吉林省吉林地区2026届高三下学期第三次调研测试(吉林三调)数学试卷含答案（word版）

这是一份吉林省吉林地区2026届高三下学期第三次调研测试(吉林三调)数学试卷含答案（word版），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
T10 附加题: 在圆锥 PO 中，轴截面 PAB 是边长为 2 的等边三角形， M 为母线 PB 上一点，且满足 PM=λPB00 ,由韦达定理,得 x1+x2=8k2+8k2,x1x2=16 . 8 分
∴S△OMN=12×−4k×x1−x2=2kx1+x22−4x1x2
=2k8k2+8k22−64=16k2+1k2+1=163
∴k2=1 ,即 k=±1 , 11 分
即直线 l 的方程为 x−y−4=0 或 x+y−4=0 .
综上所述，直线 l 的方程为 x−y−4=0 或 x+y−4=0 . 13 分
(注: 利用其他方法求解面积正确均给分.)
16. 【答案】(I) 3x−2y−1=0 (6 分)；(II) t∣t=0或t>6e−2 (9 分).
【解析】
(I) 当 a=−12 时, fx=−12x3+32x2 ,则 f′x=−32x2+3x .
∴k=f′1=−32+3=32 . 3 分
又 ∵f1=−12+32=1 ,
∴ 曲线 y=fx 在点 1,1 处的切线方程为 y−1=32x−1 ,即 3x−2y−1=0 . 6 分
(II) 当 a=0 时, gx=32x2ex−t 有唯一零点,则 t=32x2ex .
令 ℎx=32x2ex ，则函数 y=ℎx 的图象与直线 y=t 有唯一交点. 8 分
ℎ′x=32x2+2xex=32xx+2ex ,令 ℎ′x=0 ,解得 x=0 或 x=−2 .
当 x0 时， ℎ′x>0 ；当 −26e−2 时,函数 y=ℎx 的图象与直线 y=t 有唯一交点,
即实数 t 的取值范围是 t∣t=0或t>6e−2 . 15 分
(注: 结果不写成集合形式不扣分.)
17.【答案】(I)分布列见解析， EX=1 (8 分)；(II) k=6 (7 分).
【解析】
( I ) (法一) 由题可知，每位员工参加活动获得礼品的概率为 14,X∼B4,14 ,
X 的所有可能取值为0,1,2,3,4. 1 分
PX=0=C40×344=81256, PX=1=C41×14×343=108256=2764,
PX=2=C42×142×342=54256=27128,PX=3=C43×143×34=12256=364,
PX=4=C44×144=1256. 6 分
X 的分布列如下表所示:
EX=4×14=1 8 分
(法二) 由题可知,每位员工参加活动获得礼品的概率为 14,X∼B4,14 ,
PX=k=C4k×14k×344−k,k=0,1,2,3,4. 6 分
X 的分布列如下表所示:
EX=4×14=1. 8 分
(注: ①概率值未化简到最简形式不扣分; ②二项分布仅计算, 不列表不扣分.)
(II) (法一) ∵an=PY=n−1=C20n−1×14n−1×3421−n,n=1,2,⋯,21 . 9 分 ∵ak 为数列 an 的最大项,则 ak≥ak−1ak≥ak+1 ,
∴C20k−1×14k−1×3421−k≥C20k−2×14k−2×3422−kC20k−1×14k−1×3421−k≥C20k×14k−2×3420−k 12 分
即 20k−1!21−k!≥20k−2!22−k!×320k−1!21−k!×3≥20k!20−k!,
解得 214≤k≤254 , 14 分
∵k∈N∗,k=6 . 15 分
(法二) ∵an=PY=n−1=C20n−1×14n−1×3421−n,n=1,2,⋯,21 . 9 分
令 am+1am=C20m×14m×3420−mC20m−1×14m−1×3421−m=20!m!20−m!20!m−1!21−m!×3=21−m3m,m=1,2,⋯,20 . 12 分
当 1≤m≤5 时， am+1>am ；当 6≤m≤20 时， am+1a21 , 14 分所以数列 an 的最大项为 a6,∴k=6 . 15 分
(注: 直接利用人教 A 版选择性必修三教材 P82 结论,无推导过程扣 3 分.)
18. 【答案】( I ) (i) AC=522 (4分)；(ii) 574 (6分)；(II) θ=π12 (7分).
【解析】
(I) (i) ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴B+D=π . 1 分
∴csB+csD=AB2+BC2−AC22AB⋅BC+AD2+DC2−AC22AD⋅DC
=22+22−AC22×2×2+42+12−AC22×4×1=25−2AC28=0 ,
∴AC2=252 . 又 ∵AC>0,∴AC=522 . 4 分
(ii) (法一) 在 △ABC 中, AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=8−8csB ①
在 △ADC 中, AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcsD=17−8csD ②
由①-②得， csB−csD=−98 ③
∵S=S△ABC+S△ADC=12AB⋅BCsinB+12AD⋅DCsinD=2sinB+2sinD ,
∴sinB+sinD=S2 ④ 7 分
由 32+42 得, 2−2csBcsD−sinBsinD=8164+S24 ,
∴2−2csB+D=8164+S24≤4 ,
∴S≤574 ，当且仅当 B+D=π 时取等号.
∴ 四边形 ABCD 面积 S 的最大值为 574 . 10 分
(法二)
csB−csD=csB+D2+B−D2−csB+D2−B−D2=−2sinB+D2sinB−D2=−98 ③ sinB+sinD=sinB+D2+B−D2+sinB+D2−B−D2=2sinB+D2csB−D2=S4 ④ 7 分由 32+42 得, sin2B+D2=9162+S216≤1 ,
∴S≤574 ，当且仅当 B+D=π 时取等号 ∴ 四边形 ABCD 面积 S 的最大值为 574 . 10 分 (注: 若使用和差化积 (积化和差) 公式, 可参考人教 A 版必修一 P238 例 2 或 2026 高考试题分析答题格式.)

(II) 在 △ABD 中, AB=2,AD=4,∠BAD=π3 .
由余弦定理,得 BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsπ3 ,
=4+16−2×2×4×12=12
∴BD=23 ， ∴BD2+AB2=AD2 ， ∴AB⊥BD . 12 分
∵∠BAD+∠BCD=π ， ∴A ， B ， C ， D 公众号悦爱学堂四点共圆.
∴∠ABO=∠OCD=π2 ， ∠CAD=∠CBD=θ ， ∠BAO=∠CDO=π3−θ ， ∴S△AOD2S△BOC=12OA⋅ODsin∠AOD2×12OB⋅OCsin∠BOC=OA⋅OD2OB⋅OC=12OBOA⋅OCOD =12sin∠BAO⋅sin∠CDO=12sinπ3−θ⋅sinπ3−θ=1 , 15 分 ∴sin2π3−θ=12,∴sinπ3−θ=±22 ,
∵0