贵州省遵义市第四初级中学2024-—2025学年上学期期中九年级数学试题（解析版）

这是一份贵州省遵义市第四初级中学2024-—2025学年上学期期中九年级数学试题（解析版），共5页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
期中测试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：以人教版第二十一章——第二十三章为主．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
【详解】解：的绝对值是．
故选B．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合要求；
B、不是中心对称图形，故不符合要求；
C、不是中心对称图形，故不符合要求；
D、是中心对称图形，故符合要求．
故选：D．
3. 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域，从发射点和导弹落点粗略估算，这次导弹飞行射程大概有12000公里，数据12000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可．
【详解】解：，
故选：A．
4. 在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A. ，2，B. ，，1C. 3，2，D. 3，2，1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数一般式，掌握二次函数中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项是解题的关键．
【详解】解：函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，2，，
故选：A．
5. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程；
根据两因式相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，
故选：B．
6 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；依据此平移法则求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
7. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，依据旋转的性质可求得 ，，求得的度数，再根据即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得 ，，，
∴，
∵，
∴．
故选：A
8. 关于二次函数下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 对称轴为直线
C. 在顶点处取得最小值D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．首先二次函数配方成顶点式，然后根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵，二次项系数为，
∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意；
在顶点处取得最小值，故选项C正确，符合题意；
当时，y随x增大而减小，故选项D错误，不符合题意，
故选：C．
9. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，得：．
故选：D．
10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，一元二次方程的二次项系数不为0，解题关键是一元二次方程根的情况与判别式的关系为：时，方程无实数根，时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，且，求出的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，，
解得：且．
故选：C．
11. 函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项正确．
故选：D．
12. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形，
∴点的坐标为，
，
四边形是正方形，
，
连接，如图：

由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，
，，，，，，，，
发现是8次一循环，则，
∴是第253组的最后一个点，
点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 计算：_______．
【答案】1
【解析】
【分析】先化简二次根式，再计算减法．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
14. 已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．
【详解】解：点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可．
【详解】解：当时，即
解得，（舍去）
∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒．
故答案为：2．
16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是______（写序号）．
【答案】③④⑤
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键，依次根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：①由图象可知：，
∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵图形与x轴有两个交点，
∴，
∴，
故②错误；
③由函数图象可得，当时，，故③正确；
④当时，y最大，且，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤∵，
∴，
∵设方程的两根为，
则，故⑤正确，
故答案为：③④⑤．
三、解答题（共98分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
解得，．
18. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的图形，并写出的坐标；
（2）画出绕着原点O逆时针旋转后的图形，并写出的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】本题主要考查作图旋转变换和中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点绕原点O逆时针旋转后得到的对称点，再首尾顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求
点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
点的坐标为．
19. 解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下：
（1）小马的解法从第______步开始错；小虎的解法从第______步开始错；
（2）请你用喜欢的方法求解此方程．
【答案】（1）②；② （2），
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解方程可对小马的解法进行判断；根据根的判别式的计算可判断小虎的解法进行判断；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．
【小问1详解】
小马的解法从第②步开始错；小虎的解法从第②步开始错；
【小问2详解】
，
，
或，
所以，．
20. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，我校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数______；
（3）若学校有1500名学生，请你估计该校喜爱排球的有多少人？
【答案】（1）100，补图见解析
（2）
（3）75
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，解题的关键是：
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）用1500乘以选择排球所占的百分比．
【小问1详解】
解：根据题意得本次被调查的学生人数为（名），
选择足球的学生人数为（名），
补全图形如下：
【小问2详解】
解：，
即扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
∴估计该校喜爱排球的有75人．
21. 如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并求抛物线的顶点坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），顶点坐标为；
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法去抛物线的解析式、求三角形面积，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将、点的坐标代入解析式求出，然后配方成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）首先求出，，然后利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
将、代入解析式，得
，
解得：
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
如图，连接
当时，
∴
∴
∵、，
∴
∴的面积．
22. 已知关于x的一元二次方程（其中）．
（1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值；
（2）当该方程有实数根时，求m的取值范围．
【答案】（1），方程的另一个根为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用．
（1）将代入原方程可求出m的值；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【小问1详解】
解：将代入原方程得：，
解得：
∴原方程为
∴
∴或
解得，
∴方程的另一个根为；
【小问2详解】
解：当该方程有实数根时，
，
解得：，
∵是关于的一元二次方程，
，
的取值范围为．
23. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，与相交于点O，点B的对应点D恰好落在边上，且点A，B，E在同一条直线上．
（1）求证：平分；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答；
（2）根据旋转的性质可得：，求出，然后求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：如图：
由旋转得：，，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：如图，
由旋转得：，
∴，
由（1）得，，
∴．
24. 十月国庆长假期间，某商场销售一批商品，经市场调研：该商品进价为每个10元，当原售价为每个12元时，每天销售量为28个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少1个，请回答以下问题：
（1）若设售价为x元，则每个商品的利润为______元；该商品的销售量为______个．
（2）若销售该商品每天获得的总利润是200元，则该商品定价多少元？
（3）若规定售价不能高于原售价的2倍，则当售价定为多少时，商场销售该商品每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）该商品定价20元或30元
（3）当售价定为24时，商场销售该商品每天获得的利润最大，每天的最大利润是224元．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，列代数式，
（1）根据每个商品的利润等于售价减去进价即可求解；根据售价每提高1元，每天销售量就会减少1１个即可求解该商品的销售量；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（3）设商场每天获得利润最大为元，由此列式，再根据二次函数的最值的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：若设售价为x元，则每个商品的利润为元；该商品的销售量为个；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
整理得，
解得，
∴该商品定价20元或30元；
【小问3详解】
解：设商场每天获得利润最大为元，
∴，
∵，
∴
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当售价定为24时，商场销售该商品每天获得的利润最大，每天的最大利润是224元．
25. 在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接
【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______；
【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】（1）；（2）仍然成立；理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】本题考查三角形旋转变换的性质，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质，掌握旋转变换的性质，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．
（1）证明，即可得出结论；
（2）证明，即可得出结论；
（3）在上取一点E，使，连接，过点E作于F，证明，得到，进而得到最小时，最小，利用垂线段最短和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：（1）；
由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）前面发现的结论仍然成立；理由如下：
由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F，
由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点，
∴当（点P和点F重合）时，最小，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
故线段长度最小值是
小马的解法：
①
②
③
④
∴，⑤
小虎解法：
，，①
∵②
∴原方程无实数根③