贵州省贵阳市普通中学2021-2022学年高一上学期期末监测考试数学试题

贵阳市普通中学2021-2022学年度第一学期期末监测考试试卷

高一数学

一､选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.）

1 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A，B，再由交集定义求出．

【详解】∵集合，

，

∴．

故选：C．

2. 已知命题，则p的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】全称命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可

【详解】全称命题的否定为存在命题，

命题，

则为.

故选：D

3. 函数的定义域为（    ）

A. R B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】要使函数有意义，则需要满足即可.

【详解】要使函数有意义，则需要满足

所以的定义域为，

故选：B

4. 在平面直角坐标系中，角与角项点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用终边相同的角和诱导公式求解.

【详解】因为 角与角的终边关于y轴对称，

所以，

所以 ，

故选：A

5. 借助信息技术画出函数和（a为实数）的图象，当时图象如图所示，则函数的零点个数为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】由转化为与的图象交点个数来确定正确选项.

【详解】令，，

所以函数的零点个数即与的图象交点个数，

结合图象可知与的图象有个交点，

所以函数有个零点.

故选：B

6. 设，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】比较a、b、c与0和1的大小即可判断它们之间的大小.

【详解】，
，
，

故

故选：C.

7. 已知，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再对四个选项一一验证即可.

【详解】因为，又，

解得：.

故A错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D错误.

故选：B

8. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意并结合奇函数的性质即可求解.

【详解】由题意得，设函数图象的对称中心为，

则函数为奇函数，

即

，

则，解得，

故函数图象的对称中心为.

故选：.

二､多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.）

9. 下列说法正确的有（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明；

对于B：利用同向不等式相乘可以证明；

对于C：利用不等式的可乘性可以判断；

对于D：取特殊值可以判断.

【详解】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；

对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；

对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；

对于D：取特殊值满足，但是，，所以

.故D错误.

故选：AB

10. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：（Q是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：（其中，且）.以下对说法正确的有（    ）

A. 的定义域为R B. 是非奇非偶函数

C. 在实数集的任何区间上都不具有单调性 D. 任意非零有理数均是的周期

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据有理数、无理数和实数的概念判断A；根据奇偶函数的定义判断B；根据函数的值域为即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D.

【详解】A：由，所以有理数无理数=实数，故A正确；

B：当时，，有，所以，

当时，，有，所以，

所以为偶函数，故B错误；

C：当时，有，当时，有，

所以的值域为，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故C正确；

D：设T为非零有理数，当时，，所以，

所以任意的非零有理数均是的周期，故D正确.

故选：ACD

三､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.）

11. 已知幂函数的图象过点，则___________.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】设，代入点求解即可.

【详解】设幂函数，

因为的图象过点，

所以，

解得

所以，得

.

故答案为：

12. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.

【答案】8100

【解析】

【分析】将代入，化简即可得答案.

【详解】因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为：

，

所以，当一条鲑鱼以的速度游动时，

，

∴，

∴．

故答案为：8100.

13. 若，则的最小值是___________，此时___________.

【答案】    ①. 1    ②. 0

【解析】

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】因为，

所以,

当且仅当，即时，等号成立，

所以其最小值是1，此时0，

故答案为：1，0

14. 函数在一个周期内图象如图所示，此函数的解析式为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式．

【详解】由图象可知，，

，由

，

三角函数的解析式是

函数的图象过,，

把点的坐标代入三角函数的解析式，

，

，又，

，

三角函数的解析式是.

故答案为：.

15. 已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】将“对，使得，”转化为，再根据二次函数的性质和指数函数的单调性求得最值代入即可解得结果.

【详解】当时，，

∴当时，，

当时，为增函数，

所以时，取得最大值，

∵对，使得，

∴，

∴，解得.

故答案为：.

四､解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 计算下列各式（式中字母均是正数）.

（1）

（2）

【答案】（1）2；    （2）.

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算性质即得；

（2）利用指数幂的运算法则运算即得.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

.

17. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点都与坐标原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，角的终边在第二象限，与单位圆交于点Q，扇形的面积为.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用任意角的三角函数定义进行求解；

（2）先利用扇形的面积公式求出其圆心角，进而得到，再利用两角和的余弦公式进行求解.

小问1详解】

解：由任意角的三角函数定义，得

，，；

【小问2详解】

设，因为扇形的半径为1，面积为，

所以，即，

又因为角的终边在第二象限，所以不妨设，

则

.

18. 已知函数是上的偶函数，当时，.

（1）用单调性定义证明函数在上单调递增；

（2）求当时，函数的解析式.

【答案】（1）详见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用单调性的定义即证；

（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.

【小问1详解】

，且，则

，

∵，且，

∴，

∴，即，

∴函数在上单调递增；

【小问2详解】

当时，，

∴，又函数是上的偶函数，

∴，

即当时，.

19. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，求在区间上的最小值.

【答案】（1）；   

（2）－2.

【解析】

【分析】(1)化简f(x)解析式，根据正弦函数复合函数单调性即可求解；

(2)根据求出的范围，再根据正弦函数最值即可求解.

【小问1详解】

.

由得f(x)的单调递增区间为：；

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，

则.

，∴.

五､阅读与探究（本大题1个小题，共8分，解答应写出文字说明，条理清晰.）

20. 阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.

定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：

（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；

（2）求证：二次函数是上凸函数；

（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）根据下凸函数的定义举例即可；

（2）利用上凸函数定义证明即可；

（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.

【小问1详解】

，；

【小问2详解】

对于二次函数，，满足

，

即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.

【小问3详解】

由（2）知二次函数是上凸函数，

同理易得二次函数为下凸函数，

对于函数，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，

若对任意，恒有，

则函数满足上凸函数定义，即，

即.