【备考2026】吉林省长春市中考仿真数学试卷1（含解新）

这是一份【备考2026】吉林省长春市中考仿真数学试卷1（含解新），共12页。试卷主要包含了 表示了翻滚留下的痕迹等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出6元记作（ ）
A．+6元B．0元C．﹣6元D．﹣1元
2．（3分）一个正方体的上下左右四个面分别标上了1，2，3，4四个数字，这个正方体向右翻滚一周，如图（ ） 表示了翻滚留下的痕迹．
A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a3+a3B．a3•a2C．（﹣a2）3D．a3•a3
4．（3分）在﹣5.8，﹣2，1，﹣3这四个数中，是不等式x＜﹣3的解的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）如图，建筑物AB和旗杆CD的水平距离BC为9m，在建筑物的顶端A测得旗杆顶部D的仰角α为45°，旗杆底部C的俯角β为30°，则旗杆CD的高度为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
6．（3分）如果直线y＝3x﹣2m与x轴交于点（2，0），那么m的值为（ ）
A．m＝﹣3B．m＝3C．m＝1D．m＝﹣1
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝6，点E在AB上，将△DAE沿直线DE折叠，使点A恰好落在DC上的点F处，连接EF，分别与矩形ABCD的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DEA＝45°B．S△BEM：S△BAD＝1：9
C．FG＝GM＝EMD． QUOTE
8．（3分）如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃～50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（ ）
A．加热4分钟时水温上升了75℃
B．加热5分钟时水沸腾
C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟
D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）已知 QUOTE ， QUOTE ，则 QUOTE ．
10．（3分）如果﹣2xay与3x4yb是同类项，则a+b为 ．
11．（3分）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是 ．
12．（3分）若一个扇形的半径为4，圆心角为30°，则此扇形的面积为 ．
13．（3分）一个n边形的每个外角都为40°，则n＝ ．
14．（3分）如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，若AB＝8，AC＝12，则BD边的长为 ．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）若x满足（3﹣4x）（2x﹣5） QUOTE ，求（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2的值．
16．（6分）学校组织春游，安排给九年级同学甲、乙、丙三辆车，小王与小叶都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．
（1）用树状图表示小王与小叶搭乘车所有可能的结果；
（2）求两人搭乘同一辆车的概率．
17．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2， QUOTE ，求证：▱ABCD是菱形．
18．（7分）某校准备购买同样台数的A型和B型图形计算器．已知A型图形计算器的单价比B型图形计算器的单价高50元，购买A型图形计算器花了22500元，购买B型图形计算器花了22000元．请你帮忙计算一下A，B两种图形计算器的单价各是多少．
19．（7分）（1）请你把图1，∠A＝24°，∠B＝48°．将其分割成两个等腰三角形，画出分割线，并在分割后的图中标注两个等腰三角形顶角的度数．
（2）在图2中画出一个△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为等腰三角形．
20．（7分）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取10名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a.10名男生的臂展与身高数据如表：
b.10名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表：
c.10名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成3组：160≤a＜165，165≤a＜170，170≤a＜175）；
d.10名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展y（cm）与身高x（cm）之间关联关系的直线l．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（2）该校九年级有男生240人，请估计其中臂展大于或等于170cm的男生人数；
（3）图②中直线l近似的函数关系式为y＝1.2x﹣40，根据直线l反映的趋势，请估计身高为185cm男生的臂展长度．
21．（8分）2025年5月25日，新疆维吾尔自治区旅游发展大会在阿克苏地区库车市召开．借此机遇，库车市龟兹小巷某文创商店特推出A，B两款冰箱贴，每件A款冰箱贴的利润比每件B款冰箱贴的利润多2元，销售20件A款冰箱贴和销售30件B款冰箱贴的利润一共是440元．
（1）求A，B两款冰箱贴每件的利润分别是多少？
（2）若该商店计划购进A，B两款冰箱贴共200个进行销售，其中A款冰箱贴的数量不超过B款冰箱贴数量的 QUOTE ，商店购进A，B两款冰箱贴各多少个，才能使销售完这批冰箱贴获得最大利润？最大利润是多少？
22．（9分）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径．
（1）如图1，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OD交BC于点H．①求证：OD∥AC．
②若DH＝2，BC＝8，劣弧BD的长度为 QUOTE π，
（i）求⊙O的半径．
（ii）求∠BAC的度数．
（iii）若DQ是⊙O的一条弦（不是直径），过点Q作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若PQ∥AD，求∠ODQ的度数．
（2）如图2，延长BA到点E，使EA＝OA，延长BC到点F，且AF⊥AB，AF与CE交于点M，若FM＝CM．
①求证：CE是⊙O的切线．
②若AF＝2，求阴影部分的面积．
23．（10分）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
【问题原型】已知x为正实数，求 QUOTE 的最小值．
【问题探究】通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图1，AB＝4，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连结CE，DE，设AE＝x，则BE＝4﹣x．
①用含x的代数式表示CE＝ ，则 QUOTE 可用图中线段 表示；
②据此写出 QUOTE 的最小值是 ；
③请结合上述探究过程，在图1已知条件的基础上，用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出线段EF，使得 QUOTE ，并结合作图求出 QUOTE 的最小值．（保留作图过程）
【问题解决】已知x为正实数，则 QUOTE 的最小值为 ．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣1．
（1）若该抛物线与x轴有交点，求实数m的取值范围；
（2）当m＝6时，若该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）．
①求A，B两点的坐标；
②若该抛物线的顶点为D，且与y轴的交点为C，试判断△BCD是否是直角三角形，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【考点】正数和负数
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
解：“正”和“负”相对，所以，如果把收入5元记作+5元，那么支出6元记作﹣6元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．【考点】认识立体图形
【分析】根据翻滚的方向和度数得出底面上留下的痕迹数字即可．
解：第1次向右翻滚90°底面上留下的痕迹是4，再按相同的方向翻滚90°底面上留下的痕迹依次是1、3、2，
故选：C．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握正方体的形体特征是正确解答的关键．
3．【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则分别计算判断即可．
解：A、a3+a3＝2a3，故此选项不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项不符合题意；
D、a3•a3＝a6，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．【考点】不等式的解集
【分析】根据不等式解集的定义进行解答即可．
解：在﹣5.8，﹣2，1，﹣3这四个数中，是不等式x＜﹣3的解的是﹣5.8，共1个，
故选：A．
【点评】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的定义是正确解答的关键．
5．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】根据题意可得四边形ABCE是矩形，AE＝BC＝9m，然后分别在Rt△AEC和Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出CE和DE的长，最后利用线段的和差，即可解答．
解，如图：
由题意得：四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝9m，
由条件可知CE＝AE•tan30°＝3 QUOTE （m），
在Rt△AED中，∠EAD＝α＝45°，
∴DE＝AE•tan45°＝9m，
∴ QUOTE ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．
6．【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】直线与x轴的交点纵坐标为0，将点（2，0）代入直线方程即可求解m的值．
解：由条件可得：0＝3×2﹣2m，
解得m＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
7．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点E作EH⊥DB于点H，再求得 QUOTE 、 QUOTE ，然后运用正弦的定义即可解答．
解：∵将△DAE沿直线DE折叠，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADE＝∠DEA＝45°，
故选项A正确，不符合题意；
∴AD＝AE＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
∵将△DAE沿直线DE折叠，
∴∠DEA＝∠DEF＝45°，AE＝EF＝4，AD＝DF＝4，
∴∠AEF＝90°，
∴AD∥EF，
∴△BME∽△BDA，
∴ QUOTE ，
故选项B正确，不符合题意；
∵AB∥CD，
∴ QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴FG＝GM＝EM，
故选项C正确，不符合题意；
如图，过点E作EH⊥DB于点H，
∵AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，
∴ QUOTE ，
∵AD＝4，AB＝6，∠DAE＝90°，
∴ QUOTE ，
∵ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定成为解题的关键．
8．【考点】反比例函数的应用
【分析】A．根据图象计算即可；
B．写出加热时y与x的函数关系式，当y＝100时求出对应x的值即可；
C．用待定系数法求出将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式，当y＝40时求出对应x的值，再减去时y＝100时对应x的值即可；
D．分别将y＝50，y＝30代入将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式，求出对应x的值即可．
解：加热4分钟时水温上升了75﹣25＝50（℃），
∴A不正确，不符合题意；
加热时每分钟上升的温度为50÷4＝12.5（℃），
∴加热时y与x的函数关系式为y＝25+12.5x，
当25+12.5x＝100时，解得x＝6，
∴加热6分钟时水沸腾，
∴B不正确，不符合题意；
设将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式为y QUOTE （k为常数，且k≠0），
将坐标（6，100）代入y QUOTE ，
得100 QUOTE ，
解得k＝600，
∴y QUOTE ，
当y＝40时，得40 QUOTE ，
解得x＝15，
15﹣6＝9（分钟），
∴若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，
∴C不正确，不符合题意；
当y＝50时，得50 QUOTE ，
解得x＝12，
当y＝30时，得30 QUOTE ，
解得x＝20，
∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．【考点】立方根
【分析】根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可．
解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位可知：
∵ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
故答案为：19.02．
【点评】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握该知识点是关键．
10．【考点】同类项
【分析】根据同类项的定义直接得出a、b的值．
解：由同类项的定义可知a＝4，b＝1，
∴a+b＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
11．【考点】代数式求值
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
解：当x2+2y＝2时，原式＝3（x2+2y）﹣1＝3×2﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
12．【考点】扇形面积的计算
【分析】根据扇形面积的计算公式直接解答即可．
解：扇形面积为： QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是熟记扇形面积的计算公式即可．
13．【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的外角和等于360°，然后再根据已知一个n边形的每一个外角为40°，用360°除以40°，即可得出答案．
解：∵n边形的外角和等于360°，一个n边形的每个外角都为40°，
∴n的值为：360°÷40°＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
14．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质
【分析】在AC上取一点E，使得AB＝AE，根据SAS可证明△ABD≌△AED，进而得到∠EDC＝∠C，即ED＝EC即可求解．
解：如图，AD平分∠BAC，在AC上取一点E，使得AB＝AE，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△ABD和△AED中，
QUOTE ，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝ED，∠B＝∠AED，
又∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC+∠C，AB＝8，AC＝12，
∴∠EDC+∠C＝2∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC＝AC﹣AE＝12﹣8＝4，
∴BD＝ED＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】根据题意，设a＝3﹣4x，b＝2x﹣5，则知a+2b＝3﹣4x+2（2x﹣5）＝﹣7，把所求代数式转化为（a+2b）2﹣4ab，代值得到结果．
解：设a＝3﹣4x，b＝2x﹣5，
∴a+2b＝3﹣4x+2（2x﹣5）＝﹣7，
∵（3﹣4x）（2x﹣5） QUOTE ，
∴ab QUOTE ，
∴（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2
＝a2+4b2
＝a2+4ab+4b2﹣4ab
＝（a+2b）2﹣4ab
＝（﹣7）2﹣4 QUOTE
＝49﹣18
＝31．
【点评】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整体代入，换元法是解题的关键．
16．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】（1）根据题意画出树状图即可得到所有等可能的结果数．
（2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及两人搭乘同一辆车的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）画树状图如下：
由树状图可知，小王与小叶搭乘车所有可能的结果有9种．
（2）由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人搭乘同一辆车的结果有3种，
∴两人搭乘同一辆车的概率是 QUOTE ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17．【考点】菱形的判定；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质得到OC QUOTE AC＝3＝2，OB QUOTE BD＝1，根据勾股定理的逆定理得到∠BOC＝90°，根据菱形的判定定理得到结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC QUOTE AC＝3＝2，OB QUOTE BD＝1，
∵OB2+OC2＝12+22＝5＝BC2，
∴∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18．【考点】分式方程的应用
【分析】设A型计算器的单价是x元，则B型计算器的单价是（x﹣50）元，根据购买同样台数的A型和B型图形计算器，购买A型图形计算器花了22500元，购买B型图形计算器花了22000元，列出分式方程，解方程即可．
解：设A型计算器的单价是x元，则B型计算器的单价是（x﹣50）元，
根据题意得： QUOTE ，
解得：x＝2250，
经检验：x＝2250是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣50＝2200，
答：A型计算器的单价是2250元，B型计算器的单价是2200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．【考点】作图—应用与设计作图
【分析】（1）在线段AB上取一点E，使得AE＝EC，连接EC即可；
（2）作一个腰为5的等腰三角形即可．
解：（1）如图1中，线段CE即为所求；
（2）如图2中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20．【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；一次函数的应用
【分析】（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为 QUOTE ，再乘以总人数即可；
（3）把x＝185代入y＝1.2x﹣40，即可得到答案．
解：（1）由表格信息可得：m QUOTE 172.5，
臂展出现次数最多的是169，故众数n＝169．
故答案为：172.5，169；
（2）240 QUOTE 24（人）；
答：估计其中臂展大于或等于170cm的男生人数为24人；
（3）∵y＝1.2x﹣40，
当x＝185时，y＝1.2×185﹣40＝182，
∴身高为185cm男生的臂展长度约为182cm．
【点评】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上性质是解题的关键．
21．【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设每件B款冰箱贴的利润为x元，则每件A款冰箱贴的利润为（x+2）元，根据销售20件A款冰箱贴和销售30件B款冰箱贴的利润一共是440元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每件B款冰箱贴的利润），再将其代入（x+2）中，即可求出每件A款冰箱贴的利润；
（2）设该商店购进m件A款冰箱贴，则购进（200﹣m）件B款冰箱贴，根据购进A款冰箱贴的数量不超过B款冰箱贴数量的 QUOTE ，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设销售完这批冰箱贴获得的总利润为w元，利用总利润＝10×购进A款冰箱贴的数量+8×购进B款冰箱贴的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设每件B款冰箱贴的利润为x元，则每件A款冰箱贴的利润为（x+2）元，
根据题意得：20（x+2）+30x＝440，
解得：x＝8，
∴x+2＝8+2＝10（元）．
答：每件A款冰箱贴的利润为10元，每件B款冰箱贴的利润为8元；
（2）设该商店购进m件A款冰箱贴，则购进（200﹣m）件B款冰箱贴，
根据题意得：m QUOTE （200﹣m），
解得：m≤80．
设销售完这批冰箱贴获得的总利润为w元，则w＝10m+8（200﹣m），
即w＝2m+1600，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝80时，w取得最大值，最大值为2×80+1600＝1760（元），此时200﹣m＝200﹣80＝120（件）．
答：当商店购进80件A款冰箱贴，120件B款冰箱贴时，才能使销售完这批冰箱贴获得最大利润，最大利润是1760元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式，
22．【考点】圆的综合题
【分析】（1）①根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠OAD，根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ADO，根据平行线的判定定理得到AC∥OD；
②（i）根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，求得 QUOTE ，根据垂径定理得到OD⊥BC，CH＝BH QUOTE BC＝4，根据勾股定理得到⊙O的半径为5；
（ii）设∠BOD＝n°，根据弧长公式和圆周角定理得到结论；
（iii）连接OQ并延长QO交AD于N，根据切线的性质得到NQ⊥PQ，根据平行线 到现在得到QN⊥AD，求得∠QOG＝∠AON＝66°，根据等腰三角形的性质得到∠ODQ＝∠OQD QUOTE （180°﹣114°）＝33°；
（2）①连接OC，根据余角的性质得到∠B+∠F＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠F＝∠FCM，∠B∠BCO，求得∠OCE＝90°，根据切线的判定定理得到CE是⊙O的切线；②根据直角三角形的性质得到∠E＝30°，根据三角形的内角和定理得到∠AOC＝60°，求得∠CAB＝60°，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠F＝60°，求得CF QUOTE AF＝1，AC QUOTE AF QUOTE ，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
（1）①证明：∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD；
②解：（i）∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴ QUOTE ，
∴OD⊥BC，CH＝BH QUOTE BC＝4，
∵OH2+BH2＝OB2，
∴（OB﹣2）2+42＝OB2，
∴OB＝5，
∴⊙O的半径为5；
（ii）设∠BOD＝n°，
∵OB＝5，劣弧BD的长度为 QUOTE π，
∴ QUOTE π，
∴n＝48，
∴∠BOD＝48°，
∵∠CAB＝2∠DAB，∠DOB＝2∠DAB，
∴∠BAC＝∠BOD＝48°；
（iii）连接OQ并延长QO交AD于N，
∵PQ是⊙O的切线，
∴NQ⊥PQ，
∵PQ∥AD，
∴QN⊥AD，
∵OA＝OD，
∴∠AON QUOTE （180°﹣∠DOB） QUOTE 66°，
∴∠QOG＝∠AON＝66°，
∴∠DOQ＝∠DOB+∠QOG＝48°+66°＝114°，
∵OD＝OG，
∴∠ODQ＝∠OQD QUOTE （180°﹣114°）＝33°；
（2）①证明：连接OC，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠B+∠F＝90°，
∵FM＝CM，
∴∠F＝∠FCM，
∵OC＝OB，
∴∠B∠BCO，
∴∠FCM+∠BCO＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；②解：∵EA＝OA＝OC，
∴OC QUOTE OE，
∵∠OCE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵∠BAF＝90°，
∴∠F＝60°，
∵AF＝2，
∴CF QUOTE AF＝1，AC QUOTE AF QUOTE ，
∴AO＝AC QUOTE ，
∴阴影部分的面积＝S△ACF+S△AOC﹣S扇形AOC QUOTE 1 QUOTE ．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．【考点】三角形综合题
【分析】【问题探究】①根据勾股定理解答即可；
②利用三角形三边的关系得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，易得四边形ABDH为长方形，利用勾股定理计算出CD＝5，从而得到结论；
③作BD⊥AB，作∠ABD的平分线BM，过点E作EF⊥BM于点F，则△EBF是等腰直角三角形，设AE＝x，则BE＝4﹣x， QUOTE ，延长CA交BM于点H，过点C作CN⊥BM于点N，则可得△AHB是等腰直角三角形，△CNH是等腰直角三角形，CH＝1+4＝5，可得 QUOTE ，由CE+EF≥CN，当C、E、F在同一条直线时，CE+EF的值最小，为CN，即CE+EF的最小值；
【问题解决】作 QUOTE ，AC＝2，AC⊥AB，在AB上取一点E，使AE＝x，则 QUOTE ，作∠ABD＝30°，过点E作EF⊥BD于点F，根据题意求出CE，延长CA交BD于点H，过点C作CD⊥BD于点D，求出CD即可解答．
解：【问题探究】①在Rt△ACE中， QUOTE ；
∵AB＝4，AE＝x，
∴BE＝4﹣x，
又∵BD＝2，
在Rt△BDE中， QUOTE ，
故答案为： QUOTE ；DE；
②如图，连接CD，
由①得 QUOTE ，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
则四边形ABDH为长方形，
∴AH＝BD＝2，DH＝AB＝4， QUOTE ，
∵CE+DE的最小值为5，
即 QUOTE 的最小值是5；
故答案为：5；
③作BD⊥AB，作∠ABD的平分线BM，过点E作EF⊥BM于点F，则△EBF是等腰直角三角形，如图，
设AE＝x，则BE＝4﹣x， QUOTE ，
延长CA交BM于点H，过点C作CN⊥BM于点N，
∵∠ABH＝45°，∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝45°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝CA+AH＝1+4＝5，
又∵∠CNH＝90°，∠AHB＝45°，
∴∠HCN＝45°，
∴△CNH是等腰直角三角形，
∴CN＝HN，
∴CN2+HN2＝CH2，
∴ QUOTE ，
又∵CE+EF≥CN，
当C、E、F在同一条直线时，CE+EF的值最小，为CN，
即 QUOTE 的最小值为 QUOTE ；
【问题解决】如图，作 QUOTE ，AC＝2，AC⊥AB，在AB上取一点E，使AE＝x，则 QUOTE ，作∠ABD＝30°，过点E作EF⊥BD于点F，
则 QUOTE ，
在Rt△ACE中， QUOTE ，
延长CA交BD于点H，过点C作CD⊥BD于点D，
∵∠ABH＝30°，∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝60°，BH＝2AH，
∴BH2﹣AH2＝AB2，
∴4AH2﹣AH2＝12，
∴AH＝2，
∴CH＝AC+AH＝2+2＝4，
∵∠CDH＝90°，∠AHB＝60°，
∴∠HCD＝30°，
∴HD QUOTE CH＝2，
∴CD QUOTE 2 QUOTE ，
又∵CE+EF≥CD，
当C、E、F在同一条直线时，CE+EF的值最小，为CD，
即 QUOTE 的最小值为2 QUOTE ，
故答案为：2 QUOTE ．
【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理，三角形三边关系，等腰直角三角形，矩形的判定与性质，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）先得到关于x的一元二次方程﹣x2+4x+m﹣1＝0有实数根，得到Δ＝42﹣4×（﹣1）×（m﹣1）≥0，求解即可．
（2）当m＝6时，y＝﹣x2+4x+5，
①令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，求出x1＝﹣1，x2＝5，即可解答；
②先求出点C的坐标为（0，5），抛物线的顶点D的坐标为（2，9），再分别求出BC2，CD2，BD2，根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
解：（1）∵该抛物线与x轴有交点，
∴﹣x2+4x+m﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝42﹣4×（﹣1）×（m﹣1）≥0，
解得m≥﹣3．
（2）当m＝6时，y＝﹣x2+4x+5，
①令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，
∵点A在点B的左侧，
∴点B的坐标为（5，0），点A的坐标为（﹣1，0）；
②△BCD不是直角三角形．理由如下：
当x＝0时，y＝5，
∴点C的坐标为（0，5），
又y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D的坐标为（2，9）．
∵BD2＝（5﹣2）2+（0﹣9）2＝90，BC2＝（0﹣5）2+（5﹣0）2＝50，
CD2＝（0﹣2）2+（5﹣9）2＝20，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴△BCD不是直角三角形．
【点评】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定，掌握二次函数图象的性质是解题的关键
题号
一
二
三
总分
得分
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高/cm
166
169
169
171
172
173
173
174
174
174
臂展/cm
161
162
163
166
164
165
168
169
169
170
平均数
中位数
众数
身高/cm
171.5
m
174
臂展/cm
165.7
165.5
n