永州市江华瑶族自治县2024-2025学年高三压轴卷数学试卷含解析

这是一份永州市江华瑶族自治县2024-2025学年高三压轴卷数学试卷含解析，共24页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，在复平面内，复数对应的点位于，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．不等式的解集记为，有下面四个命题：；；；.其中的真命题是（ ）
A．B．C．D．
2．在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是圆心为坐标原点，半径为1的圆上的任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交圆于点，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
5．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．8B．7C．6D．4
6．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
11．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．180B．90C．45D．360
12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.
A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
14．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，, 则异面直线与所成的角为____.
15．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______.
16．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多______天.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
⑴当时，求函数的极值；
⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数最小值为，且，求的最小值.
19．（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，，，，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.
（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.
参考公式：，其中.
参考临界值：
20．（12分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.
（1）求a；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，求证：.
22．（10分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.
（ⅰ）求面积最大值；
（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.
【详解】
作出可行域如图所示，当时，，即的取值范围为，所以为真命题；
为真命题；为假命题.
故选：A
此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.
2．C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
3．D
【解析】
取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解.
【详解】
如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN，
则，，即为二面角的平面角，
过点B作于O，则平面ACD，
由，可得，，，
即点O为的中心，
三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，
，,
解得，
三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.
本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.
4．C
【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为，由三角函数的定义得，，，利用辅助角公式计算即可.
【详解】
设射线OA与x轴正向所成的角为，由已知，，
，所以
，
当时，取得等号.
故选：C.
本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.
5．A
【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.
【详解】
最底层正方体的棱长为8，
则从下往上第二层正方体的棱长为：，
从下往上第三层正方体的棱长为：，
从下往上第四层正方体的棱长为：，
从下往上第五层正方体的棱长为：，
从下往上第六层正方体的棱长为：，
从下往上第七层正方体的棱长为：，
从下往上第八层正方体的棱长为：，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.
故选：A.
本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.
6．B
【解析】
化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.
【详解】
对应的点的坐标为在第二象限
故选：B.
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
7．D
【解析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
8．A
【解析】
分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.
【详解】
作出和，的图像如下所示：
函数有三个零点，
等价于与有三个交点，
又因为，且由图可知，
当时与有两个交点，
故只需当时，与有一个交点即可.
若当时，
时，显然?=?(?)与?=4|?|有一个交点?，故满足题意；
时，显然?=?(?)与?=4|?|没有交点，故不满足题意；
时，显然?=?(?)与?=4|?|也没有交点，故不满足题意；
时，显然与有一个交点，故满足题意.
综上所述，要满足题意，只需.
故选：A.
本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.
9．D
【解析】
设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.
【详解】
设，在中，由余弦定理得，
则，从而，
由正弦定理得，即，
从而，
在中，由余弦定理得：，
则.
故选：D
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
10．D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
11．A
【解析】
试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.
考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.
12．B
【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
14．
【解析】
要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．
【详解】
取的中点E,连AE, ,易证，∴为异面直线与所成角，
设等边三角形边长为，易算得∴在
∴
故答案为
本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．
15．
【解析】
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．
【详解】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2，
平均数为：，
该组数据的方差为：
，
该组数据的标准差为1．
故答案为：1．
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16．72
【解析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天.
故答案为：.
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）
【解析】
试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是．
试题解析：
（1）函数的定义域为
当时，，
所以
所以当时，，当时，，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值；
（2）设函数上点与函数上点处切线相同，
则
所以
所以，代入得：

设，则
不妨设则当时，，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
代入可得：
设，则对恒成立，
所以在区间上单调递增，又
所以当时，即当时,
又当时

因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；
即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．
又由得：
所以单调递减，因此
所以实数的取值范围是．
18．（1）（2）
【解析】
（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.
【详解】
（1）当时，，即，无解；
当时，，即，得；
当时，，即，得.
故所求不等式的解集为.
（2）因为，
所以，则，
.
当且仅当即时取等号.
故的最小值为.
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，， .
【解析】
（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；
（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，根据公式求出期望和方差.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为
又，
所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.
依题意知，所以（），所以的分布列为
所以期望，方差.
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.
20． (1)见证明；(2)
【解析】
(1) 取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证， 即可；(2) 以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.
【详解】
（1）取的中点，连接，
因为均为边长为的等边三角形，
所以，，且
因为，所以，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为，为等边三角形，
所以，又因为，所以，，
在中，由正弦定理，得：，所以.
以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则平面的一个法向量为，
依题意，平面的一个法向量
所以
故二面角的余弦值为.
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21．（1） （2）为减函数，为增函数. （3）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）；
（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；
（3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，依次放缩，．
不等式，递增得()，,,,先证，然后同样放缩得出结论．
【详解】
解：（1）对求导，得.
因此.又因为，
所以曲线在点处的切线方程为
，
即.
由题意，.
显然，适合上式.
令，
求导得，
因此为增函数：故是唯一解.
（2）由（1）可知，，
因为，
所以为减函数.
因为，
所以为增函数.
（3）证明：由，易得.
由（2）可知，在上为减函数.
因此，当时，，即.
令，得，即.
因此，当时，.
所以成立.
下面证明：.
由（2）可知，在上为增函数.
因此，当时，，
即.
因此，
即.
令，得，
即.
当时，
.
因为，
所以，所以.
所以，当时，
.
所以，当时，成立.
综上所述，当时，成立.
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：，．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题．
22．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
（1）由，解方程组即可得到答案；
（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.
【详解】
（1）设，由，得.
将代入，得，即，
由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，则，
（ⅰ）易知为的中位线，所以，
所以，
又满足，所以
，得，
故，当且仅当，即，时取等号，
所以面积最大值为.
（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，
所以直线方程为.
由，得，
由韦达定理得，所以，
代入直线方程，得，
于是，直线斜率，
所以直线与斜率之积为定值.
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
理科方向
文科方向
总计
男
110
女
50
总计

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
理科方向
文科方向
总计
男
80
30
110
女
40
50
90
总计
120
80
200
0
1
2
3
P