江西省新余市2025-2026学年高一上学期数学试题（原卷+解析）

这是一份江西省新余市2025-2026学年高一上学期数学试题（原卷+解析），共22页。试卷主要包含了 函数的零点所在区间为， 若，，且，则最小值为， 下列各式正确的有， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲中位数高于乙的中位数
B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则
C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，，且，则最小值为（ ）
A B. 8C. 9D. 18
7. 使得，为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义域为的函数满足，且对任意的，时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列各式正确的有（ ）
A. 已知，，则
B 已知，则
C. 若，，则
D.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24
B. 若A，B是互斥事件，则
C. 若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立
D. 若样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数和标准差分别为8和9.
11. 已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数的图像关于点对称
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____.
13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.
14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知不等式的解集为，关于的不等式解集为.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率.
17. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）：
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
18. 已知，.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，使得，求实数的取值范围；
（3）设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.
19. 新余马拉松赛事蓬勃开展，已成为展示城市活力与全民健身精神的重要平台.马拉松运动不仅是体能竞赛，也蕴含着丰富的数学函数模型；为科学分析运动员体力分配，教体局技术人员通过大数据分析，引入如下数学模型：
若运动员的实时状态函数在其定义域存在时间，使成立，那么称时间是函数的“-阶梯点”（即以小时为观察窗口）.
（1）在研究初期，假设某运动员的体能存储量函数模型为，试判断该模型在赛程中是否存在“2-阶梯点”（即以2小时为观察窗口），并说明理由；
（2）现假设另一个运动员体能消耗遵循函数模型，证明：该运动员的消耗函数存在唯一的“1-阶梯点”：
（3）已知，设函数在上不存在“1-阶梯点”，求实数的取值范围.2025-2026学年上学期高一数学试题
说明：
1.本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，求得集合，利用列举法求得集合，进而结合交集的意定义求得即可.
【详解】由，得到，解得，
则集合，
又集合，
可得集合，故C正确.
故选：C.
2. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲的中位数高于乙的中位数
B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则
C. 甲成绩极差大于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，
对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于，
所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确；
对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学，
其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确；
对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差，
由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确；
对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性，
所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确.
故选：C.
3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数单调性，结合临界值比较可得结论.
【详解】由题意得，，，
所以，，，所以.
故选：D.
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理确定正确答案.
【详解】因为，在上都单调递增，
所以在上单调递增，
又，
因，所以，
所以，
故的零点所在区间为.
故选：B.
5. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合交并集元素计算公式，结合古典概型概率公式计算即可.
【详解】对于A，，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，故D错误
故选：D
6. 若，，且，则的最小值为（ ）
A. B. 8C. 9D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】把变成，再根据均值不等式即可求出.
【详解】因为，所以，
又，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：A.
7. 使得，为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可.
【详解】若，为真命题，则时，，
而，故当时，取到最大值6，故，
因此是所求必要不充分条件的范围的真子集，
故选项中只有满足条件，
故选：C
8. 已知定义域为的函数满足，且对任意的，时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知条件可证明函数在上单调递减且关于直线对称，从而可利用这两个性质来求解不等式.
【详解】因为对任意的，时，恒成立，
设，则
，
故函数在上单调递减，
因为，
所以关于直线对称.
又
，
因为，
则不等式等价于，
所以，解得.
故选:B .
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列各式正确的有（ ）
A. 已知，，则
B. 已知，则
C. 若，，则
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由，，
所以，故C错误；
对于D，由
，故D错误.
故选：AB.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24
B. 若A，B是互斥事件，则
C. 若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立
D. 若样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数和标准差分别为8和9.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，将数据从小到大排列，又，即第70百分位数为第6个数为24，故A正确；B选项，互斥事件与独立事件没有必然联系，故B错误；C选项，根据独立得到，事件A，B互斥，则，矛盾，C正确；D选项，根据公式求出标准差为9，故D正确.
【详解】对于A选项：该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，24，27，30，
又，即第70百分位数为第6个数24，故A正确；
对于B选项：由互斥事件的定义知，而仅在A，B独立时成立，互斥与独立没有必然联系，故B错误；
对于C选项，若事件A，B相互独立，则，
若事件A，B互斥，则，矛盾，
故事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立，故C正确；
对于D选项，因样本的平均数和标准差分别为2和3，
则的平均数为，方差为，标准差为9，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数的图像关于点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，结合，令，可求出的值判断选项A；令，进而可得，可判断B选项；令可判断CD选项.
【详解】对于A:令，得，又，则，
令，得，故，故A正确；
对于B:令，得，即，即，
且函数的定义域为，所以为偶函数，故B正确；
对于C:令，得，
令，则该式可写为，即，故C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用分层抽样比相等来求解即可.
【详解】设甲校大学生抽取的人数为，丙校大学生抽取的人数为，则乙校大学生抽取的人数为，
所以，解得，，
从而.
故答案为：
13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数单调性和对数函数单调性，结合分段点的取值大小，即可求出参数范围.
【详解】由图象的开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而函数在为增函数，
则由在上单调递增，可得，
解得：.
故答案为：
14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____.
【答案】或
【解析】
【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可.
【详解】作出函数的图象如图所示，
令，则，
若原方程有6个不相等实数根，
则，且关于的方程必有两个不等实根，设为，
当时，
代入，则，解得，
此时关于的方程为，解得，满足题意；
当，且时，令，
则函数有两个大于的不等零点，
因为函数的图象过点，
则，解得，
即；
当时，因为函数的图象过点，
则，无解，
综上所述，实数a的取值范围为或.
故答案为：或.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知不等式的解集为，关于的不等式解集为.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式，再求交集即可；
（2）把并集关系转化为子集关系，再分析端点取值范围,即可求解.
【小问1详解】
解分式不等式，即，解得，
即.
当时，解不等式，解得，即.
因此，；
【小问2详解】
，
，，
，，则，解得，
实数取值范围是.
16. 基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率.
【答案】（1），平均数（分），中位数（分）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1求，根据平均数和中位数的估算方法求解可得；
（2）求出各层人数，使用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
【小问1详解】
由图可得：，解得，
估计所抽取50名学生成绩平均数为：
（分），
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以中位数，由题意可得，解得（分），
所以估计所抽取的50名学生成绩的中位数为（分）；
【小问2详解】
由题意可知，后三组中的人数分别为15，10，5，
故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，
记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，
则从中任抽取2人的所有可能结果为
、、、、、、、、、、、
、、、，共15种.
其中来自相同组的有、、、共4种，于是来自不同组的有11种.
故这2人来自不同组的概率为.
17. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）：
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1）
（2）30千台，最大利润是6560万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售额-固定成本-可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解；
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用函数的单调性可求得分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
销售额为万元，
当时，
，
当时，，
所以；
【小问2详解】
当时，，
当时，万元，
当时，单调递减，
所以时，万元.
综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元.
18. 已知，.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，使得，求实数的取值范围；
（3）设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，解不等式求解即可；
（2）由题意可得，进而利用复合函数的性质求得，进而可得，分离变量可求实数的取值范围；
（3）令，，由题意可得，变形再换元可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
由，
则不等式即，
所以，
所以，所以，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
若，，使得，等价于，
由于，令，
令，，则，，对称轴，
所以，
即，
故；
又，，
所以，使成立，
即，使成立，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，实数的取值范围为.
【小问3详解】
由，令，，
若存在实数，使得成立，即存在，使得，
，即，
令，则存在，使得成立，
令，只需即可，即，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 新余马拉松赛事蓬勃开展，已成为展示城市活力与全民健身精神的重要平台.马拉松运动不仅是体能竞赛，也蕴含着丰富的数学函数模型；为科学分析运动员体力分配，教体局技术人员通过大数据分析，引入如下数学模型：
若运动员的实时状态函数在其定义域存在时间，使成立，那么称时间是函数的“-阶梯点”（即以小时为观察窗口）.
（1）在研究初期，假设某运动员的体能存储量函数模型为，试判断该模型在赛程中是否存在“2-阶梯点”（即以2小时为观察窗口），并说明理由；
（2）现假设另一个运动员的体能消耗遵循函数模型，证明：该运动员的消耗函数存在唯一的“1-阶梯点”：
（3）已知，设函数在上不存在“1-阶梯点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）否，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）把问题转化为方程是否有解问题，从而可得到判断；
（2）把问题转化为方程是否有解问题，再构造函数，利用零点存在性定理和函数的单调性可得到证明；
（3）把问题转化为方程无解问题，然后利用对数运算，转化为一元二次方程在区间上无解，从而去求参数范围.
【小问1详解】
假设有“2-阶梯点”，则由可得，
化简得，由于，则该方程无实数解，
所以函数无“阶梯点”.
【小问2详解】
假设是的“1-阶梯点”，
则是方程的解，
将该方程化简整理得.
令函数，由指数函数和一次函数的单调性，可知是上的增函数，又，，故存在唯一的使得成立，
即函数有唯一的“1-阶梯点”.
【小问3详解】
由题可知的定义域为.
若函数在上不存在“1-阶梯点”，
则方程①在上无解，
①式即.
由对数运算，得，
化为整式方程，得.
令，，
则，
整理得.
等价于方程在时无解.
令函数，
其图象的对称轴为直线.
当，即时，
因为恒成立，
所以在上有零点，不满足题意；
当且，即时，在上单调递增，
，
所以在上无零点，满足题意；
当且，即时，在上单调递减，
，
所以在上有零点，不满足题意；
当，即时，，在时没有零点，
满足题意.
综上，实数的取值范围为