贵州省普定县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份贵州省普定县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共10页。
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2.设不同的直线，若，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 4
3.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. 1,0 B. 0,1 C. D.
4.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A.
B.
C. 8
D. 12
6.若抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知点，则点A到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知向量，若，则（ ）
A. -2 B. 1 C. -1 D. 0
11.已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点 B. 圆与轴相切
C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆的周长，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆与圆，则两圆的位置关系为________．
13.如图，已知正方体中，分别为中点，，则到平面的距离是__________．
14.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________.
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题
15.在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S.
（1）当直线l在y轴上的截距为2，求S的值；
（2）当，求直线l在x轴上的截距.
16.在坐标平面上有两定点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值.
17.已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、．过的直线交椭圆于、两点，且的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点作圆的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值．
18.已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线的斜率为，求弦长MN；
（3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
一、单选题
1.【答案】C
【解析】将直线：，化为斜截式，故其斜率为.
故选：C.
2.【答案】D
【解析】由题意，解得，经检验，时，，，符合题意.
故选：D.
3.【答案】A
【解析】，则，所以焦点在轴；又，则其焦点坐标为，
故选：A.
4.【答案】C
【解析】由双曲线的方程为知，双曲线焦点在轴，且，
又焦点在轴的双曲线渐近线方程为，所以渐近线方程为.
故选：C.
5.【答案】B
【解析】由可得抛物线的焦点，准线方程为，
如图：过点作准线的垂线，垂足为，
根据抛物线的定义可知，,设，则，解得，
将代入抛物线得，
所以.
故选：B.
6.【答案】C
【解析】由题意知，抛物线的焦点在y轴上，故其焦点坐标为.
故选：C.
7.【答案】D
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，且，
则以B为原点，分别以AB，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
由题可得，
故．
设平面的一个法向量为，
则，即
不妨令，得．则平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
则．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】由题意，，,
则与同方向的单位向量为，又,，
于是，点A到直线的距离是：.
故选：B.
二、多选题
9.【答案】CD
【解析】选项A：，显然，则与不平行，故A项错误；
选项B：，
则，
所以不成立，故B项错误；
选项C：，故C项正确；
选项D：，故D项正确，
故选：CD.
10.【答案】AD
【解析】由于向量且，则， 解得或.
①当时，，则；
②当，时，则．
故选：AD.
11.【答案】AB
【解析】对于选项A，直线的方程转化为：，由，
可解得，所以直线过定点，故选项A正确，
对于选项B，圆的转化为标准方程：，可得圆心，半径，故选项B正确，
对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离，整理得到，得到，
又，所以，解得，故选项C错误，
对于选项D，若平分圆的周长，则直线的方程经过圆心，将圆心的坐标代入，解得此时，故选项D错误，
故选：AB.
三、填空题
12.【答案】相交
【解析】圆与圆，所以圆心，圆心所以圆心距离，，，
，两圆相交．
13.【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，不妨取，得，
所以到平面的距离是.
14.【答案】
【解析】如下图所示，

因为平面，底面为矩形，则两两互相垂直，四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
因为长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，所以球心为中点，球O的直径，解得,
由分别是的中点可得，且平面，平面，所以平面；
因为球心为在直线的中点；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
在三棱锥中，
因为平面，平面平面，
所以，，为的中点，所以，，平面，且，
所以，
而，由等体积法得，
所以，故截面面积为．
四、解答题
15.【答案】解：（1）因为直线l在y轴上的截距为2，所以必过点(0,2),
故直线l的方程为，化简得，
令则，所以；
（2）设直线l在x轴上的截距为，即过点，
故直线l的方程为，即，
令可得，
由得,
故直线l在x轴上的截距为.
16.【答案】解：（1）设Px,y，因为，可得：，
平方并整理得：；
所以动点的轨迹方程为
（2）已知直线与圆交于两点，设，
联立，得，
整理可得：，
所以，得，
，
所以或，又，则.
17.【答案】解：（1）因为的周长为，
所以，
即，又椭圆的离心率为，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
设、，过点作圆的切线交椭圆于、两点，则直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，则圆心到直线的距离为：，因为直线与圆相切，所以，即，
联立直线与椭圆的方程，整理得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
又点到直线的距离为，所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的面积的最大值为．
一、单选题
1.【答案】C
【解析】将直线：，化为斜截式，故其斜率为.
故选：C.
2.【答案】D
【解析】由题意，解得，经检验，时，，，符合题意.
故选：D.
3.【答案】A
【解析】，则，所以焦点在轴；又，则其焦点坐标为，
故选：A.
4.【答案】C
【解析】由双曲线的方程为知，双曲线焦点在轴，且，
又焦点在轴的双曲线渐近线方程为，所以渐近线方程为.
故选：C.
5.【答案】B
【解析】由可得抛物线的焦点，准线方程为，
如图：过点作准线的垂线，垂足为，
根据抛物线的定义可知，,设，则，解得，
将代入抛物线得，
所以.
故选：B.
6.【答案】C
【解析】由题意知，抛物线的焦点在y轴上，故其焦点坐标为.
故选：C.
7.【答案】D
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，且，
则以B为原点，分别以AB，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
由题可得，
故．
设平面的一个法向量为，
则，即
不妨令，得．则平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
则．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】由题意，，,
则与同方向的单位向量为，又,，
于是，点A到直线的距离是：.
故选：B.
二、多选题
9.【答案】CD
【解析】选项A：，显然，则与不平行，故A项错误；
选项B：，
则，
所以不成立，故B项错误；
选项C：，故C项正确；
选项D：，故D项正确，
故选：CD.
10.【答案】AD
【解析】由于向量且，则， 解得或.
①当时，，则；
②当，时，则．
故选：AD.
11.【答案】AB
【解析】对于选项A，直线的方程转化为：，由，
可解得，所以直线过定点，故选项A正确，
对于选项B，圆的转化为标准方程：，可得圆心，半径，故选项B正确，
对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离，整理得到，得到，
又，所以，解得，故选项C错误，
对于选项D，若平分圆的周长，则直线的方程经过圆心，将圆心的坐标代入，解得此时，故选项D错误，
故选：AB.
三、填空题
12.【答案】相交
【解析】圆与圆，所以圆心，圆心所以圆心距离，，，
，两圆相交．
13.【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，不妨取，得，
所以到平面的距离是.
14.【答案】
【解析】如下图所示，

因为平面，底面为矩形，则两两互相垂直，四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
因为长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，所以球心为中点，球O的直径，解得,
由分别是的中点可得，且平面，平面，所以平面；
因为球心为在直线的中点；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
在三棱锥中，
因为平面，平面平面，
所以，，为的中点，所以，，平面，且，
所以，
而，由等体积法得，
所以，故截面面积为．
四、解答题
15.【答案】解：（1）因为直线l在y轴上的截距为2，所以必过点(0,2),
故直线l的方程为，化简得，
令则，所以；
（2）设直线l在x轴上的截距为，即过点，
故直线l的方程为，即，
令可得，
由得,
故直线l在x轴上的截距为.
16.【答案】解：（1）设Px,y，因为，可得：，
平方并整理得：；
所以动点的轨迹方程为
（2）已知直线与圆交于两点，设，
联立，得，
整理可得：，
所以，得，
，
所以或，又，则.
17.【答案】解：（1）因为的周长为，
所以，
即，又椭圆的离心率为，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
设、，过点作圆的切线交椭圆于、两点，则直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，则圆心到直线的距离为：，因为直线与圆相切，所以，即，
联立直线与椭圆的方程，整理得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
又点到直线的距离为，所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的面积的最大值为．
18.【答案】解：（1）已知双曲线的焦距为，则.
又因为在双曲线中，所以，则.
所以双曲线的方程为.
（2）已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为.
设，. 将直线方程代入双曲线方程可得：
，化简得. 根据韦达定理，，.
则弦长（3）设直线的方程为，设，.
将直线方程代入双曲线方程可得：.
由韦达定理得，. 则，，
所以.
已知双曲线左右顶点，，直线的斜率，直线的斜率. ，又因为，，
所以：

综上，是定值.
18.【答案】解：（1）因为矩形，所以，
又因为正方形和矩形所在的平面互相垂直，且平面平面平面，
所以平面，
又平面，
故，
又因为正方形，
所以，故可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，解得
令，则得，此时，
设直线与平面所成角为，
所以
故直线与平面所成角余弦值为；
（2）由（1）得，因为点在线段上，
故设，则，
所以，故
所以，
当时，直线平面，故，所以，
故线段上存在点使得平面，
此时.
19.【答案】解：（1）已知双曲线的焦距为，则.
又因为在双曲线中，所以，则.
所以双曲线的方程为.
（2）已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为.
设，. 将直线方程代入双曲线方程可得：
，化简得. 根据韦达定理，，.
则弦长（3）设直线的方程为，设，.
将直线方程代入双曲线方程可得：.
由韦达定理得，. 则，，
所以.
已知双曲线左右顶点，，直线的斜率，直线的斜率. ，又因为，，
所以：