2025-2026学年下学期云南昭通高一数学3月第一次月考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期云南昭通高一数学3月第一次月考试卷含答案，共16页。试卷主要包含了 向量的数量积可以表示为等内容，欢迎下载使用。
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每个小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 复数 z=1+2i−5 的虚部为
A. 2
B. −25
C. 2i
D. −25i
2. 在 △ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, a=2,b=3,B=π3 ,那么 A=
A. π4 B. 3π4
C. 3π4 或 π4 D. π3
3. 向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线” 与 “差对角线” 平方差的四分之一. 即如图 1 所示: a⋅b=14AD2−BC2 ,我们称为极化恒等式. 在 △ABC 中, M 是 BC 中点, AM=3,BC=10 ,则 AB⋅AC=

图 1
A. 32
B. -32
C. 16
D. -16
4. 在 △ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是
A. a=43,b=6,C=60∘ B. a=5,b=6,A=120∘
C. a=3,b=4,A=45∘ D. a=4,b=3,A=60∘
5. 向量 m,n 满足 m⋅n=5 ，且 m=−1,3 ，则 n 在 m 上的投影向量为
A. −12,32 B. −110,310
C. −5,53 D. −105,3105
6. 在 △ABC 中,已知 asinAa2+c2−b2=bsinBb2+c2−a2 ,则 △ABC 的形状为
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
7. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 ccsA+csinA=b+22a ,则角 C 等于
A. π4 B. π3 C. π2 D. 5π12
8. 如图 2，在平行四边形 ABCD 中， CE=DE ， EB 和 AC 相交于点 G ，且 F 为 AG 上一点 (不包括端点),若 BF=λBE+μBA ,则 1λ+1μ 的最小值为

图 2
A. 52
B. 52+6
C. 52+62
D. 12+6
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 若复数 z=3−2i1+i ,则
A. z 的实部是 12 B. z=332
C. z−z=−2i D. z 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 已知 △ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,其中 c=1,b=4,a=13,E 为 AC 中点，点 O 为 △ABC 的内心，连接 AO 延长交 BC 于 D ，下列结论正确的是
A. △ABC 的面积为 3 B. BE=3
C. sin∠ACB=2626 D. AD=435
11. 在 △ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3b⋅csC+3c⋅csB=a2 , cs2A−3csB+C=1 ,则下列说法正确的是有
A. A=π3
B. △ABC 的外接圆的周长为 43π
C. △ABC 周长的最大值为 9
D. 若 △ABC 为锐角三角形，则 △ABC 面积的取值范围为 332,934
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
注意事项:
第 II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若复数 1+ai2+i 是纯虚数，则实数 a=
13. 已知向量 a,b 满足 a−b⊥b ，且 a=3 ， b=2 ，则 cs⟨a,b⟩= _____.
14. 如图 3,在菱形 ABCD 中, AB=2,∠BAD=60∘,E,F 分别为 BC,CD 上的点， CE=2EB,CF=2FD ，若线段 EF 上存在一点 M ，使得 AM=56AB+12AD ，则 AM= _____；若点 N 为线段 BD 上一个动点,则 AN⋅MN 的取值范围为_____. (第一空 2 分, 第二空 3 分)

图 3
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知向量 a,b 满足 a=2,b=2 且向量 a 与 b 的夹角为 45∘ .
(1)求 a−b ；
(2)若向量 2a−kb 与向量 a+2b 共线，求 k 的值.
16. (本小题满分 15 分) 如图 4,在平面四边形 ABCD 中, BC=2,∠BCD=π6,△BCD 的面积为 3+12 .

图 4
(1)求 BD ；
(2)若 AD=22,∠ABD=π4 ，求 sin∠ADB .
17. (本小题满分 15 分)
某测量小组为测量如图 5 甲山的高度,建立了如图乙所示的数学模型三棱锥 C−OAB ， OC 垂直水平面 OAB ,点 C 代表凤凰亭的上顶点, A,B 两点代表山脚地面上的两个观测点,同学甲在 A 处测得仰角为 45∘ ,同学乙在 B 处测得仰角为 30∘ ,同学丙测得两个观测点之间的距离 AB 为 90 米. (附:若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.)

图 5
(1)求 sin∠CABsin∠CBA ；
(2)同学甲测出 ∠CAB 为钝角，同学乙测算出 cs∠CBA=34 ，求山高 OC 的近似值.
18. (本小题满分 17 分)
已知锐角 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,向量 m=sinC,csC , n=2sinA−csB,−sinB ,且 m⊥n .
(1)求角 C 的值；
(2)若 a=4 ，求 b+c 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
我们可以把平面向量坐标的概念推广为 “复向量”,即可将有序复数对 z1,z2z1 , z2∈C 视为一个向量,记作 α=z1,z2 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算: 两个复向量 α=z1,z2,β=z3,z4 的数量积记作 α⋅β ,定义为 α⋅β =z1z3+z2z4 ; 复向量 α 的模定义为 α=α⋅α .
(1)设 α=3,i,β=1−i,4 ，求复向量 α 与 β 的模；
(2)① 求证:对任意的实向量 α 与 β ，都有 α⋅β≤αβ ；
②利用①的结论，求证:对任意实数 a,b,c,d ，不等式 ac+bd≤a2+b2c2+d2 成立,并写出此不等式的取等条件;
③设复向量 α=z1,z2,β=z3,z4 ，求证:对任意两个复向量 α 与 β ，不等式 α⋅β≤αβ 仍然成立.
昭通市市直中学 2026 年春季学期高一年级第一次月考 数学参考答案
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的)
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
第 II 卷(非选择题，共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
解: (1) 因为 a=2,b=2 ,且向量 a 与 b 的夹角为 45∘ ,
所以 a⋅b=abcs45∘=2×2×22=2 ,
则 a−b=a−b2=a2−2a⋅b+b2=22−2×2+22=2 .
(7 分)
(2)因为向量 2a−kb 与向量 a+2b 共线，则存在实数 λ ，
使得 2a−kb=λa+2b=λa+2λb ,
所以 2=λ−k=2λ ,解得 k=−4 . (13 分)
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) 因为 S△BCD=12BC⋅CD⋅sin∠BCD=3+12 ,
又 BC=2,∠BCD=π6 ,所以 CD=3+1 . (3 分)
在 △BCD 中,由余弦定理得:
BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs∠BCD=22+3+12−2×2×3+1×32=2 ,
所以 BD=2 . (6 分)
(2)在 △ABD 中，由正弦定理得 ADsin∠ABD=BDsin∠BAD ， (8 分)
即 22sinπ4=2sin∠BAD ,解得 sin∠BAD=24 , (9 分)
又 ∠BAD∈0,π2 ,所以 cs∠BAD=144 , (11 分)
所以 sin∠ADB=sinπ−∠ABD−∠BAD=sin∠ABD+∠BAD (13 分)
=sin∠ABDcs∠BAD+cs∠ABDsin∠BAD
=22×144+22×24=74+14=1+74 ,
故 sin∠ADB=1+74 . (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) 在 Rt△AOC 中,由 ∠OAC=45∘ 得 AC=2OC , (1 分)
在 Rt △BOC 中,由 ∠OBC=30∘ 得 BC=2OC , (2 分)
在 △ABC 中,利用正弦定理得: BCsin∠CAB=ACsin∠CBA , (4 分)
所以 sin∠CABsin∠CBA=BCAC=2 . (6 分)
(2)在 △ABC 中，利用余弦定理得: AC2=AB2+BC2−2AB×BCcs∠CBA ，
(8 分)
即 2OC2=8100+4OC2−2×90×2OC×34 ,化简为 OC2−135OC+4050=0 ,
(10 分)
解得 OC=90 ,或 OC=45 , (13 分)
当 OC=45 时， BC=90=AB ，与 ∠CAB 为钝角矛盾，经验证 OC=90 符合条件，
所以山高的近似值 OC 为 90 米. (15 分)
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 因为 m⊥n ,
所以 m⋅n=sinC2sinA−csB−csCsinB
=2sinCsinA−sinCcsB+csCsinB=0 , (2 分)
方法一:利用正弦定理角化边得 2asinC−ccsB+bcsC=0 ，
又 csB=a2+c2−b22ac,csC=a2+b2−c22ab ,
∴2asinC−a=0 ，则 sinC=12 ， (4 分)
又 △ABC 为锐角三角形,故 C=π6 . (6 分)
方法二: 由和差公式可得 2sinCsinA−sinB+C=2sinCsinA−sinA=0 ,
又因为 A∈0,π2,sinA≠0 ,所以 sinC=12 , (4 分)
又 △ABC 为锐角三角形,故 C=π6 . (6 分)
(2)由正弦定理得 b=asinBsinA=4sin56π−AsinA=2csA+23sinAsinA=23+2csAsinA ， c=asinCsinA=2sinA, (8 分)
由于 △ABC 为锐角三角形,则 A∈0,π2 , (9 分)
又 0