湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一下学期三月学情质量检测数学试题含答案

这是一份湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一下学期三月学情质量检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 A3,0,B0,1 ,则与 AB 方向相同的单位向量是( )
A. 32,12 B. 32,−12 C. −32,12 D. −32,−12
2. 已知 a,b 为共线向量,且 a=2,xx∈R,b=1,3 ,则 a= ( )
A. 210 B. 310 C. 40 D. 35
3. 如图所示，已知在 △ABC 中， D 是线段 AB 上的靠近 A 的三等分点，则 CD= ()

A. BC−23BA B. −BC+23BA C. −BC−23BA D. BC+23BA
4. 已知向量 a,b 满足 a=1,b=2 ， a 与 b 的夹角为 120∘ ，则 a−2b 等于( )
A. 3 B. 13 C. 21 D. 21
5. 已知 csα−π6=14 ,则 sin2α+π6= ( )
A. 18 B. −18 C. 78 D. −78
6. 已知 a=3,b=1 . 若 a+2b⊥a ,则 cs⟨a,b⟩= ( )
A. −32 B. −33 C. 33 D. 32
7. 如图,圆 O 内接边长为 1 的正方形 ABCD,P 是弧 BC (包括端点) 上一点,则 AP⋅AB 的取值范围是( )

A. 1,4+24 B. 1,2+22 C. 1,1+22 D. 24,1
8. 已知向量 a=csθ,sinθ,b=1,3 ，若 a 与 b 的夹角不超过 π3 ，则 a−b 的范围是( )
A. 1,3
B. 12,32
C. 1,3
D. 14,34
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求)
9. (多选) 已知 a,b 为非零向量,则下列命题中正确的是 ( )
A. 若 a+b=a+b ,则 a 与 b 方向相同
B. 若 a+b=a−b ,则 a 与 b 方向相反
C. 若 a+b=a−b ,则 a 与 b 模相等
D. 若 ∥a−b∥=a−b ,则 a 与 b 方向相同
10. 已知向量 a=m,1,b=−1,m,c=1,1 ，则())
A. ∀m∈R, a//b B. ∃m∈R ,使得 a//c
C. ∃m∈R ,使得 b,c=π4 D. ∃m∈R ,使得 a+b+c=3
11. 如图,在 △ABC 中, AM=MC,AN=2NB,BM 交 CN 于点 E ,且 BE⋅CE=0 ,则 ( )

A. BE=−12AB+14AC B. CE=12AB−34AC
C. csA 的最大值为 32 D. csA 的最小值为 32
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 π4 ,该平面内 a=2e1+e2,b=6e1−2e2 ,则 a⋅b= _____.
13. 已知 O 是 △ABC 内一点,且 OA+OB+OC=0 ,点 M 在 △OBC 内 (含边界),若 AM=λAB+μAC ，则 λ+μ 的最小值是_____.
14. 已知点 A 是半径为 4 的圆 O 内一点， OA=2,B,C 为圆 O 上任意两点，当 AC⋅BC 取得最大值时, AB= _____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分)
15. 已知 tanα=6 .
(1) 求 2sinα+πsinα+π2+sinα−π 的值;
(2)求 sin2α+2cs2α 的值.
16. 已知 a=2,1,b=2,a,b=30∘ ,记 a 在 b 方向上的投影向量为 c .
(1)求 a−2c 的值；
(2)若向量 a−λ3c 与 λa−4c 的夹角为锐角,求实数 λ 的取值范围.
17. 在 △ABC 中， m=2sinB−sinC,csC ， n=sinA,csA ，且 m//n .
(1)求角 A 的值.
(2) 求 y=2sin2B+csπ3−2B 的最大值.
18. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， F ， G 分别为 BC ， AD 的一个三等分点，点 G 靠近点 D ，点 F 靠近点 B ，记 AB=a ， AD=b .

(1)把▱ ABCD 放到平面直角坐标系 xOy 中，若 A−3,1 ， D1,5 ，求点 G 的坐标；
(2)用 a,b 表示 EF,EG ；
(3)若 AB=AD=3,∠BAD=π3 ，求 cs .
19. 如图 1,已知四边形 ABCD 为菱形, AB=43,∠ABC=60∘,O 为 △ABC 的外心.

图1

(备用图)
(1)求 OC⋅OD 的值；
(2)点 P 在以 O 为圆心， 1 为半径的圆上运动，
①已知点 B1 是点 B 关于点 O 的对称点，求 PB+PB1 的取值范围；
②已知点 M 为边 AD 的中点，且存在实数 x,y,z ，使得 xPA+yPB+zPM=0 ，求出当 xy 最大时的 zx+y 的值.
1. C
∵A3,0,B0,1 ,
∴AB=−3,1 ,
∴AB=−32+12=2 ,
∴AB 的单位向量为 ABAB=AB2=−32,12 ,故 C 正确.
故选: C.
2. A
: a,b 为共线向量, ∴2×3=x×1 ,即 x=6 ,
∴a=2,6,a=22+62=210 .
故选: A.
3. B
因 D 是线段 AB 上的靠近 A 的三等分点,则 CD=BD−BC=23BA−BC .
4. D
∵a⋅b=a⋅bcs120∘=1×2×−12=−1 ,
∴a−2b=a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=1+4+16=21 .
故选: D.
5. D
由 sin2α+π6=cs2α+π6−π2=cs2α−π3=cs2α−π6 =2cs2α−π6−1=2×142−1=−78.
6. A
由题设 a+2b⋅a=a2+2a⋅b=3+23cs⟨a,b⟩=0 ,可得 cs⟨a,b⟩=−32 .
故选: A
7. C
方法一: 如图 1,以 A 为坐标原点, AB,AD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A0,0,B1,0) .
设 Px,y ,则 AP=x,y . 因为 AB=1,0 ,所以 AP⋅AB=x .
由题意知,圆 O 的半径 r=22 . 因为点 P 在弧 BC (包括端点) 上,
所以 1≤x≤12+22 ,所以 AP⋅AB 的取值范围是 1,1+22 .

图1

图2
方法二: 如图 2,连接 AC,CP . 易知 ∠BAC=π4 ,
设 ∠PAB=θ,0≤θ≤π4 ,则 ∠PAC=π4−θ .
由已知可得 AB=1,AC=2,∠APC=π2 ,所以 AP=ACcs∠PAC=2csπ4−θ ,
所以 AP⋅AB=APABcsθ=2csπ4−θcsθ=222csθ+22sinθcsθ
=csθ+sinθcsθ=cs2θ+sinθcsθ=1+cs2θ2+sin2θ2=12+22sin2θ+π4 .
因为 0≤θ≤π4 ,所以 π4≤2θ+π4≤3π4 ,所以 22≤sin2θ+π4≤1 ,
所以 1≤12+22sin2θ+π4≤1+22 ,即 AP⋅AB 的取值范围是 1,1+22 .
故选: C.
8. A
由题意设 B1,3 ,得 OB=b ,且 ∠BOx=π3 ,
因为 a=1 ,在单位圆上取 OA=a ,

因为 a 与 b 的夹角不超过 π3 ,
所以 0≤θ≤2π3 ,
所以
a−b2=a2+b2−2a⋅b=1+4−2csθ+23sinθ=5−412csθ+32sinθ=5−4sinθ+π6
,
又 0≤θ≤2π3 ,所以 π6≤θ+π6≤5π6 ,
所以 2≤4sinθ+π6≤4 ,
所以 1≤a−b2≤3 ,
故 a−b 的范围是 1,3 ,
故选: A
9. ABD
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当 a,b 不共线时, 根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有 ∥a−b∥