型8 方程组相同解问题（常考点）
题型1 二元一次方程(组)的定义（共3小题）
1．（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy=1B．x2+y2=1C．2x+y=1D．x+1y=1
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可．
【详解】解：A：xy=1，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程；
B：x2+y2=1，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程；
C：2x+y=1，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程；
D：x+1y=1，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程．
故选：C．
2．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=5y=2B．x+y=2y−z=8
C．x+y=5x2−y2=4D．x2−1=0x+y=3
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、x+y=5y=2符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意；
B、x+y=2y−z=8含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意；
C、x+y=5x2−y2=4的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意；
D、x2−1=0x+y=3的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．1x+y=4x−y=1B．4x+3y=62y+z=4C．x+y=4x−y=1D．x+y=5x2+y2=13
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组，
故选：C．
题型2 二元一次方程的解（共4小题）
4．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列各组数满足方程x−2y=3的是（）
A．x=3y=0B．x=4y=1C．x=2y=−1D．x=1y=−2
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键．
将每个选项中的x和y值代入方程x−2y=3，验证是否成立即可．
【详解】解：方程是x−2y=3，
对于选项A：x=3y=0，
代入得3−2×0=3−0=3，成立；
对于选项B：x=4y=1，
代入得4−2×1=4−2=2≠3，不成立；
对于选项C：x=2y=−1，
代入得2−2×−1=2+2=4≠3，不成立；
对于选项D：x=1y=−2，
代入得1−2×−2=1+4=5≠3，不成立．
∴只有选项A满足方程．
故选:A．
5．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知x=2y=−1是关于x，y的二元一次方程kx+3y=1的一个解，则k的值是（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】D
【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答．
【详解】解：∵x=2y=−1是关于x，y的二元一次方程kx+3y=1的一个解，
∴把x=2y=−1代入得：k×2+3×−1=1，
即2k−3=1，
∴2k=4，
∴k=2，
因此，k的值为2，
故选：D
6．（24-25七年级下·河北沧州·期末）二元一次方程x+3y=9的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的正整数解的定义是解题的关键．
列举出二元一次方程x+3y=9的正整数解，即可解答．
【详解】解：二元一次方程x+3y=9的正整数解有：
x=3y=2，x=6y=1，共2组，
故选：B．
7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）小明去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费240元．其中毛笔每支8元，围棋每副10元，共有多少种购买方案．（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买毛笔x支，围棋y副，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有5种购买方案．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得：
8x+10y=240，
∴x=30−54y，
又∵x，y均为正整数，
∴x=25y=4或x=20y=8或x=15y=12或x=10y=16或x=5y=20，
∴共有5种购买方案．
故选：B．
题型3 解二元一次方程组（共3小题）
8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）解方程组：
(1)x+2y=9y−3x=1；
(2)x+2y=154x−3y=16．
【答案】(1)x=1y=4
(2)x=7y=4
【分析】采用加减消元法进行方程组求解即可．
【详解】（1）解：x+2y=9①y−3x=1②，
①×3得：3x+6y=27③，
②+③得7y=28，解得y=4，
把y=4代入①得：x=1，
∴方程组的解为：x=1y=4；
（2）解：x+2y=15①4x−3y=16②，
①×4得：4x+8y=60③，
③−②得11y=44，解得y=4，
把y=4代入①得：x=7，
∴方程组的解为：x=7y=4．
9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组：
(1)3m−2n=7m+2n=5
(2)x−y=14x−5y=3
【答案】(1)m=3n=1
(2)x=2y=1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）（2）用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：3m−2n=7①m+2n=5②，
①+②得：4m=12，
解得m=3，
把m=3代入②得3+2n=5，
解得n=1，
故原方程组的解是：m=3n=1；
（2）解：x−y=1①4x−5y=3②，
①×4得：4x−4y=4③，
②−③得：−y=−1，
解得y=1，
把y=1代入①得：x−1=1，
解得x=2，
故原方程组的解是：x=2y=1．
10．（24-25八年级上·江苏南通·月考）解方程：
(1)x−2y=13x+4y=23
(2)3x−1=y+5y−13=x5+1
【答案】(1)x=5y=2
(2)x=5y=7
【分析】本题考查解二元一次方程组的知识点，解二元一次方程组主要有代入消元法、加减消元法两种方法，观察相同未知数的系数之间的关系是关键．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键：
（1）加减消元法解方程即可；
（2）加减消元法解方程即可．
【详解】（1）解：x−2y=1 ①3x+4y=23 ②，
①×2+②得：5x=25，
解得：x=5，
将x=5代入①可得：5−2y=1，
解得：y=2，
∴原方程组的解为x=5y=2；
（2）解：将方程组进行变形可得：3x−y=8 ①3x−5y=−20 ②，
①−②得：4y=28，
解得：y=7，
将y=7代入①可得：3x−7=8，
解得：x=5，
∴原方程组的解为：x=5y=7．
题型4 二元一次方程组的特殊解法（共3小题）
11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组x−y−1=0 ①4x−y−y=5 ②
由①得，x−y=1③
把③代入②，得4×1−y=5，解得y=−1，
把y=−1代入③得x=0，所以这个方程组的解为x=0y=−1．
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：2x−3y−2=02x−3y+57+2y=9．
【答案】x=7y=4
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
由第一个方程求出2x−3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】解：2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②
由①，得：2x−3y=2．③
把③代入②，得：2+57+2y=9，解得：y=4．
把y=4代入③，得2x−3×4=2，解得：x=7．
∴原方程组的解为x=7y=4．
12．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组1x+1y=122x+1y=20，设m=1x，n=1y，则原方程组可转化为m+n=122m+n=20，运用以上知识解决下列问题：
(1)解方程组1x+2y=23x+2y=4；
(2)关于x，y的二元一次方程组3x+5y=11ax+11y=12解为x=2y=1，求方程组3(x−2)+5(y+1)=11a(x−2)+11(y+1)=12的解．
【答案】(1)x=1y=2；
(2)x=4y=0．
【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键．
（1）设m=1x，n=2y，将原方程组可化为m+n=23m+n=4，解二元一次方程求得m=1n=1，从而可求得原方程组的解；
（2）由已知得x−2=2y+1=1，求解即可得答案.
【详解】（1）解：设m=1x，n=2y，
则原方程组可化为m+n=23m+n=4，
解得m=1n=1，
解得1x=12y=1，
所以原方程组的解为x=1y=2；
（2）解：∵关于x，y二元一次方程组3x+5y=11ax+11y=12的解为x=2y=1，
∴x−2=2y+1=1，解得：x=4y=0.
13．（24-25七年级下·山东日照·期中）问题提出：
已知实数x, y满足3x−y=5①2x+3y=7②，求7x+5y的值．
问题探究：
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x, y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y=19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
利用上面的知识解答下面问题：
(1)已知方程组3x+2y=5x+y=3，则2x+y的值为__________．
(2)请说明在关于x, y的方程组2x−2y=4a−1x+2y=2−a中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法：
（1）由①−②，即可求解；
（2）由①+②×4，得6x+6y=7，即可求解．
【详解】（1）解：3x+2y=5①x+y=3②
①−②得，2x+y=2，
故答案为：2；
（2）解：2x−2y=4a−1①x+2y=2−a②，
由①+②×4，得6x+6y=7，
∴x+y=76，
∴无论a取何值，x+y的值始终不变．
题型5二元一次方程组的错解复原问题（共3小题）
14．（24-25七年级下·吉林白山·期中）已知方程组ax−y=5①3x+by=2②由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−6y=5，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=4y=3
(1)求a、b的值；
(2)求原方程组正确的解．
【答案】(1)b=4，a=2
(2)x=2y=−1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据题意可得x=−6y=5满足方程②，x=4y=3满足方程①，分别代入方程进行求解即可得到答案；
（2）根据（1）所求得到原方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−6y=5，
∴ x=−6y=5满足方程②，
∴3×−6+5b=2，
∴b=4；
∵乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=4y=3，
∴ x=4y=3满足方程①，
∴4a−3=5，
∴a=2；
（2）解：由（1）得原方程组为2x−y=5①3x+4y=2②，
①×4+②得：11x=22，
解得x=2，
把x=2代入①得：2×2−y=5，
解得y=−1，
∴方程组的解为x=2y=−1．
15．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试求出a，b的正确值，并计算a2025+b的值．
【答案】a=−1，b=10，9．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出a、b的值，然后再把a、b的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：将x=−3y=−1代入方程组中的4x−by=−2得：−12+b=−2，解得b=10，
将x=5y=4代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，解得a=−1，
当a=−1，b=10时，
∴a2025+b
=−12025+10
=−1+10
=9．
16．（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组cx−3y=−2ax+by=2小明正确解得x=1y=−1，小文因看错了c，解得x=2y=−6．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求a−3b+c的值．
【答案】−4
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
把x=1y=−1代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a−3b的值，即可求出a−3b+c的值．
【详解】解：把x=1,y=−1代入cx−3y=−2，
得c+3=−2，
解得c=−5．
把x=2,y=−6代入ax+by=2，
得2a−6b=2，
即a−3b=1，
所以a−3b+c=1−5=−4．
题型6 构造二元一次方程组求解（共3小题）
17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在等式y=kx+b中，当x=1时，y=2；当x=−1时，y=8．
(1)求k、b的值；
(2)当y=0时，求x的值．
【答案】(1)k=−3b=5
(2)x=53
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．解题关键是掌握消元的思想．
（1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值．
（2）由（1）中结果可得x，y的关系式，把y=0代入解方程即得x值．
【详解】（1）解：∵y=kx+b中，当x=1时，y=2；当x=−1时，y=8，
∴k+b=2−k+b=8，
解得：k=−3b=5，
（2）解：由（1）知，k=−3b=5，
∴y=−3x+5，
∴当y=0时，−3x+5=0，
解得x=53．
18．（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考
新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点2，4、−3，6．
认真阅读上面材料，完成下面问题：
(1)请仿照上述材料中①的方法判断点6,−5是否为“理想点”．
(2)已知x、y是二元一次方程组x+y=m+6①x−y=−m②的解，若点x,y是“开心点”，求m的值．
【答案】(1)点6,−5不是“理想点”
(2)−32
【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解．
（1）仿照材料中①的方法，列出方程a+1=62b−1=−5 ,即可判断；
（2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出x+y=xy求解．
【详解】（1）解：令a+1=62b−1=−5 ,得a=5b=−2，
∵a+b=5−2=3≠5，
∴点6,−5不是“理想点”．
（2）由①+②，得2x=6，
解得x=3，
将x=3代入②，得3−y=−m，
∴y=3+m，
∵点x,y是“开心点”，
∴x+y=xy，
∴3+3+m=3（3+m），
解得m=−32．
答：m的值为−32．
19．（24-25八年级上·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，对于点Px,y，若点Q的坐标为ax+y,x+ay，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P1,4的“2阶智慧点”为点Q(2×1+4,1+2×4)，即点Q6,9．
(1)点A−1,−2的“3阶智慧点”的坐标为______．
(2)若点B的“4阶智慧点”为−5,10，求点B的坐标．
(3)若点Cm+2,1−3m的“−5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
【答案】(1)−5,−7
(2)点B的坐标为−2,3；
(3)m=14或18．
【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用方程组来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；
（2）设点B的坐标为x,y，根据题意即可得到关于x,y的方程组，进而得解；
（3）点C(m+2,1−3m)的“−5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值．
【详解】（1）解：点A−1,−2的“3阶智慧点”的坐标为Q3×(−1)+(−2),−1+3×(−2)，
即坐标为−5,−7；
故答案为：−5,−7；
（2）解：设点B的坐标为x,y，
∵点B的“4阶智慧点”为−5,10，
∴4x+y=−5x+4y=10，
解得x=−2y=3，
∴点B的坐标为−2,3；
（3）解：∵点Cm+2,1−3m，
∴点C的“−5阶智慧点”为(−8m−9,16m−3)．
∵点C的“−5阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴∣16m−3∣=1，
∴16m−3=1或16m−3=−1．
解得m=14或18．
题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共4小题）
20．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组3x−y=4k−52x+6y=k的解满足x+y=2024，则k等于（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合x+y=2024建立关于k的方程．
将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含x+y与k的等式，再代入x+y=2024求解k．
【详解】解：已知方程组3x−y=4k−52x+6y=k，
将两方程相加，得：(3x−y)+(2x+6y)=(4k−5)+k，
整理得：5x+5y=5k−5，
两边同时除以5，得：x+y=k−1．
又因为x+y=2024，所以k−1=2024，
解得k=2025．
故选：B．
21．（25-26七年级上·广西玉林·月考）若关于x，y的方程组2x+y=2k+2x+2y=1−k的解满足x−y=7，则k的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出x−y的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用k表示出x−y，再结合x−y=7列方程求解k．
【详解】解：2x+y=2k+2 ①x+2y=1−k ②
用①−②得(2x+y)−(x+2y)=(2k+2)−(1−k)，整理得x−y=3k+1，
∵ x−y=7，
∴ 3k+1=7，
解得k=2，
故选：A．
22．（24-25七年级下·山东济宁·期末）若x=1y=−1是二元一次方程组2ax+by=7y−bx=a的解，则ba的值为（ ）
A．9B．−9C．−8D．−6
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
【详解】解：把x=1y=−1代入二元一次方程组2ax+by=7y−bx=a，
得2a−b=7−1−b=a，解得：a=2b=−3，
则ba=−32=9，
故选：A．
23．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）关于x、y的方程组2x−3y=4m3x+2y=4−3m的解，也是二元一次方程5x−y=6的解，则m的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，首先让①+②，得到：5x−y=m+4，根据5x−y=6可得：m+4=6，解方程求出m的值即可．
【详解】解：2x−3y=4m①3x+2y=4−3m②，
①+②得：5x−y=m+4，
∵5x−y=6，
∴m+4=6，
解得：m=2．
故选：C．
题型8 方程组相同解问题（共3小题）
24．（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于x，y的方程组3x−y=54ax+5by=−22与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，则(−a)b的值为（ ）
A．−6B．6C．−8D．8
【答案】C
【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组3x−y=54ax+5by=−22与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，
∴关于x，y的方程组3x−y=5①2x+3y=−4②的解也是关于x，y的方程组4ax+5by=−22ax−by=8的解，
3x−y=5①2x+3y=−4②，
①×3+②，可得11x=11，
解得x=1，
把x=1代入①，可得：3×1−y=5，
解得y=−2，
∴原方程组的解是x=1y=−2，
∵关于x，y的方程组3x−y=5①2x+3y=−4②的解也是关于x，y的方程组4ax+5by=−22ax−by=8的解，
∴ 4a−10b=−22a+2b=8，
解得：a=2b=3，
∴(−a)b=(−2)3=−8；
故选：C．
25．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组x+2y=5bx−ay=−1和2x+y=4ax+by=3有相同的解，则a+b2025的值为（ ）
A．−1B．22025C．1D．5000
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题．
由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解x和y，再代入含参数的方程求出a和b，进而计算a+b2025．
【详解】解：∵两个方程组有相同的解，
∴可得方程组：x+2y=52x+y=4， bx−ay=−1ax+by=3，
解x+2y=52x+y=4得：x=1y=2，
将x=1，y=2代入bx−ay=−1ax+by=3得：b−2a=−1a+2b=3，
解b−2a=−1a+2b=3得：a=1b=1，
∴a+b2025=1+12025=22025，
故选：B．
26．（25-26七年级上·广西崇左·月考）关于x、y的二元一次方程组ax−my=16bx+ny=15的解是x=7y=−1，那么关于x、y的二元一次方程组a(2x+y)−m(x−y)=16b(2x+y)+n(x−y)=15的解是（ ）
A．x=2y=3B．x=7y=−1C．x=73y=12D．x=23y=53
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于x、y的方程组是解此题的关键．
根据已知得出关于x、y的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组ax−my=16bx+ny=15的解是x=7y=−1，
∴关于x、y的二元一次方程组a(2x+y)−m(x−y)=16b(2x+y)+n(x−y)=15中2x+y=7x−y=−1，
解得：x=2y=3，
故选：A．
题型9 方案问题（共3小题）
27．（25-26七年级上·福建厦门·月考）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元．
(1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价．
(2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案．
【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元．
(2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号19辆和B种型号5辆；方案2为购进A种型号10辆和B种型号10辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号15辆．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）．
（1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意列方程组，求解即可；
（2）设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案．
【详解】（1）解：设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，
根据题意可得2x−y=4x+2y=92，
解得x=20y=36，
∴A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元．
（2）解：设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆，
根据题意可得20m+36n=560，且m、n均为正整数，
由20m+36n=560，得m=28−95n，
∵m、n均为正整数，
∴m=19n=5或m=10n=10或m=1n=15，
∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号19辆和B种型号5辆；方案2为购进A种型号10辆和B种型号10辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号15辆．
28．（24-25七年级下·四川泸州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】(1)冰墩墩进了50个，雪容融进了10个
(2)该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，根据某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，根据所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．
【详解】（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：x+y=6030x+50y=2000，
解得：x=50y=10，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，(40−30)×50+(65−50)×10=650（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：30a+50b=650，
整理得：b=13−35a，
∵a、b为正整数，
∴a=5b=10或a=10b=7或a=15b=4或a=20b=1，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
29．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案．
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
(2)见详解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共6000ml，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案．
【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元．
依题意得： 3x+2y=1042x+3y=111
解得：x=18y=25
答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元．
（2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的空瓶．
依题意得：300a+500b=6000
∴a=20−53b
又∵a、b均为正整数
∴a=15b=3或a=10b=6或a=5b=9
∴共有3种购买方案
方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶，3个最大容量500ml的空瓶．
方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶，6个最大容量500ml的空瓶．
方案3：购买5个最大容量300ml的空瓶，9个最大容量500ml的空瓶．
题型10 分配问题（共4小题）
30．（24-25七年级下·山东泰安·月考）某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
【答案】每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，根据共有140名工人及一个卷筒与两个圆板配成一套，可得出方程组，解出即可得出答案．
【详解】设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，由题意得，
x+y=1402×25x=20y，
解得：x=40y=100，
∴每天生产卷筒：25×40=1000（个），
每天生产圆板：20×100=2000（个），
∴圆板数量恰好为卷筒数量的2倍，则可配成1000套，无剩余
答：每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板才能使每天生产出来的产品配成最多套．
31．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
观察发现：
(1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张；
(2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
【答案】(1)4m+3n，m+2n
(2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个；
(3)最多可加工铁盒19个．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解；
（2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可；
（3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意得
如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片4m+3n张，
正方形铁片m+2n张；
故答案为：4m+3n，m+2n；
（2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得
4m+3n=155m+2n=70，
解得m=20n=25
故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得
x+y=353x=2×4y
解得x=25511y=9611
∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3=75（片），
9张做正方形铁片可做9×4=36（片），
剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片75+1=76（片），正方形铁片36+2=38（片）
∴可做铁盒76÷4=19（个）
答：最多可加工铁盒19个．
32．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
【答案】安排生产镜框的工人10名，生产镜片的工人8名
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设安排生产镜框的工人x名，生产镜片的工人y名，根据生产车间有18名工人，每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设安排生产镜框的工人x名，生产镜片的工人y名，由题意，得：
x+y=18100x×2=250y，
解得：x=10y=8；
答：安排生产镜框的工人10名，生产镜片的工人8名．
33．（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．
【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车
(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可；
（2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可．
【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，
根据题意，得：2x+3y=444x=5y，解得x=10y=8，
答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车．
（2）解：设熟练工人和新工人各m，n人，
由题意得：25×10m+25×8n=3500，
整理得：5m+4n=70，
当m=2时，n=15；
当m=6时，n=10；
当m=10时，n=5；
答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
题型11 销售经济问题（共4小题）
34．（25-26七年级上·山东青岛·月考）某服装店购进一批文化衫和帽子，共700件，总进货款为20000元，这两种商品的进价、预售价如表：
(1)求该服装店购进文化衫和帽子各多少件？
(2)若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得______元的利润．
(3)在实际销售过程中，服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润6000元，求帽子售出一半后是按预售价的几折销售的？
【答案】(1)文化衫100件，帽子600件
(2)7200
(3)9折
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次方程的应用；
（1）设该服装店购进文化衫x件，帽子y件，根据某服装店购进一批文化衫和帽子，共700件，总进货款为20000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）设帽子售出一半后是按预售价的m折销售的，根据服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润6000元，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设该服装店购进文化衫x件，帽子y件，
根据题意得：x+y=70020x+30y=20000
解得：x=100y=600
（2）根据题意得：(32−20)×100+(40−30)×600=7200(元)，
即若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得7200元的利润，
故答案为：7200；
（3）设帽子售出一半后是按预售价的m折销售的，
根据题意得：(32−20)×100+(40−30)×300+(40×0.1m−30)×300=6000，
解得：m=9，
答：帽子售出一半后是按预售价的9折销售的．
35．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如皋香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A,B两种规格的如皋香肠销售，近两天的销售情况如表：
（说明：本题中，A,B两种规格如皋香肠的进价、售价均保持不变）
(1)求A,B两种规格香肠的销售单价；
(2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？
(3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1035元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A规格销售单价30元/袋，B规格销售单价45元/袋
(2)B规格香肠最多能采购30袋
(3)能，采购A规格香肠55袋，B规格香肠25袋
【分析】（1）根据两天的销售数量和销售收入，设A、B两种规格香肠的销售单价，利用“销售收入 = 销售单价×销售数量”列二元一次方程组求解．
（2）设采购B规格香肠的袋数，结合A规格袋数（总袋数 - B规格袋数），根据“采购费用 = 进价×采购数量”以及“费用不超过1800元”列一元一次不等式求解．
（3）先算出A、B两种规格香肠的单件利润（销售单价 - 进价），设采购B规格袋数，根据“总利润 = 单件利润×销售数量”列一元一次方程，结合（2）中B规格袋数的取值范围判断是否能实现目标．
本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握方程与不等式的建模思路、求解方法是解题的关键．
【详解】（1）解：设A规格香肠销售单价为x元/袋，B规格香肠销售单价为y元/袋．由题意可得，
10x+6y=5705x+8y=510
解得x=30y=45，
答：A规格销售单价30元/袋，B规格销售单价45元/袋．
（2）解：设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠(80−m)袋．由题意可得
30m+18(80−m)≤1800
解得m≤30
∴B规格香肠最多能采购30袋．
（3）解：能实现利润为1035元的目标，理由如下：
A规格单件利润：30−18=12（元/袋），B规格单件利润：45−30=15（元/袋）
设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠(80−m)袋，
15m+12(80−m)=1035
解得m=25，
由（2）知m≤30，25≤30，符合条件．
∴采购A规格香肠80−25=55袋，B规格香肠25袋，能实现利润为1035元的目标．
36．（22-23七年级下·重庆大渡口·开学考试）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
(2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．
(3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元
(2)专卖店共有3种采购方案
(3)购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元
【分析】本题主要考查二元一次方程组与销售，利润的综合问题，掌握题意的数量关系列方程，判断最大利润，选择合适的方案是解题的关键．
（1）根据题意，设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，根据数量关系列方程解方程即可求解；
（2）计划恰好用3500元购进玩具，由（1）可知“冰墩墩”毛绒玩具每只进价，“雪容融”毛绒玩具每只进价，设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，根据数量关系即可求解；
（3）根据（2）中的方案，分别计算各自的利润，进行比较，由此即可求解．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，
由题意得，8x+10y=200010x+20y=3100，
解方程组得，x=150y=80，
∴“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元．
（2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，
由题意得，150m+80n=3500，
整理得，m=350−8n15，
∵m、n为正整数，
∴m=2n=40或m=10n=25或m=18n=10，
∴专卖店共有3种采购方案．
（3）解：当m=2，n=40时，利润为：2×(200−150)+40×(100−80)=900（元）；
当m=10，n=25时，利润为：10×(200−150)+25×(100−80)=1000（元）；
当m=18，n=10时，利润为：18×(200−150)+10×(100−80)=1100（元）；
∵900