贵州省黔西南州金成实验学校高一上学期期末检测数学试题（解析版）

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高一年级数学
答卷注意事项：
1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题.
2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂.
3、答题时字迹要清楚、工整.
4、本卷共19小题，总分为150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2. 若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式直接求解即可.
【详解】若扇形的半径为，圆心角弧度数为，
则扇形的面积为.
故选：C.
3. 下列函数中，是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数定义即可判断.
【详解】偶函数的定义域关于坐标原点对称，定义域为，A错误；
偶函数的图象关于轴对称，图象关于坐标原点对称，B错误；
图象关于坐标原点对称，C错误；
，，符合偶函数定义，D正确.
故选：D.
4. 设，，如果函数满足，那么a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数的单调性，时，函数单调递减， 时，函数单调递增.
即可判断结果.
【详解】因为函数为单调函数，且，故函数为单调递减函数，
那么.
故选：A
5. 当x为第二象限角时， （ ）
A. 1B. 0
C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦、余弦函数的正负性进行求解即可.
【详解】因为是第二象限角，
所以，
故选：C
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助诱导公式与同角三角函数基本关系计算即可得.
【详解】，又，则，
于是.
故选：D.
7. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.
【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，
轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：

则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确；
对B：的最小正周期为，故B错误；
对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误；
对D：的最小正周期为，故D错误.
故选：A.
8. 已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的性质和条件列出关于的解析式即可.
【详解】由题设知直线与点分别为函数图象的对称轴与对称中心，
故，，
于是（，），即，
又，且，故的最小值是2；
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 若，则
B. “，”的否定是“，”
C. a，b，，则“”的充要条件是“”
D. 若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用充要条件的定义判断C；求出m的范围判断D.
【详解】对于A，，则，则，A正确；
对于B，“，”是存在量词命题，其否定是：“，”，B错误；
对于C，若，，则，因此不是的充要条件，C错误；
对于D，命题“，”为假命题，则，为真命题，因此，解得，D正确.
故选：AD.
10. 函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递减
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性、单调性、值域依次判断即可.
【详解】函数的定义域为R，
对于A，，是偶函数，A正确；
对于B，，函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，，则，D正确.
故选：ACD.
11. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 该图像向右平移个单位长度可得图象
B. 函数的图像关于点对称
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数在上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】由图象知，，函数的周期，则，
则，由得，而，
则，因此.
对于A，函数图象向右平移个单位长度，得，
即的图象，故A正确，
对于B，，则的图象关于点对称，故B正确；
对于C，，则函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，当时，，
当，即时，取得最小值，
所以函数在上不单调，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若角终边经过点，则的值为______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得结果.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
所以，
故答案：.
13. 已知，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】借助两角差的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得.
【详解】因为，
且，所以.
故答案为：.
14. 函数的零点个数为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】函数的定义域为，由得，
函数的零点即方程的根，
作函数和的图象，如图，
由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出；
（2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，
∵，
因此，；
小问2详解】
∵．
①当时，即，
∴，此时满足题意；
②当时．则或，
解得或．
综上所述，实数a的取值范围是．
16. 已知定义在上的函数为偶函数.当时，.
（1）求；
（2）求函数的解析式；
（3）若，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；
（2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案；
（3）分两种情况，根据函数单调性求出函数在时的值域.
【小问1详解】
，
因为为上的偶函数，所以；
【小问2详解】
当时，，
故，
又为上的偶函数，故，
所以，
所以；
【小问3详解】
当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为，
故，
由函数为偶函数可知，当时，单调递增，，
则，
综上，的值域为
17. 求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦和差公式进行证明；
（2）在（1）的基础上，变形即可.
【小问1详解】
证明：因为,
将以上两式的左右两边分别相加，得
，
故
【小问2详解】
由（1）可得①，
设，
把代入①，即得.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），
（2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，结合周期公式以及整体代入法即可求解函数的周期和单调递增区间；
（2）先求的范围，进一步即可求解函数在区间上的最值.
【小问1详解】
最小正周期，
由，，
得，，
单调递增区间为；
【小问2详解】
，，
，
在上最大值为1（当时取到），
最小值为（当时取到）.
19. 定义三阶行列式运算：，其中.已知函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上的最大值为，求的值；
（3）若函数，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三阶行列式运算的定义求函数解析式即可；
（2）根据对称轴与闭区间的位置关系分类讨论，结合二次函数的单调性确定最大值，解出的值即可；
（3）根据题意得，利用指数函数的单调性得，进而将问题转化为，再根据二次函数的对称轴与闭区间的位置关系分类讨论，结合二次函数的单调性确定最大值，解出的值即可.
【小问1详解】
由三阶行列式运算的定义，得.
【小问2详解】
由（1）可知，，
①当，即时，函数在上单调递增，
此时，解得（舍去），
②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，解得，
③当，即时，函数在上单调递减，
此时，解得（舍）或，
综上所述，实数的值为或.
【小问3详解】
因为，使得成立，所以，
因为函数在上单调递增，所以，从而.
①当，即时，函数在上单调递增，
此时恒成立，
②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时恒成立，
③当，即时，函数在上单调递减，
此时，解得或，