2022-2023学年湖南省永州市江华县高二上学期10月联考数学试题含答案

2022-2023学年湖南省永州市江华县高二上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合并集的定义求解即可．

【详解】∵集合，，

∴．

故选：B．

2．已知，为奇函数，若，则（    ）.

A． B．6 C．9 D．4

【答案】C

【分析】根据可求出，再根据即可求解．

【详解】，，，

为奇函数，

故选：C．

3．设命题“”是命题“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出不等式，再根据充分不必要条件判断即可．

【详解】∵，

∴或，

∴命题“”是命题“”的充分不必要条件．

故选：A．

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数解析式，建立关于x的不等式组解出即可.

【详解】要使函数有意义，则，解得且，

所以函数的定义域为.

故选：D.

5．将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦型函数的平移、伸缩变换法则求解即可.

【详解】将函数的图像上各点向左平移个单位可得，

将所得各点的横坐标缩短到原来的一半，

然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍可得.

故选：A.

6．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式及二倍角公式将弦化切，再代入计算可得.

【详解】∵，

∴.

故选：A.

7．已知直线，，且，实数（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】根据两直线垂直的条件建立关于m的方程，解出即可.

【详解】直线，，且，

所以，

解得，

故选：C.

8．下列说法正确的是（    ）

A．垂直于同一个平面的两个平面互相垂直

B．如果平面内的两条直线分别平行于平面内的两条直线，那么

C．如果平面内的一条直线平行于平面外的一条直线，那么

D．两个平面有三个公共点，这两个平面重合

【答案】C

【分析】垂直于同一个平面的两个平面可以相交，也可以平行，不一定垂直，选项A错误；如果平面内的两条相交直线分别平行于平面内的两条直线，那么，两条直线必需是相交直线，选项B错误；由线面平行的判定可知选项C正确；两个平面有三个公共点，这两个平面可以相交，选项D错误.

【详解】对于A，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，也可以平行，不一定垂直，选项A错误；

对于B，如果平面内的两条相交直线分别平行于平面内的两条直线，那么，两条直线必需是相交直线，选项B错误；

对于C，由线面平行的判定可知，如果平面内的一条直线平行于平面外的一条直线，那么，选项C正确；

对于D，两个平面有三个公共点，这两个平面可以相交，选项D错误.

故选：C.

9．等比数列中，若，，则公比（    ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】B

【分析】根据求出即可求解．

【详解】∵等比数列中，，，

∴，

∴，∴．

故选：B．

10．5人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是（    ）

A．48 B．72 C．96 D．144

【答案】B

【分析】先将除甲乙以外的3人全排列，再将甲乙排在3人形成的4个空档中，最后根据乘法原理得解.

【详解】先将除甲乙以外的3人全排列，有种排法，

再将甲乙排在3人形成的4个空档中，有种排法，

则不同的排法有6×12＝72种.

故选：B.

二、填空题

11．已知向量，且，则x的值为      ．

【答案】

【分析】根据两向量平行的坐标表示为x1y2﹣x2y1＝0，列出关于x的方程求解即可.

【详解】由，且，

得10x﹣25＝0，∴.

故答案为：.

12．展开式中的系数为10， 则实数的值为        

【答案】1

【分析】按照二项式定理计算即可.

【详解】，

；

故答案为：1.

13．若不等式的解集为，则      .

【答案】2

【分析】根据不等式的解集为可知和是方程的两根，从而求出c．

【详解】∵不等式的解集为，

∴和是方程的两根，

∴，

∴．

故答案为：2．

14．若一个球的大圆面积是，则这个球的体积为      .

【答案】

【分析】根据题意求得球的半径，再利用球的体积公式得解.

【详解】设球的半径为，依题意，，解得，

∴球的体积为．

故答案为：

15．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，的延长线交椭圆于，则的周长是      .

【答案】4

【分析】根据题干信息和椭圆的基本性质判断求解即可.

【详解】因为椭圆方程可以化为：，

所以长半轴，

由椭圆定义可得的周长是

故答案为：4.

三、解答题

16．已知函数过点．

(1)求函数的定义域及实数a的值；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)，函数的定义域为；

(2).

【分析】（1）将点代入，求出，并得到函数定义域；

（2）在（1）的基础上，解对数不等式即可.

【详解】（1）∵函数过点，

∴，

∴，

∵有意义，

∴，

∴，

∴，函数的定义域为；

（2）∵，

∴函数，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴不等式的解集为.

17．一袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用ξ表示取出的小球的最大号码．

(1)求；

(2)求ξ的分布列及．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据取出的小球的最大号码为3得到取出的三个球只能为1，2，3即可求解；

（2）根据题干信息得到取出的小球的最大号码为可以为3，4，5，6，在分别求解其概率即可.

【详解】（1）因为取出的小球的最大号码为3，则取出的三个球只能为1，2，3，

所以.

（2）取出的小球的最大号码为可以为3，4，5，6，则有：

，，

，，

所以ξ的分布列如下：

可得.

18．等差数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和Tn.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列通项公式求出首项和公差d，再根据等差数列的通项公式即可求解；

（2）先求出是等比数列，再根据等比数列的前n项和公式即可求解．

【详解】（1）设公差为d，则，可得，故.

（2）∵，∴，

∴数列是以4为首项，16为公比的等比数列，

∴．

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

 (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

 (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

【答案】(Ⅰ)证明见解析

(Ⅱ) VE-ABC=

【详解】本题主要考查立体几何中点线面位置关系，并以我们熟悉的四棱锥为载体，尽管侧重推理和运算，但所用知识点不多，运算也不麻烦，对于大多考生来说还是一道送分题．

(Ⅰ) 在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.

又BC∥AD，∴ EF∥AD,

又∵AD平面PAD，EF平面PAD,

∴EF∥平面PAD.

(Ⅱ)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G,

则EG⊥平面ABCD,且EG=PA.

在△PAB中，AP=AB，PAB=90°,BP=2，∴AP=AB=,EG=.

∴S△ABC=AB·BC=××2=,

∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.

点评：本题是我们常见的题型，相比平时那些求角及距离的题要容易的多，并且所考知识点不多运算也不麻烦，是一道基础题．

20．已知双曲线的离心率为，虚轴长为．

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由，求出，由此求出双曲线方程．

（2）联立与双曲线方程，由韦达定理得到两根之和，进而求出AB中点坐标，代入圆方程求出m的值．

【详解】（1）∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴所求双曲线方程为 ；

（2）由，

消y得，，

故，，

∴AB中点为，

代入中可得，

∴．

21．设的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，．

(1)求的面积；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用平方关系求得，再由三角形的面积公式求解即可；

（2）利用余弦定理可得，进而可知，则，再由和角公式展开计算即可.

【详解】（1）由于在△ABC中，，

则，

则；

（2）由余弦定理可得，，

则，

则为等腰三角形，且，

于是

．

22．某物流公司为相邻两个货场运货，货场甲的每一箱货物重40千克，体积为2个单位；货场乙的每一箱货物重50千克，体积为3个单位．物流公司运送货场甲、乙的每一箱货物分别获利2.2元和3元．若物流公司的运货车每一次装运重量不超过37000千克，体积不超过2000个单位，那么运货车一次在货场甲、乙各装载多少箱，能使物流公司获利最大，最大利润是多少？

【答案】当运货车一次在货场甲、乙各装载550，300箱，能使物流公司获利最大，最大利润是2110元.

【分析】先设运货车一次在货场甲、乙各装载x，y箱，总利润z＝2.2x+3y，再根据货场甲的每一箱货物重40千克，体积为2个单位；货场乙的每一箱货物重50千克，体积为3个单位，物流公司的运货车每一次装运重量不超过37000千克，体积不超过2000个单位得到可行域即可求解.

【详解】设运货车一次在货场甲、乙各装载x，y箱，总利润，

∵货场甲的每一箱货物重40千克，体积为2个单位；

货场乙的每一箱货物重50千克，体积为3个单位，

物流公司的运货车每一次装运重量不超过37000千克，体积不超过2000个单位，

∴，

约束条件构成的区域如下所示：

因为直线的斜率分别为，

可得，结合约束条件构成的区域可得，

当直线经过点时最大，

由解得，即，

所以当运货车一次在货场甲、乙各装载550，300箱，能使物流公司获利最大，

∵总利润，，，

∴当运货车一次在货场甲、乙各装载550，300箱，能使物流公司获利最大，

最大利润是元.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找到约束条件并画出可区域.