2024年福建省中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年福建省中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，最小的数是( )
A. −2B. 0C. 12D. 2
2.如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿29.47万亩，使得湿地生态环境状况持续向好.其中数据29.47万用科学记数法表示为( )
A. 0.2947×106B. 2.947×104C. 2.947×105D. 29.47×104
4.在平面直角坐标系中，点A(1,2)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.下列运算正确的是( )
A. (3xy)2=9x2y2B. (y3)2=y5C. x2⋅x2=2x2D. x6÷x2=x3
6.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程( )
A. x+(1+x)=36B. 2(1+x)=36
C. 1+x+x(1+x)=36D. 1+x+x2=36
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD.下列说法错误的是( )
A. 直线PQ是AC的垂直平分线
B. CD=12AB
C. DE=12BC
D. S△ADE：S四边形DBCE=1：4
8.下列说法正确的是( )
A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0.4，s乙2=2，则乙组数据比甲组数据稳定
9.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC= 2a，AB=b，AB的最大仰角为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是( )
A. a+bcsα
B. a+bsinα
C. a+bcsα
D. a+bsinα
10.已知二次函数y=ax2−4ax(a是常数，a<0)的图象上有A(m,y1)和B(2m,y2)两点.若点A，B都在直线y=−3a的上方，且y1>y2，则m的取值范围是( )
A. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作______℃.
12.在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC=10cm，则DE的长为______cm．
13.如图，在平行四边形ABCD(AB14.某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：
则这12名队员年龄的中位数是______岁.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为______．
16.下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB=90°(AC
(1)若cs∠ABC=34，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为______．
(2)若PQBQ=1915，则BKAK= ______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：−14+|1− 2|−(π−3.14)0．
18.(本小题8分)
解不等式组：2(x+3)≥8①x19.(本小题8分)
如图，已知AB=DE，AC=DC，CE=CB.求证：∠1=∠2．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：
(x2−1x2−2x+1−1x−1)÷3x−1，其中x=(12)−1+(−3)0．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点E．
(1)求证：∠DCE=∠DBC；
(2)若AB=2，CE=3，求⊙O的半径．
22.(本小题10分)
首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高(单位：cm)数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表(不完整)．
根据以上信息回答：
(1)这次被调查身高的志愿者有______人，表中的m= ______，扇形统计图中α的度数是______；
(2)若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长.请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
23.(本小题10分)
视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“
”形图都是正方形结构，同一行的“
”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．

24.(本小题13分)
已知：y关于x的函数y=(a−2)x2+(a+1)x+b．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是______；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A(−2,0)，B(4,0)，并与动直线l：x=m(0①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1−S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
25.(本小题13分)
如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点(0(1)求证：GE=GF．
(2)当AE=2DG时，求AE的长．
(3)令AE=a，DG=b．
①求证：(4−a)(4−b)=4．
②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K.记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a=1时，求S1S2的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：正数大于零，零大于负数，得−2<0<12<2，
故选：A．
根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数．
2.【答案】D
【解析】解：该直口杯的主视图为．
故选：D．
根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3.【答案】C
【解析】解：29.47万=294700=2.947×105，
故选：C．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(1,2)的横坐标和纵坐标均为正数，
∴点A(1,2)在第一象限．
故选：A．
根据点A(1,2)横坐标和纵坐标的符号即可判断点A所在的象限．
此题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标的特征是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A.(3xy)2=9x2y2，故此选项符合题意；
B.(y3)2=y6，故此选项不合题意；
C.x2⋅x2=x4，故此选项不合题意；
D.x6÷x2=x4，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：1+x+x(1+x)=36，
故选：C．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，
∴DA=DC，AE=EC，
∴∠A=∠DCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠B=∠DCB，
∴DB=DC，
∴AD=DB，
∴CD=12AB，故选项B正确，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=12BC，故选项C正确，
故选：D．
根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：A.检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故此选项不合题意；
B.任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故此选项不合题意；
C.数据4，9，5，7的中位数是：(5+7)÷2=6，故此选项符合题意；
D.甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0.4，s乙2=2，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用中位数求法以及方差的意义、随机事件的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了中位数以及方差、随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF=AB⋅sinα=bsinα，
在Rt△BCG中，BG=BC⋅sin45°= 2a× 22=a，
∴点A到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsinα，
故选：D．
过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF=bsinα，BG=a，根据点A到桌面的最大高度=BG+AF，即可求得答案
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
根据已知条件列不等式即可得到结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确地列出不等式是解题的关键．
【解答】
解：∵a<0，
∴y=−3a>0，
∵A(m,y1)和B(2m,y2)两点都在直线y=−3a的上方，且y1>y2，
∴4am2−8am>−3a，
∴4m2−8m+3<0，
∴12∵二次函数y=ax2−4ax(a是常数，a<0)的图象上有A(m,y1)和B(2m,y2)两点．
∴am2−4am>4am2−8am，
∴3am2<4am，
∵a<0，m>0，
∴am<0，
∴m>43②，
由①②得43故选：C．
11.【答案】−2
【解析】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升3℃，记作+3℃，
温度下降2℃记作−2℃，
故答案为：−2．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12.【答案】5
【解析】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点，BC=10cm，
∴DE=12BC=5cm，
故答案为：5．
由三角形中位线定理可直接求解．
本题考查了三角形中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．
13.【答案】30
【解析】解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠EAB=∠EAD=12∠BAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°−120°=60°，
∴∠EAD=12∠BAD=30°．
故答案为：30．
先利用基本作图得到∠EAB=∠EAD=12∠BAD，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD=180°−∠B=60°，从而得到∠EAD=30°．
本题考查了尺规作图−作一个角的平分线：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，基本尺规作图的识别，也考查了平行四边形的性质．
14.【答案】19
【解析】解：观察统计表可知：共12名队员，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是19岁．
故答案为：19．
根据中位数的定义求解．
本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
15.【答案】 3π
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AC=3 3，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，
∴CB=CD，∠BCD=∠ACE，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠ACE=60°，
∴点A的运动路径的长为60⋅π⋅3 3180= 3π，
故答案为： 3π.
由直角三角形的性质可求AC=3 3，由旋转的性质可求CB=CD，∠BCD=∠ACE，可证△BCD是等边三角形，可得∠BCD=∠ACE=60°，由弧长公式可求解．
本题考查了轨迹，旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，求出旋转角是解题的关键．
16.【答案】9 259
【解析】解：(1)在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
∵CT/​/AB，
∴∠ABC=∠BCT，
∵cs∠ABC=34，
∴cs∠BCT=34，即CTBC=34，
∴CT=34BC，
∵∠ACM=90°−∠BCM=∠ABC，
∴cs∠ACM=cs∠ABC=34，即CMAC=34，
∴CM=34AC，
∴CT⋅CM=34BC⋅34AC=916BC⋅AC，
∵△ABC的面积为16，
∴12BC⋅AC=16，
∴BC⋅AC=32，
∴CT⋅CM=18，
∴纸片Ⅲ的面积为12CT⋅BT=12CT⋅CM=9；
故答案为：9；
(2)如图：
∵PQBQ=1915，
∴NTBT=1915，
设NT=19t，则BT=15t，BN=34t，
∵∠FBN=90°−∠CBN=∠BCW，BF=BC，∠BFN=∠CBW=90°，
∴△BFN≌△CBW(ASA)，
∴BN=CW=34t，
∵∠BCT=∠WBT，∠BTC=∠WTB=90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴BTWT=CTBT，
∴CT⋅WT=BT2，
∴CT⋅(34t−CT)=(15t)2，
解得CT=9t或CT=25t，
当CT=9t时，WT=25t，这情况不符合题意，舍去；
当CT=25t时，WT=9t，
而BK=CT，AK=WT，
∴BKAK=259．
故答案为：259．
(1)在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cs∠ABC=34，可得CT=34BC，CM=34AC，故CT⋅CM=34BC⋅34AC=916BC⋅AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为12CT⋅BT=12CT⋅CM=9；
(2)标识字母如图，设NT=19t，证明△BFN≌△CBW(ASA)，可得BN=CW=34t，由△BCT∽△WBT，有CT⋅WT=BT2，即CT⋅(34t−CT)=(15t)2，可得CT=9t或CT=25t，而BK=CT，AK=WT，即可得到答案．
本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
17.【答案】解：原式=−1+( 2−1)−1
=−1+ 2−1−1
= 2−3．
【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：解不等式①，得x≥1；
解不等式②，得x<4．
∴原不等式组的解集为1≤x<4．
【解析】先分别解两个不等式得到 x≥1和x<4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，能找到不等式组的解集是解题的关键．
19.【答案】证明：在△ABC和△DEC中，
AB=DEAC=DCCB=CE，
∴△ABC≌△DEC(SSS)，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，
∴∠1=∠2．
【解析】先由题意可证△ABC≌△DEC，可得∠ACB=∠DCE，再根据等式的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
20.【答案】解：原式=[(x+1)(x−1)(x−1)2−1x−1]×x−13
=(x+1x−1−1x−1)×x−13
=xx−1×x−13
=x3；
∵x=(12)−1+(−3)0=2+1=3，
∴原式=33=1．
【解析】先算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，能进行分式的通分和约分．
21.【答案】(1)证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°．
∵CE为⊙O的切线，
∴CE⊥BC，
∴∠BCE=90°．
∵∠DCE+∠BCD=90°，∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠DCE=∠DBC；
(2)解：∵∠ABC+∠BCE=90°+90°=180°，
∴AB//CE，
∴∠A=∠DCE，
∵∠DCE=∠DBC，
∴∠A=∠DBC，
在Rt△ABC中，tanA=BCAB=BC2，
在Rt△BCE中，tan∠EBC=CEBC=3BC，
即BC2=3BC，
∴BC2=2×3=6，
∴BC= 6，
∴⊙O的半径为 62．
【解析】(1)先根据圆周角定理得到∠BDC=90°.再根据切线的性质得到∠BCE=90°.然后利用等角的余角相等得到∠DCE=∠DBC；
(2)先证明AB//CE得到∠A=∠DCE，则可证明∠A=∠DBC，利用正切的定义，在Rt△ABC中有tanA=BC2，在Rt△BCE中有tan∠EBC=3BC，所以BC2=3BC，然后求出BC的长，从而得到⊙O的半径．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
22.【答案】解：(1)20，6，54°
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，
∴P(刚好抽中两名女志愿者)=212=16．
【解析】解：(1)这次被调查身高的志愿者有：(3+2+5+4)÷(1−30%)=20(人)，
∴m=20×30%=6，
扇形统计图中α的度数是：360°×320=54°，
故答案为：20，6，54°；
(2)见答案．
(1)由A、B、D、E四组的人数除以所占百分比得出这次被调查身高的志愿者人数，即可解决问题；
(2)画树状图，求得有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：探究1：
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设n=kb(k≠0)，将其中一点(9,0.8)代入得：0.8=k9，
解得：k=7.2，
∴n=7.2b，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将n=1.2代入n=7.2b得：b=6；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm；
探究2：
∵n=1θ，
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0<θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得b1检测距离1=b2检测距离2，
由探究1知b1=6，
∴65=b23，
解得b2=185，
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为185mm．
【解析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得n=7.2b，将n=1.2代入n=7.2b得：b=6；
探究2：由n=1θ，知在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，故当n≥1.0时，0<θ≤1.0，即可得0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得65=b23，即可解得答案．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
24.【答案】解：(1)0或2或−14；
(2)①如图，设直线l与BC交于点F，抛物线过A(−2,0)，B(4,0)，
根据题意得2a+b=1020a+b=28，
解得a=1b=8，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+8，
当x=0时，y=8，
∴C(0,8)，
∵y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，点P为抛物线顶点，
∴P(1,9)，
∵B(4,0)，C(0,8)，
∴直线BC的解析式为y=−2x+8，
∴F(1,6)，
∴PF=9−6=3，
∴△PBC的面积=12OB⋅PF=12×4×3=6；
②S1−S2存在最大值，
理由：如图，设直线x=m交x轴于H，
由①得，OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P(m,−m2+2m+8)，
∴PH=−m2+2m+8，
∵OD//PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴AOAH=ODPH，
∴22+m=OD−m2+2m+8，
∴OD=8−2m，
∵S1−S2=S△PAB−S△AOD−S△OBC=6(−m2+2m+8)2−2(8−2m)2−4×82=−3m2+8m=−3(m−43)2+163，
∵−3<0，0∴当m=43时，S1−S2存在最大值，最大值为163．
【解析】解：(1)①当a−2=0时，即a=2时，
y关于x的函数解析式为y=3x+12，
此时y=3x+12与x轴的交点坐标为(−16,0)，
与y轴的交点坐标为(0,12)；
②当a−2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b=0，此时a=0，抛物线为y=−2x2+x．
当y=0时，−2x2+x=0，
解得x1=0，x2=12．
∴其图象与x轴的交点坐标为(0,0)(12,0)．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y=(a−2)x2+(a+1)x+b所对应的一元二次方程(a−2)x2+(a+1)x+b=0有两个相等实数根．
∴Δ=(a+1)2−4(a−2)×14a=0，
解得a=−14，
此时y=−94x2+34x−116，
当x=0时，y=−116，
∴与y轴的交点坐标为(0,−116)，
当y=0时，−94x2+34x−116=0，
解得x1=x2=16，
∴与x轴的交点坐标为(16,0)，
综上所述，若y关于x的函数y=(a−2)x2+(a+1)x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，−14，
故答案为：2或0或−14；
(2)①见答案；
②见答案．
(1)y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；
(2)①如图，设直线l与BC交于点F，待定系数法求得抛物线的解析式为y=−x2+2x+8，当x=0时，y=8，得到C(0,8)，P(1,9)，求得直线BC的解析式为y=−2x+8，得到F(1,6)，根据三角形的面积公式即可得到结论；
②如图，设直线x=m交x轴于H，由①得，OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P(m,−m2+2m+8)，得到PH=−m2+2m+8，根据相似三角形的性质得到OD=8−2m，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF；
(2)解：过G作GH⊥BC于H，如图：

设DG=x，则AE=2x，
∴GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，
∵∠GHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH=CD=AB=4，CH=DG=x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF=AE=2x，
∴FH=CF−CH=x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2=GF2，
∴x2+42=(8−3x)2，
解得x=3+ 3(此时AE大于AD，舍去)或x=3− 3，
∴AE=2x=6−2 3；
∴AE的长为6−2 3；
(3)①证明：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图：

∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA=OD，OQ=12AB=2，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°−∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴GQOQ=OQEQ，即GQ⋅EQ=OQ2，
∴GQ⋅EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴AQ=DQ=12AD=4，
∴EQ=AQ−AE=4−a，GQ=DQ−GD=4−b，
∴(4−a)(4−b)=4；
②解：连接B′D，OG，OB，如图：

∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴BF=B′F，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BF=DE，
∴B′F=DE，
同理OD=OB=OB′，
由(1)知GF=GE，
∴B′F−GF=DE−GE，即B′G=DG，
∵OG=OG，
∴△DOG≌△B′OG(SSS)，
∴∠ODG=∠OB′G，
∵DG=B′G，∠DGK=∠B′GH，
∴△DGK≌△B′GH(ASA)，
∴DK=B′H，GK=GH，
∴OD−DK=OB′−B′H，即OK=OH，
∵OG=OG，
∴△OGK≌△OGH(SSS)，
∴S△OGK=S△OGH，
∴S1=2S△OGK，
∴S1S2=2S△OGKS2，
∵∠EGF=∠DGB′，GE=GF，GD=GB′，
∴∠GEF=∠GFE=∠GDB′=∠GB′D，
∴EF//B′D，
∴△OKF∽△DKB′，△EGF∽△DGB′，
∴OKDK=OFB′D，
∵S△OGKS2=OKDK，
∴S1S2=2S△OGKS2=2OKDK=2OFB′D=EFB′D，
∵△EGF∽△DGB′，
∴EFB′D=GEGD，
当a=1时，由①知(4−1)×(4−b)=4，
∴b=83，
∴AE=1，DG=83，
∴GE=AD−AE−DG=133，
∴S1S2=EFB′D=GEGD=13383=138，
∴S1S2的值为138．
【解析】(1)由四边形ABCD是矩形，可得∠GEF=∠BFE，而四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，有∠BFE=∠GFE，故∠GEF=∠GFE，GE=GF；
(2)过G作GH⊥BC于H，设DG=x，可知AE=2x，GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，根据点O为矩形ABCD的对称中心，可得CF=AE=2x，故FH=CF−CH=x，在Rt△GFH中，x2+42=(8−3x)2，解得x的值从而可得AE的长为6−2 3；
(3)①过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，由点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，可得O为EF中点，OA=OD，OQ=12AB=2，证明△GOQ∽△OEQ，得GQOQ=OQEQ，即GQ⋅EQ=OQ2，故GQ⋅EQ=4，即可得(4−a)(4−b)=4；
②连接B′D，OG，OB，证明B′F=DE，OD=OB=OB′，可得△DOG≌△B′OG(SSS)，∠ODG=∠OB′G，从而△DGK≌△B′GH(ASA)，DK=B′H，GK=GH，即可证△OGK≌△OGH(SSS)，得S△OGK=S△OGH，有S1S2=2S△OGKS2，而∠EGF=∠DGB′，GE=GF，GD=GB′，知EF//B′D，可得△OKF∽△DKB′，△EGF∽△DGB′，得OKDK=OFB′D，S1S2=2S△OGKS2=2OKDK=2OFB′D=EFB′D，又△EGF∽△DGB′，有EFB′D=GEGD，当a=1时，b=83，即AE=1，DG=83，即可得S1S2=EFB′D=GEGD=13383=138．
本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．年龄/岁
18
19
20
21
22
人数
3
5
2
1
1
组别
身高分组
人数
A
155≤x<160
3
B
160≤x<165
2
C
165≤x<170
m
D
170≤x<175
5
E
175≤x<180
4
素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b(mm)，在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ.视力值n与分辨视角θ(分)的对应关系近似满足n=1θ(0.5≤θ≤10)．
探究2当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同．
探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．