2024~2025学年湖南省永州市高三上学期期末数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年湖南省永州市高三上学期期末数学试卷【有解析】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{3，5，6}B．{3，5}C．{5}D．{5，6}
2．（5分）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布N（μ，σ2），已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）
A．85B．90C．95D．100
3．（5分）若复数z1=11+i，z2=11−i，则z12−z22=（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
4．（5分）已知椭圆x2m+y24=1（m＞0）与双曲线x2n−y2=1（n＞0）有共同的焦点，则直线mx+ny＝1必过定点（ ）
A．(15，−15)B．(13，−13)C．（1，﹣1）D．（3，﹣3）
5．（5分）已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（ ）
A．4B．14C．﹣4D．−14
6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+3B．y＝3x﹣3C．y＝x+3D．y＝x﹣3
7．（5分）(x+1−2x2)6的展开式中，常数项为（ ）
A．﹣59B．﹣61C．181D．721
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，则“f（x+1）+f（x）＝0”是“f（x）是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F．下列命题为真命题的是（ ）
A．可以是圆的方程
B．可以是抛物线的方程
C．可以是椭圆的标准方程
D．可以是双曲线的标准方程
（多选）10．（6分）若lgab＞1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＜bB．ab+1＞a+bC．a−1a＞b−1bD．a+1a＜b+1b
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝|x﹣3|ex+a﹣1，则下列选项正确的是（ ）
A．y＝f（x）在（2，3）上单调递增
B．y＝f（x）恰有一个极大值
C．当a＞1时，f（x）＝0无实数解
D．当a＝1时，f（f（x））＝0有三个实数解
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）正方体各面所在的平面将空间分成 部分．
13．（5分）已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为23，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为 ．
14．（5分）已知平面向量a→，b→，c→满足|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=π3且(c→−a→)(c→−b→)=0，则b→⋅c→的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α＝0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
16．（15分）已知{an}是正项递增的等比数列，且a2a6＝64，a3+a5＝20．数列{bn}是等差数列，且(n+1)bn=2n2+n+C．
（1）分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=(−1)nan+1bnbn+1，求数列{cn}前n项和Sn．
17．（15分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积．已知椭圆M的中心为坐标原点，焦点F1，F2均在x轴上，面积为2π，点(1，32)在椭圆M上．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）经过点P（﹣1，0）的直线l与曲线M交于A，B两点，△OAB与椭圆M的面积比为25π，求直线l的方程．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx，（a∈R）．
（1）若a＝1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（2）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有(x1−x2)⋅(f(x1)x1−f(x2)x2)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
19．（17分）一般地，任何一个复数a+bi（a，b∈R）可以写成r（csθ+isinθ），其中r是复数的模，θ是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如argl＝0，argi=π2，arg（1+3i）=π3．
发现z1•z2＝r1（csθ1+sinθ1）•r2（csθ2+sinθ2）＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和．
考虑如下操作：从写有实数0，1，3的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部．设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为zn．
（1）写出一次操作后所有可能的复数；
（2）当n＝2，记|zn|的取值为X，求X的分布列；
（3）求zn2为实数的概率Qn．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{3，5，6}B．{3，5}C．{5}D．{5，6}
【分析】由补集和交集的定义求解即可．
解：因为A＝{0，1，2，4}，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，
所以∁UA＝{3，5，6}，
所以（∁UA）∩B＝{3，5}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2．（5分）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布N（μ，σ2），已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）
A．85B．90C．95D．100
【分析】根据正态分布的对称性即可得结论．
解：数学成缆近似服从正态分布N（μ，σ2），
已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，
由正态密度函数的对称性，数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，
所以μ=70+1102=90，
则估计本次考试的数学平均分为90．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布的对称性，属于中档题．
3．（5分）若复数z1=11+i，z2=11−i，则z12−z22=（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【分析】根据复数的乘方、复数的除法、加减法运算化简即可得答案．
解：∵z1=11+i，z2=11−i，
∴z12−z22=1(1+i)2−1(1−i)2=12i+12i=1i=−i．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
4．（5分）已知椭圆x2m+y24=1（m＞0）与双曲线x2n−y2=1（n＞0）有共同的焦点，则直线mx+ny＝1必过定点（ ）
A．(15，−15)B．(13，−13)C．（1，﹣1）D．（3，﹣3）
【分析】由椭圆和双曲线的方程，推得m＝n+5，即有直线方程为（n+5）x+ny＝1，求得定点可得结论．
解：椭圆x2m+y24=1（m＞0）与双曲线x2n−y2=1（n＞0）有共同的焦点，
可得m﹣4＝n+1，即m＝n+5，
则直线mx+ny＝1，即为（n+5）x+ny＝1，
即n（x+y）+（5x﹣1）＝0，
可得x+y=05x−1=0，解得x=15y=−15，
即直线mx+ny＝1恒过定点（15，−15）．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的方程、性质，以及直线恒过定点，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．（5分）已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（ ）
A．4B．14C．﹣4D．−14
【分析】利用a4＝15，a7＝27，求出公差d=a7−a47−4，再由a5﹣a3＝2d＝8，结合直线求出过点P（3，a3），Q（5，a5）求出斜率．
解：数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，
∴公差d=a7−a47−4=27−153=4，∴a5﹣a3＝2d＝8，
∴过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率k=a5−a35−3=82=4．
故选：A．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查直线的斜率公式、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+3B．y＝3x﹣3C．y＝x+3D．y＝x﹣3
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程．
解：因为2f（x）＝f（﹣x）+3ex，所以2f（﹣x）＝f（x）+3e﹣x，
联立可解得f（x）＝e﹣x+2ex，所以f（0）＝3，所以f′（x）＝﹣e﹣x+2ex，f′（0）＝1．
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣3＝x，
故所求的切线方程为y＝x+3．
故选：C．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）(x+1−2x2)6的展开式中，常数项为（ ）
A．﹣59B．﹣61C．181D．721
【分析】根据(x+1−2x2)6=(x3+x2−2)6x12，求分子的展开式中含x12的项，进而求解结论．
解：因为(x+1−2x2)6=(x3+x2−2)6x12，
又（x3+x2﹣2）6的展开式中含x12的项为：C64•（x3）4•（﹣2）2+C62•（x3）2•C43•（x2）3•（﹣2）1+C66•（x2）6＝（60﹣120+1）•x12＝﹣59x12．
故(x+1−2x2)6的常数项为﹣59．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，则“f（x+1）+f（x）＝0”是“f（x）是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【分析】根据周期函数的定义，充分与必要条件的概念即可判断．
解：∵函数f（x）的定义域为R，
∴由f（x+1）+f（x）＝0得f（x+1）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝﹣f（x+1）＝f（x），
∴f（x）的周期为2，
反过来，由f（x）是周期为2的周期函数得f（x+2）＝f（x），但不能得到f（x+1）+f（x）＝0，
故“f（x+1）+f（x）＝0”是“f（x）是周期为2的周期函数”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查周期函数的定义，充分与必要条件的概念，属基础题．
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F．下列命题为真命题的是（ ）
A．可以是圆的方程
B．可以是抛物线的方程
C．可以是椭圆的标准方程
D．可以是双曲线的标准方程
【分析】通过举例分析判断，可得A、B、C三项的正误；对于D，根据双曲线的标准方程的特征，结合已知条件分析判断，可得答案．
解：对于A，方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，
当A＝B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝﹣1时，方程为x2+y2﹣1＝0，
此时方程为x2+y2＝1，表示一个圆，因此该方程可以是圆的方程，故A项正确；
对于B，当A＝1≥B＝C＝D＝0≥E＝﹣1≥F＝﹣2时，方程为x2﹣y﹣2＝0，即y＝x2﹣2，
此时该方程是抛物线的方程，故B项正确；
对于C，当A＝2≥B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝﹣1时，方程为2x2+y2﹣1＝0，即y2+x212=1，
此时该方程是椭圆的标准方程，故C项正确；
对于D，若方程为双曲线的标准方程，则有AB＜0，C＝D＝E＝0，F＜0，
这与题设A≥B≥C≥D≥E≥F矛盾，因此该方程不可以是双曲线的标准方程，故D项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查圆的方程及其应用、圆锥曲线及其标准方程等知识，考查概念的理解能力，属于中档题．
（多选）10．（6分）若lgab＞1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＜bB．ab+1＞a+bC．a−1a＞b−1bD．a+1a＜b+1b
【分析】由 lgab＞1，分类讨论0＜a＜1和a＞1时的情况可判断选项A，B；取特殊值可判断选项C：根据 y=x+1x的单调性可判断选项D．
解：因为 lgab＞1，所以 lgab＞lgaa
当0＜a＜1时，解得0＜b＜a＜1；当a＞1时，解得1＜a＜b，选项A错误：
所以（a﹣1）（b﹣1）＞0，即ab+1＞a+b，选项B正确：
当a＝2，b＝3时，a−1a＜b−1b，选项C错误；
因为 y=x+1x 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以 a+1a＜b+1b 选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝|x﹣3|ex+a﹣1，则下列选项正确的是（ ）
A．y＝f（x）在（2，3）上单调递增
B．y＝f（x）恰有一个极大值
C．当a＞1时，f（x）＝0无实数解
D．当a＝1时，f（f（x））＝0有三个实数解
【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB，利用极值判断方程的实根个数判断C，利用数形结合思想判断D．
解：对于A，当x＜3时，f（x）＝（3﹣x）ex+a﹣1，f′（x）＝（2﹣x）ex，当x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减．当x＞3时，f（x）＝（x﹣3）ex+a﹣1，f′（x）＝（x﹣2）ex＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增，A错误；
对于B，由以上讨论知x＝2是f（x）的极大值点，B正确；
对于C，当a＞1时，a﹣1＞0，f（2）＝e2+a﹣1＞0，f（3）＝a﹣1＞0，当x＜2时，f（x）＝|x﹣3|ex+a﹣1＞a﹣1＞0，所以当a＞1时，f（x）＝0无实数解，C正确；
对于D，当a＝1时，f（x）＝|x﹣3|ex，由以上讨论知当f（t）＝0时，t＝3．而f（2）＝e2＞3，f（3）＝0＜3，作出f（x）的大致图象如图所示．如图可知，f（x）＝3有三个实数解，所以f（f（x））＝0有三个实数解，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）正方体各面所在的平面将空间分成 27 部分．
【分析】利用一个平面把空间分成两部分，两个平行平面把空间分成三部分来解．
解：27；上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分，
故答案为 27
【点评】正方体共有六个面，在这六个面中，有三对是平行平面，且任一平面均与不和它平行的其他四个平面垂直
13．（5分）已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为23，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为 2532 ．
【分析】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可．
解：设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，
选到能完整做对的4道题为事件B，
选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则P(B)=48=12，P(C)=38，P(D)=18，
由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）+P（D）P（A|D）
=12×1+38×23+18×14=2532．
故2532．
【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）已知平面向量a→，b→，c→满足|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=π3且(c→−a→)(c→−b→)=0，则b→⋅c→的最大值为 52+3 ．
【分析】设a→=（1，0），b→=（1，3），c→=（x，y），根据(c→−a→)(c→−b→)=0，利用向量数量积坐标法则列式并化简，得出（x﹣1）2+（y−32）2=34，然后利用三角换元得到x＝1+32csα，y=32+32sinα，从而推导出b→⋅c→=x+3y=3sin（α+π6）+52，进而根据正弦函数的最值，求出b→⋅c→的最大值．
解：根据|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=π3，设a→=（1，0），b→=（1，3），c→=（x，y），
可得c→−a→=（x﹣1，y），c→−b→=（x﹣1，y−3），
所以(c→−a→)(c→−b→)=0即（x﹣1）2+y（y−3）＝0，整理得（x﹣1）2+（y−32）2=34，
设x−1=32csαy−32=32sinα，可得x=1+32csαy=32+32sinα，其中α∈[0，2π]，
所以b→⋅c→=x+3y＝1+32csα+32+32sinα=3（sinαcsπ6+csαsinπ6）+52=3sin（α+π6）+52．
根据正弦函数的性质，可知：当α+π6=π2时，即α=π3时，b→⋅c→=3sin（α+π6）+52的最大值为52+3．
故52+3．
【点评】本题主要考查平面向量积的坐标运算法则、三角恒等变换公式及其应用、正弦函数的最值等知识，属于中档题．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α＝0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
【分析】（1）由题可得列联表，根据列联表可得K2进而即得；
（2）由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得．
解：（1）列联表如下：
K2=30×(12×5−4×9)216×14×21×9≈0.4082＜2.072，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则P（X＝0）=C53C93=542，
P（X＝1）=C41C52C93=1021，
P（X＝2）=C42C51C93=514，
P（X＝3）=C43C93=121，
故X的分布列为：
数学期望E（X）＝0×542+1×1021+2×514+3×121=43．
【点评】本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（15分）已知{an}是正项递增的等比数列，且a2a6＝64，a3+a5＝20．数列{bn}是等差数列，且(n+1)bn=2n2+n+C．
（1）分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=(−1)nan+1bnbn+1，求数列{cn}前n项和Sn．
【分析】（1）应用等比数列通项公式建立方程组可解出an，利用待定系数法可求出bn；
（2）应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出Sn．
解：（1）设等比数列{an}的公比为q，且有an＞0，q＞1，
由a2a6＝64，a3+a5＝20，可得a42=64，即a4＝8，8q+8q=20，
解得q＝2，
所以an＝a4qn﹣4＝8×2n﹣4＝2n﹣1；
由于{bn}是等差数列，设bn＝An+B，
则有(n+1)bn=(n+1)(An+B)=An2+(A+B)n+B=2n2+n+C，
所以A=2A+B=1B=C，解得A=2B=−1C=−1，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n﹣1．
（2）由（1）知，cn=−(−2)n−1+1(2n−1)(2n+1)=−(−2)n−1+12(12n−1−12n+1)，
所以Sn＝c1+c2+•••+cn=−[(−2)0+(−2)1+⋅⋅⋅+(−2)n−1]+12[(1−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]
=−1−(−2)n1+2+12(1−12n+1)
=1−(−2)n+16−14n+2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和、裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17．（15分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积．已知椭圆M的中心为坐标原点，焦点F1，F2均在x轴上，面积为2π，点(1，32)在椭圆M上．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）经过点P（﹣1，0）的直线l与曲线M交于A，B两点，△OAB与椭圆M的面积比为25π，求直线l的方程．
【分析】（1）由题意，设出椭圆M的方程，结合椭圆面积为2π，点(1，32)在椭圆M上，列出等式即可求出椭圆M的标准方程；
（2）对直线l的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，通过将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合三角形面积公式求解直线的斜率，进而推出直线方程．
解：（1）已知椭圆M的中心为坐标原点，焦点F1，F2均在x轴上，面积为2π，点(1，32)在椭圆M上，
不妨设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），
可得πab=2π12a2+(32)2b2=1，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆M的标准方程为x24+y2=1；
（2）因为经过点P（﹣1，0）的直线l与曲线M交于A，B两点，
当直线l的斜率k＝0时，A（﹣1，32），B（﹣1，−32），
此时S△OAB=12×1×3=32，
因为△OAB与椭圆M的面积比为25π，
所以322π=25π不成立，
即直线斜率k存在；
不妨设直线l的方程为y＝k（x+1），
联立y=k(x+1)x24+y2=1，
消去y并整理得（4k²+1）x²+8k²x+4k²﹣4＝0，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=−8k4k2+1，x1x2=4k2−44k2+1，
所以S△OAB=12×1×|y1﹣y2|=12(y1+y2)2−4y1y2
=12[k(x1+x2)+2k]2−4k2(x1+1)(x2+1)
=124k2(4k2+1)2+12k24k2+1，
其满足124k2(4k2+1)2+12k24k2+12π=25π，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为x﹣y+1＝0或x+y+1＝0．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用；考查分类讨论思想和分析解决问题的能力．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx，（a∈R）．
（1）若a＝1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（2）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有(x1−x2)⋅(f(x1)x1−f(x2)x2)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求导，可得切点处的斜率，即可由点斜式求解直线方程，
（2）将不等式变形为f(x1)x1＜f(x2)x2，构造函数G(x)=f(x)x=x−2+alnxx，利用单调性与导数之间的关系，分离参数即可求解，或者利用分类讨论，求解导函数的正负求解．
解：（1）f′(x)=2x−2+ax，
当a＝1时，f（1）＝﹣1，f′（x）＝1，
故切线方程为：y+1＝x﹣1，即y＝x﹣2；
（2）不妨设0＜x1＜x2，则x2f（x1）﹣x1f（x2）＜0，
同除以x1x2得f(x1)x1＜f(x2)x2，
所以G(x)=f(x)x=x−2+alnxx在（0，+∞）单调递增，
所以G′(x)=1+a(1−lnx)x2≥0，
①若a＝0，G′（x）＞0恒成立，符合题意；
②若a＞0，则1a≥lnx−1x2恒成立，
令F(x)=lnx−1x2，则F′(x)=3−2lnxx3，
令F′(x)=3−2lnxx3＞0，则0＜x＜e32，
所以F（x）在(0，e32)单调递增，在(e32，+∞)单调递减，
所以1a≥F(e32)=12e3，所以a∈（0，2e3]；
③若a＜0，同理，1a≤lnx−1x2恒成立，
由②可知，当x→0+时，F（x）→﹣∞，
所以不存在满足条件的a．
综上，实数a的取值范围是a∈[0，2e3]．
【点评】本题考查导数综合应用，属于难题．
19．（17分）一般地，任何一个复数a+bi（a，b∈R）可以写成r（csθ+isinθ），其中r是复数的模，θ是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如argl＝0，argi=π2，arg（1+3i）=π3．
发现z1•z2＝r1（csθ1+sinθ1）•r2（csθ2+sinθ2）＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和．
考虑如下操作：从写有实数0，1，3的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部．设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为zn．
（1）写出一次操作后所有可能的复数；
（2）当n＝2，记|zn|的取值为X，求X的分布列；
（3）求zn2为实数的概率Qn．
【分析】（1）从实数0，1，3的三张卡片中随机抽取两张可以组成6个复数，依次写出即可；
（2）由|z1•z2|＝|z1||z2|，可得X的取值为1，3，2，3，23，4，求出其对应的概率即可写出分布列；
（3）设在n次操作中，得到i，3i的次数为an，得到1+3i的次数为bn，得到3+i的次数为cn，则由arg（zn2）＝an•π+bn⋅2π3+cn•2π6−k0π，可得bn+cn＝3（t0+k0﹣an），因此，所有的概率Qn即为2bn+cn是3的倍数的概率，再分三种情况研究Qn+1与Qn之间的关系即可．
解：（1）一次操作后可能得复数为：1，i，3，3i，1+3i，3+i；
（2）一次操作后复数的模所有可能的取值为：1，1，3，3，2，2；
由|z1•z2|＝|z1||z2|，故X的取值为1，3，2，3，23，4，
P（X＝1）=19，P（X=3）=29，P（X＝2）=29，P（X＝3）=19，P（X＝23）=19，P（X＝4）=19，
所以X的分布列为：
（3）若zn2为实数，则arg（zn2）＝0或π，
而1，i，3，3i，1+3i，3+i的辅角主值分别是0，π2，0，π2，π3，π6，
设在n次操作中，得到i，3i的次数为an，得到1+3i的次数为bn，得到3+i的次数为cn，
则arg（zn2）＝an•π+bn⋅2π3+cn•2π6−k0π＝（an+2bn+cn3k0）π，
从而an+2bn+cn3−k0＝t0∈{0，1}，即bn+cn＝3（t0+k0﹣an），
因此，所有的概率Qn即为2bn+cn是3的倍数的概率，下面研究Qn+1与Qn之间的关系，
（i）2bn+cn是3的倍数，且第n+1次操作得到的复数为1，i3，3i（概率为23）；
（ii）2bn+cn被3除余1，且第n+1次操作得到的复数为1+3i（概率为16）；
（iii）2bn+cn被3除余2，且第n+1次操作得到的复数为3+i（概率为16）；
因此由全概率公式可得：Qn+1=23Qn+16（1﹣Qn）=12Qn+16，
即Qn+1−13=12（Qn−16），其中Q1=23，故Qn=13（12）n﹣1+13．
【点评】本题考查新定义题，主要考查复数的三角表示以及离散型随机变量的分布列以及全概率公式的应用，属于难题．
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
A
A
C
A
A
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
4
16
女生
9
5
14
合计
21
9
30
X
0
1
2
3
P
542
1021
514
121
X
1
3
2
3
23
4
P
19
29
29
29
19
19