2025-2026学年江西省新余市高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )
A．B．C．D．
3．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）
A．156B．124C．136D．180
4．已知集合，集合，则
A．B．或
C．D．
5．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
6．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
10．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为
A．2B．C．D．
11．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（ ）
A．56B．72C．88D．40
12．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．关于函数有下列四个命题：
①函数在上是增函数；
②函数的图象关于中心对称；
③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；
④函数的导函数不存在极小值.
其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
14．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.
15．已知等差数列满足，，则的值为________．
16．若变量，满足约束条件则的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
18．（12分）已知数列的前项和为，且满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和.若对恒成立，求实数，的值.
19．（12分）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围．
21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.
22．（10分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.
【详解】
解：由于在区间有三个零点，，，
当时，，
∴由对称轴可知，满足，
即.
同理，满足，即，
∴，，
所以最小正周期为：.
故选：C.
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.
2．B
【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．
3．A
【解析】
因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
由可得，解得或，所以或，
又，所以，故选C．
5．D
【解析】
构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
构造函数，，
则，，
所以，函数、在区间上均为减函数，
当时，则，；当时，，.
由得.
①若，则，即，不合乎题意；
②若，则，则，
此时，，
由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；
③若，则，则，
此时，
由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.
综上所述，.
故选：D.
本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
6．D
【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】
解：因为，，则，且，
所以，，
又,
即,则，
即，
故选：D.
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
7．B
【解析】
根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.
【详解】
易知，且
故有，则
故选：B
本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题
8．D
【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.
【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.
故选:D.
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.
9．C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
10．C
【解析】
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．
【详解】
解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，
由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．
弦长|AB|＝4．
故选：C．
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．
11．B
【解析】
，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.
【详解】
由已知，，，故，解得或（舍），
故，.
故选：B.
本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.
12．C
【解析】
根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.
【详解】
设，则
由椭圆的定义，可以得到
,
在中，有，解得
在中，有
整理得，
故选C项.
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．①②③
【解析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断．
【详解】
函数的定义域是，
由于，
在上递增，∴函数在上是递增，①正确；
，∴函数的图象关于中心对称，②正确；
，时取等号，∴③正确；
，设，则，显然是即的极小值点，④错误．
故答案为：①②③.
本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．
14．7.5
【解析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.
【详解】
故答案为：7.5
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.
15．11
【解析】
由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为，
，
又因为，解得
故答案为：
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
16．9
【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出的最大值.
【详解】
做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，
目标函数过点时取得最大值，
联立，解得，即，
所以最大值为9.
故答案为:9.
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2）（x﹣2）2+y2＝2．（2）（）．（3）存在，
【解析】
（2）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.
（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案.
（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（2，0），计算得到答案.
【详解】
（2）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，
所以 ，即|4m﹣29|＝2．因为m为整数，故m＝2．
故所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝2．
（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，
整理得（a2+2）x2+2（5a﹣2）x+2＝0，
由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0，
即22a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．
（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，
l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，
所以2+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.
本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18．（1）（2），.
【解析】
（1）根据数列的通项与前n项和的关系式，即求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用等比数列的前n项和公式和裂项法，求得，结合题意，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，解得；
当时，可得，
即，
显然当时上式也适合，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以
.
因为对恒成立，
所以，.
本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
19．（1）（2）
【解析】
（1）项和转换可得，继而得到，可得解；
（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
即，∴，
∴，
∴．
（2）．
=2·-λ（2n+1）．
∵数列为递增数列，
∴，即．
令，
即．
∴为递增数列，∴，
即的取值范围为．
本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
20． (1) (2)
【解析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．
【详解】
（1）不等式
或或，
解得或，即x>0,
所以原不等式的解集为．
（2）要使函数的定义域为R，
只要的最小值大于0即可，
又，
当且仅当时取等，只需最小值，即．
所以实数a的取值范围是．
本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．
21．（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）由消去参数，可得的普通方程，由可得的普通方程；
（2）设为曲线上一点，点到曲线的圆心的距离，结合可得最值，的最大值为，从而得解.
试题解析：
（1）的普通方程为.
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的普通方程为，即.
（2）设为曲线上一点，
则点到曲线的圆心的距离
.
∵，∴当时，d有最大值.
又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，
∴的最大值为.
22．（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
由与，得，
，的方程为．
设，
则，
由得
． ①
（Ⅰ）由，得
， ②
， ③
由①、②、③三式，消去，并求得，
故．
（Ⅱ），
当且仅当或时，取最小值，
此时，，
故与共线．