2025-2026学年下学期河北金太阳高三数学3月联考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河北金太阳高三数学3月联考试卷含答案，共12页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 已知椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知复数 z=csπ4+isinπ4 ,则 2z+i=
A. 3 B. 5 C. 22 D. 2
2. 已知 m∈R ,向量 a=m,2,b=1,m+1 ,则 “ m=1 ” 是 “ a//b ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 fx=2lnx−x2+x ,则曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为
A. y=x−1 B. y=x+1 C. y=2x−1 D. y=1
4. 已知集合 A={x,y∣tx−y=1},B=x,y∣x−12+y−12=1 . 若集合 A∩B 仅有 1 个元素,则 t=
A. 1 B. ±1
C. 34 D. 43
5. 若 A 组数据 x1,x2,x3,x4 的平均数为 25,方差为 5, B 组数据 x1,x2,x3,x4,5m 的方差为 8,则 m=
A. 8 B. 4 C. 4 或 5 D. 4 或 6
6. 已知 csα=255,csα+2β=−2525 ,则 sinα+βsinβ=
A. −4525 B. −6525 C. 4525 D. 6525
7. 已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fx+fx+2=f2−x ,且 f1=1 ,则 f14+ f28+f71+f95=
A. -2 B. 0 C. -1 D. 2
8. 在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB=2 ,若该正三棱柱存在棱切球 (与所有棱都相切的球),则其棱切球的半径与外接球的半径之比为
A. 2:7 B. 3:7 C. 2:3 D. 1:2
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若函数 fx=a+sinax−π3 的最大值为 3,则
A. fx 的最小值为 1
B. fx 的最小正周期为 2π
C. fx 的图象关于点 π6,2 对称
D. fx 的图象关于直线 x=2π3 对称
10. 已知椭圆 C:x216+y212=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,H 是 C 上异于左、右顶点的点,则
A. △F1HF2 的周长为 12
B. 存在点 H ,使得 HF1⊥HF2
C. 当 △F1HF2 内切圆的半径为 33 时, HF1⋅HF2=11
D. 当直线 l 被 C 所截得线段 AB 的中点是 P2,1 时,直线 l 的方程为 3x+2y−8=0
11. 已知函数 fx=aex−x,gx=lnax+x ,则下列说法正确的是
A. 若 fx≥0 恒成立，则 a∈1e,+∞
B. x=1 是 gx 的极值点
C. 若函数 y=fx+gx 恰有 2 个正零点,则 a∈0,1e
D. 若关于 x 的不等式 xfx+gx≤0 有解,则 a∈−∞,0∪0,1e
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知随机变量 X∼N3,σ2,PX≤−2a=PX≥5a−3 ,则 a= _____▲_____. ax−16 展开式中 x2 项的系数为_____▲_____.
13. 若函数 fx=x−1ex,x≤2,kx−3k,x>2 有最小值,则 k 的取值范围是_____▲_____.
14. 已知直线 y=2x+2 与抛物线 C:x2=mym>0 交于 A , B 两点,且 ∣AB∣=430 . 若 C 上的动点 P 到 C 的准线的距离为 d ，点 M4,5 ，则 PM−d 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinA:sinB:sinC=22:5:1 ，点 D 在边 BC 上，且 sin∠BAD=5sin∠DAC .
(1)求 BDDC 的值；
(2)若 5b+c=12 ，求 AD 的长.
16.(15分)
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为正方形，平面 ABB1A1⊥ 平面 BB1C1C ， AB=3BC=3,A1C=19 .

(1)证明: BC⊥ 平面 ABB1A1 .
(2)求二面角 A−B1C−A1 的余弦值.
17. (15 分)
社区公益募捐设置“爱心抽卡”环节，由甲、乙两位市民参与，规则如下:现有编号为 1~8 的 8 张公益卡，公益卡除编号不同外，其余都相同. 第一阶段先由甲从这 8 张公益卡中随机抽取 1 张，若甲抽到的公益卡编号为 1，则甲获得公益纪念徽章，抽卡结束；若甲抽到其他编号 (记为 m )的公益卡，则甲将此卡放回，并从乙开始两人轮流有放回地进行第二阶段的抽卡(每次抽取 1 张 )，直至一人抽到编号为 m 或 1 的公益卡时结束. 若在第二阶段抽卡中有一人抽到的公益卡编号为 m ，则甲获得公益纪念徽章；有一人抽到的公益卡编号为 1，则乙获得公益纪念微章. 设在进入第二阶段抽卡的情况下,甲获得公益纪念徽章的概率为 p ,乙获得公益纪念徽章的概率为 q .
(1)求 p ， q 的值.
(2)求甲获得公益纪念徽章的概率.
(3)若该环节甲获得公益纪念徽章，则甲捐 180 元作为爱心捐助，乙捐 60 元作为爱心捐助； 若该环节乙获得公益纪念徽章，则甲捐 100 元作为爱心捐助，乙捐 188 元作为爱心捐助. 求该环节甲、乙捐的款额之和 X 的数学期望.
18.(17分)
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ，过点 D1,0 的直线 l 与圆 O:x2+y2=a2 交于 A ， B 两点,且 AB 的最小值为 23 ,当直线 l 平行于双曲线 C 的渐近线时,双曲线 C 的左顶点到直线 l 的距离为 3155 .
(1)求双曲线 C 上一点 R 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 G,H ，证明: RG⋅RH
(2)过双曲线 C 上一点 R 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 G,H, 证明: RG⋅RH =125 .
(3)已知点 P10,−3 ，两个不重合的动点 M ， N 均在双曲线 C 上，直线 PM ， PN 分别与 y 轴交于点 E ， F ，点 Q 在直线 MN 上， OE+OF=0 且 PQ⊥MN . 试问:是否存在定点 T ,使得 QT 为定值？若存在,求出该定点 T 和 QT ; 若不存在,请说明理由.
19.(17分)
已知数列 an 满足 a1=2,an+1=2−1an,n∈N∗ ,函数 fx=lnx .
(1)证明:数列 1an−1 是等差数列.
(2)求使不等式 i=1nfai>an 成立的最小正整数 n 的值.
(3)若 fan>tsinan−1an 恒成立，求 t 的取值范围.
数学试题参考答案
1.B 因为 z=22+22i ,所以 2z+i=1+i+i=1+2i=1+4=5 .
2. B 若 a//b ,则 mm+1=2 ,解得 m=1 或 m=−2 ,所以 “ m=1 ” 是 “ a//b ” 的充分不必要条件.
3. A 由题意得 f′x=2x−2x+1,f1=2ln1−12+1=0,f′1=21−2×1+1=1 ,所以曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 y=x−1 .
4. C 因为 A∩B 仅有 1 个元素,所以直线 tx−y=1 与圆 C:x−12+y−12=1 相切,所以 t−1−1t2+1=1 ,解得 t=34 .
5. D 易得 xB=45×25+15×5m=20+m,sB2=45×5+20+m−252+15×20+m− 5m)2=8 ,解得 m=4 或 6 .
6. Dcsα=csα+β−β=csα+βcsβ+sinα+βsinβ=255,csα+2β=cs(α+β +β)=csα+βcsβ−sinα+βsinβ=−2525 ,两式相减,得 2sinα+βsinβ=12525 ,所以 sinα+βsinβ=6525 .
7. A 根据题意得 f0=0 . 因为 fx+fx+2=f2−x ,所以 fx+fx+2+f(x− 2)=0 ,则 fx+2+fx+4+fx=0 ,两式作差得 fx−2=fx+4 ,得 fx=f(x +6) ,所以 6 是 fx 的一个周期. 故 f14+f28+f71+f95=f2+6×2+f(4+ 6×4)+f5+6×11+f5+6×15=f2+f4+2f5=f2+f−2+2f−1= f2−f2−2f1=0−2=−2.
8. A 设正三棱柱 ABC−A1B1C1 的下底面中心为 O1 ,上底面中心为 O2 ,连接 O1O2 . 若该正三棱柱存在棱切球,则棱切球的球心 O 为线段 O1O2 的中点. 设 AB,CC1 的中点分别为 D,E ,连接 CD,OD,OE,OC1 ,则 OD=OE=O1C =2×32×23=233 . 因为 O1D=12O1C=33 ,所以 OO1=OD2−O1D2= 1,所以正三棱柱 ABC−A1B1C1 外接球的半径为 OC1=OE2+C1E2= OE2+OO12=213 ,故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为 233:213= 2:7 .

9. AC 因为 fx=a+sinax−π3 的最大值为 3,所以 a+1=3 ,得 a=2 ,则 fx 的最小值为 2−1=1,fx 的最小正周期为 π,A 正确, B 错误. 因为 π6×2−π3=0 ,所以 fx 的图象关于点 π6,2 对称, C 正确. 因为 2π3×2−π3=π ,所以 fx 的图象不关于直线 x=2π3 对称, D 错误.
10. ACD 由题意得 a2=16,b2=12 ,所以 a=4,c=16−12=2 ,所以 △F1HF2 的周长为 2a +2c=8+4=12 , A 正确. 当 H 与 C 的上顶点重合时, ∠F1HF2 最大,此时 △F1HF2 为等边三角形,所以 ∠F1HF2≤π3 , B 错误. 当 △F1HF2 内切圆的半径为 33 时, S△F1HF2=12 . 2a+2c⋅33=12⋅2c⋅yH ,得 yH=3 ,则 xH2=16×1−yH212=12,HF1⋅HF2= −xH−2,−yH⋅2−xH,−yH=xH2−4+yH2=12−4+3=11,C 正确. 当直线 l 被 C 所截得线段 AB 的中点是 P2,1 时,直线 l 的斜率存在,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x1+ x2=4,y1+y2=2 . 由 x1216+y1212=1,x2216+y2212=1,得x12−x2216+y12−y2212=0 ,所以 y1−y2x1−x2=−32 ,所以直线 l 的方程为 y−1=−32x−2 ,即 3x+2y−8=0,D 正确.
11. ACD 对于 A ,若 fx=aex−x≥0 ,则 a≥xex .
令 ℎx=xex ,则 ℎ′x=1−xex ,所以 ℎx 在 −∞,1 上单调递增,在 1,+∞ 上单调递减,
所以 ℎxmax=ℎ1=1e ,所以 a∈1e,+∞ ,故 A 正确.
对于 B ,因为 gx=lnax+x ,所以 g′x=−1x+1=x−1x ,
当 a0,a>0 ,令 mx=xex ,则 m′x=x+1ex ,所以 mx 在 −∞,−1 上单调递减，在 −1,+∞ 上单调递增，且 x∈−∞,0 ， mx0 .
方程 xex=xalnxa=lnxa⋅elnxa 等价于 mx=mlnxa ,所以 x=lnxa ,即 a=xex .
由 A 可知 ℎx 在 0,1 上单调递增,在 1,+∞ 上单调递减,且 x∈0,+∞,ℎx>0 .
因为 ℎxmax=ℎ1=1e ,所以 a∈0,1e ,故 C 正确.
对于 D ,由 xfx+gx≤0 ,得 axex−x2+lnax+x≤0 ,
整理得 axex+x+lnax+lnx2≤x2+lnx2 ,
即 ex+lnax+x+lnax≤x2+lnx2=elnx2+lnx2 ,
令 Fx=ex+x ,易知 Fx 在 R 上单调递增,所以 x+lnax≤lnx2 ,即 xa≥ex .
当 a>0 时, a≤xexmax=1e ,得 a∈0,1e ,当 a0,x1+x2=4km3−2k2,x1x2=−2m2−123−2k2.⋯10 分直线 PM 的方程为 y=y1+3x1−10x−10−3 ,
令 x=0 ,则 y=3x1+10y110−x1 ,得 E0,3x1+10y110−x1 ,同理得 F0,3x2+10y210−x2 .
12 分
由 OE+OF=0 ,可得 3x1+10y110−x1+3x2+10y210−x2=0 ,
所以 3x1+10kx1+m10−x1+3x2+10kx2+m10−x2=0 ,
所以 10k+3x1+10m10−x2+10k+3x2+10m10−x1
=10k+310−10mx1+x2−210k+6x1x2+20m
=10k+310−10m⋅4km3−2k2−210k+6⋅−2m2−123−2k2+20m=0 ,
整理得 m2+10k+5m+210k+6=m+2m+10k+3=0 . 15 分
当 m+10k+3=0 时, m=−10k−3 ,此时直线 MN 的方程为 y=kx−10−3 ,经过
点 P10,−3 ,与 PQ⊥MN 矛盾,舍去. 16 分
当 m=−2 时,直线 MN 的方程为 y=kx−2 ,恒过定点 W0,−2 ,
设 PW 的中点为 T ,则 T102,−52 .
因为 PQ⊥MN ,所以 QT=12PW=112 为定值.
故存在定点 T102,−52 ,使得 QT 为定值 112 . 17 分
19.(1)证明:因为 an+1=2−1an ，所以 an+1−1=1−1an=an−1an ，所以 1an+1−1=anan−1=1+ 1an−1 2 分
因为 1an+1−1−1an−1=1 ,且 1a1−1=1 , 所以 1an−1 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 4 分
(2)解:由(1)知 1an−1=n ，即数列 an 的通项公式为 an=n+1n . 5 分因为 fan=lnn+1n=lnn+1−lnn ,
所以 i=1nfai=ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+lnn+1−lnn=lnn+1 . 6 分
令 gx=lnx+1−x+1x=lnx+1−1x−1,x>0 ,易知 gx 在 0,+∞ 上单调递增.
7 分
因为 g2=ln3−32=ln3−lne32=ln9−lne30 (因为 22>e ,所以 8>e2 ,进而 82>e4 , 9 分
所以使不等式 i=1nfai>an 成立的最小正整数 n 的值为 3 . 10 分
(3)解:由 fan>tsinan−1an ,得 lnn+1n>tsin1nn+1n .
令 1n=x ,则 lnx+1>tsinxx+1 ,且 x∈(0,1] ,整理得 x+1lnx+1−tsinx>0 .
11 分
令 ℎx=x+1lnx+1−tsinx,x∈(0,1] ,则 ℎ′x=lnx+1+1−tcsx . 12 分令 mx=ℎ′x ,则 m′x=1x+1+tsinx .
易知 ℎ0=0,m0=ℎ′0=1−t ,
当 t≤0 时, x+1lnx+1>0,sinx>0,ℎx>0 恒成立. 13 分
当 00 ，则 ℎ′x 在 (0,1] 上单调递增.
因为 ℎ′x>ℎ′0≥0 ,所以 ℎx 在 (0,1] 上单调递增,所以 ℎx>ℎ0=0 . 14 分当 t>1 时, m′x>0 ,则 ℎ′x 在 (0,1] 上单调递增.
因为 ℎ′0=1−t