吉林省吉林地区2026届高三上学期第二次调研测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.
1. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于5，那么点与另一个焦点的距离等于（ ）
A. 1B. 2C. 11D. 1或11
4. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 48B. 52C. 56D. 96
5. 已知函数是奇函数，则实数的值为（ ）
A.
B.
C. 1
D. 2
6. 下列满足经过点且与直线相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表：
单位：人
附：，其中．
下列结论正确的是（ ）
A. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异
B. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异
C. 依据小概率值独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异
D. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异
8. 如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正四棱锥中，则（ ）
A.
B. 平面
C. 平面平面
D. 直线与所成的角不可能为
10. 已知函数的一条对称轴方程为，设函数，则（ ）
A.
B. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，就得到函数的图象
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 直线是曲线的切线
11. 如图，抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于两点，则（ ）

A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
B. 以为直径的圆与轴相切
C.
D. 四边形面积的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
12 已知平面向量，若，则____________.
13. 已知数列的前项和为，若，则_____________.
14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，分别是各棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
16. 2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示.
（1）求上表中冠军成绩的极差与中位数；
（2）根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）；
（3）求冠军成绩关于年份代码的经验回归方程（精确到0.01）.
附：参考公式：样本相关系数，经验回归方程中，.
参考数据：，.
17. 已知的内角的对应边分别为，且．
（1）求；
（2）若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求．
18. 已知函数.
（1）求的极小值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求不等式的解集.
19. 如图，椭圆 左、右焦点分别为，上、下顶点分别为为坐标原点，且是面积为的等边三角形.

（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）若点为椭圆上一点，且在轴左侧，设过点与椭圆相切的直线为，过两点分别作轴的垂线交直线于两点.
（i）若点的纵坐标是，求的面积；
（ii）证明：.学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲
40
10
50
乙
30
20
50
合计
70
30
100
0.1
0.05
0.01
0005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年份
1988
1992
1996
2000
2004
2008
2012
2016
2020
2024
冠军成绩
4863
49.02
48.74
48.30
48.17
47.21
47.52
47.58
47.02
46.40