浙江省金华市永康市2026年八年级下学期数学第一次月考试卷附答案

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1．若代数式有意义，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．下列根式中属最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
3．方程的两个根是( )
A．，B．
C．D．，
4．在学校举行“健康阳光少年，做更好的自己”的演讲比赛中，六位评委给小钟的评分分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．用配方法解方程x2 +4x+1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x-2)2=5B．(x-2) 2=3C．(x+2) 2=5D．(x+2) 2=3
6．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值( )
A．B．C．或D．
7．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数单位：分及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （ ）
A．120（1－x）2=100 B．100（1－x）2=120
C．100（1＋x）2=120 D．120（1＋x）2=100
9．设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为( )
A．B．C．D．
10．关于的一元二次方程，下列说法：若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程没有实数根；若是方程的一个根，则；若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．一元二次方程的根是 ．
12．已知是关于x的一元二次方程，则a等于 ．
13．一个小组共有名学生，在体育课的一次“定位投篮”的测试中，他们分别投了个，这个学生这次测试成绩的方差为 ．
14．实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根，实数满足，则实数的值为 ．
16．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）；
（2）．
四、解答题：本题共6小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图．
（1）请你在网格图中画出边长为，，的格点三角形；
（2）在 ▲ 的条件下，求三角形最长边上的高．
20．为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭8月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
（1）小明所调查家庭8月份用水量的众数是___________，中位数是___________；
（2）求所调查家庭8月份用水量平均数；
（3）若该小区有600户居民，请你估计这个小区8月份的用水量．
21．某水果店销售一种水果的成本价是元千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在元千克时，每天可以卖出千克．在此基础上，这种水果的单价每提高元千克，该水果店每天就会少卖出千克．
（1）设提价元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．用含的代数式表示
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？
（3）该水果店每天销售这种水果所获得的利润能否达到元？若不能，请说明理由．
22．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根若所求方程的根不是常数，就用含的式子表示；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求的值．
23．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
24．阅读材料：
已知，为非负实数，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
根据以上材料解答下列问题：
（1）
【灵活运用】已知，则当 时，代数式到最小值，最小值为 ．
（2）已知，求代数式的最小值．
（3）
【拓展运用】某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米？
（4）如图，四边形的对角线，相交于点，和的面积分别是和，求四边形面积的最小值．
答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】分式有意义的条件是被开方数是非负数.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】最简二次根式的被开方数不能是小数或分数，且不包含开得尽方的因数或因式；
A、被开方数是分数，不是最简二次根式；
B、被开方数是整数，且不包含开得尽方的因数或因式，是最简二次根式；
C、被开方数是整数，但包含开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
D、被开方数是小数，不是最简二次根式.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】移项，直接开平方即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵这组数据排序后为，，，，，，
∴这组数据的众数为87，中位数为，
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义“把数据从小到大（从大到小）排列后，居于中间一个数或两个数的平均数是中位数，出现次数最多的数是众数”解答即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】解： x2 +4x+1=0
∴ x2 +4x+4=-1+4，
∴（x+2）2=3.
故答案为：D
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的左边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方式.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：把代入方程得：
解得：
故答案为：A.
【分析】先利用方程解的概念把把代入方程得关于的一元二次方程，解方程得出等于；但由于一元二次方程的二次项系数不为0，因此应舍去，故的值只有一个.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：且
先排除乙和丙
且
应选甲组
故答案为：A.
【分析】先由平均数分析，由于甲和丁的平均成绩高于乙和丙的平均成绩，所以先排除乙和丙组；再由方差来分析，因为甲组的方差小于丁组的方差，说明甲组的成绩更稳定，故应选甲组.
8．【答案】A
【解析】【分析】等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=100．
【解答】第一次降价后的价格为120×（1-x)，那么第二次降价后的价格为120×（1-x)×（1-x)，∴可列方程为120（1-x)2=100．
故选：A
【点评】解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：设这个直角三角形的斜边为
和是方程的两个根
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得、的和与积，再利用完全平方公式可得、的平方和，再由勾股定理知斜边就是与的平方和的算术平方根.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：
当时，
方程一定有两个不相等的实数根，故结论正确；
当时，
当时，，方程没有实数根；
当时，，方程有两个实数根；故结论错误；
是方程的一个根
或，即，故结论正确；
是方程的一个根且
利用方程解的概念把代入到方程中得：
即是方程的一个根
故结论正确；
故答案为：C.
【分析】利用根的判别式直接验证即可；
先表示出根的判别式，此时由于的取值范围不确定，但因为大于，因此肯定是正数，但还需分类讨论，当时，，方程没有实数根；但当时，，方程有两个实数根；
利用方程解的概念把代入到方程中可得等于0或；
先利用方程解的概念把代入到方程中得到，由于，可给等式两边都除以，则可判定是方程的一个根.
11．【答案】，
【解析】【解答】解：
或
，
故答案为：，.
【分析】两因式积为0，每一个因式都可能等于0；从而化一元二次方程为一元一次方程即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴
解得
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程定义得到，求出a的值即可．
13．【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先求出平均数，再利用方差公式计算即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：观察数轴知：
故答案为：.
【分析】由 知，可先把二次根式的加减运算转化为含绝对值的代数式的加减运算，再根据数轴可确定绝对值符号内的代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再去括号并合并同类项即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：
方程有两个实数根
或
和是方程的两个实数根
即
解得：
应舍去
故答案为：.
【分析】先由根的判别式求出m的取值范围，再应用根与系数的关系结合已知条件可得到关于m的分式方程，再对分式方程的两个解进行取舍即可.
16．【答案】
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”
故答案为：2019.
【分析】由“同族二次方程”的概念可把方程表示成的形式，则左边展开式与原方程左边对应相等，此时可得到关于和的二元一次方程组，解方程组求出和的值，则利用配方法可把所求代数式表示成“同族二次方程”左边的形式，即一个完全平方式的整数倍与一个常数的和的形式，由于完全平方式都是非负数，则其最小值为这个常数的值.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）二次根式的加减混合运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，再对出现的同类二次根式进行合并即可；
（2）二次根式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后加减；注意进行平方或乘法运算时可灵活运用乘法公式能简化运算.
18．【答案】（1）解：，
该方程有两个不等的实数根，
，即，．
（2）解：，
，
，
或，
，．
【解析】【分析】（1）解一元二次方程时，若系数都是整数且绝对值较小时，可利用公式法求解，求解时先计算根的判别式，当时再代入求根公式计算即可；
（2）解一元二次方程时，当方程右边等于0且左边各项有公因式时，可利用提公因式法化一元二次方程为一元一次方程，再分别解一元一次方程即可.
19．【答案】（1）解：如图所示，，，，
（2）解：，即
是直角三角形，且斜边为，
边上的高为
【解析】【分析】（1）如图所示，分别取点A、B、C，使AB为边长为2的正方形的对角线，BC为直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，CA为边长1的正方形的对角线，再顺次连接A、B、C即可；
（2）利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，且BC为斜边，再利用等面积法即可求出BC上的高.
20．【答案】（1）4；4
（2）解：所调查家庭8月份用水量平均数为：
（吨）
（3）解：根据题意得：（吨），
答：估计这个小区8月份的用水量为2700吨．
【解析】【解答】（1）解：每月用水4吨的户数最多，有6户，
故众数为4；
，
∴一共调查了20户家庭；
第10和第11位数据分别是4，4，
∴中位数是
故答案为：4，4；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）利用加权平均数的公式直接计算解题；
（3）利用600×样本居民平均用水量解题．
21．【答案】（1）；
（2）解：由题意知，，
化简得：，
解得，
因为让利于顾客，
所以符合题意，
答：单价应定为元．
（3）解：设总利润为元，由总利润每千克利润销售量，可得：
，
对于二次函数，这里，
根据二次函数顶点坐标公式，可得，
把代入函数得元，
，二次函数图象开口向下，
所以函数有最大值元，即利润不能达到元，
答：不能，最大利润为元．
【解析】【解答】解：（1）设提价x元，则利润＝（元）；销量＝160-20x（千克）；
【分析】（1）第一空：设提价x元，则售价为（7+x）元，则每千克利润为（7+x-5）=（x+2）元；
第二空：因为每提高1元则每天少卖出20千克，则提高x元后，少卖出20x千克，则每天销量为（160-20x）千克；
（2）由利润＝单个利润销量可得关于x的一元二次方程，解方程并结合实际对求得的根进行取舍即可；
（3）设总利润为元，则由（2）知是的二次函数，可把函数的一般形式转化为顶点式，由于二次项系数是负数，则抛物线开口向下，函数有最大值500，因此每天利润不可能为510元.
22．【答案】（1）证明：依题意，得
，
此方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式，得
．
（3）解：此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，
．
．
【解析】【分析】（1）直接利用根的判别式计算即可发现；
（2）由于，可直接套用求根公式从而求出两个根；
（3）由（2）知，方程的两个根相等即可得到关于k的一元一次方程，解方程即可..
23．【答案】解：目标1：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，则图中的四角裁去小正方形的边长为，则收纳盒的宽小正方形的边长；目标2：（1）设长方形纸板四个角裁去的正方形边长为，则，由题意得：，整理方程得：解方程得：（舍去）答：储物盒的容积为立方厘米；（2）如图所示，设长方形纸板四个角裁去的长方形的长和宽分别为和，由题意得：解得：收纳盒的高为玩具机械狗不能完全放入该储物答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
【解析】【分析】目标1：由长方形纸板的制作方式知，裁掉的小正方形的边长等于50与40差的一半，即等于5；则a应该等于5的2倍与30的和，即等于40；
目标2：（1）为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，此时可设长方形纸板四个角裁去的正方形边长为，由裁得的长方体底面积为936可得到关于的一元二次方程，解方程得并对解进行取舍，则得到的值就是长方形储物盒的高，则容积即为体积；
（2）如图所示，设长方形纸板四个角裁去的长方形的长和宽分别为和，则长方体储物盒的高为，由和两边恰好重合且无重叠部分得与差的2的倍恰好等于盒底长方形的长，再由盒子的底面积为 可联立得到关于和二元一次方程组，解方程即得到储物盒的高低于玩具机械狗的高度，故不能完全放入.
24．【答案】（1）；
（2）解：
令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
代数式的最小值为
（3）解：设花圃的宽为米，则长为米，
所用的围栏
令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
故：所用的围栏至少为米
（4）解：作，如图所示：
由题意得：
四边形面积
令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．
四边形面积的最小值为
【解析】【解答】解：（1）
当时，即：时，有最小值
故应分别填：和；
【分析】（1）由于与的积为，由均值不等式和是正数知：当时，即当时，有最小值；
（2）由于是正数，则所求代数式可转化成的形式，此时由均值不等式知，有最小值，则所求代数式的最小值为；
（3）设花圃的宽为米，则长为米，由题意可列围栏长可表示为：，由于是正数，则由均值不等式知围栏的最小长度为，即米；
（4）分别过点A、C作AEBD、CFBD，垂足分别为E、F，则等于，等于，则等于等于、
等于等于，则可表示为++4+12，由于AE、CF都是正数，则由均值不等式知，当且仅当等于时，+有最小值，即，所以有最小值.
甲
乙
丙
丁
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材
如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．
素材
如图是利用闲置纸板箱拆解出的，两种均为长方形纸板．
长方形纸板
长方形纸板
小琴分别将长方形纸板和以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板的制作方式
长方形纸板制作方式
裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．
将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标
熟悉材料
熟悉按照长方形纸板的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽为 ．
目标
利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用
按照长方形纸板的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳
按照长方形纸板的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．