2025年山东省济南市市中区中考数学二模质量检测试卷（原卷版＋解析版）

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第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列四个数中，比小的数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案．
【详解】有理数比较大小遵循：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值越大数值越小。＞，因此＜，只有 D 符合要求。
解：∵ 正数>0>负数，，
∴
∴，
∴比小的是．
故选：D．
2. 漏斗是一种通过重力将液体或颗粒导入小口容器的实用工具．日常用于灌装油、调料，实验室中分离液体或过滤，工业上则用于分装原料．如图是一种常用不锈钢漏斗，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何题的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可．
【详解】俯视图是从物体正上方观察得到的平面图形，漏斗上口为大圆、下口为小圆，呈现同心圆带中心实心点的样式，对应选项 C。
解：根据俯视图是从上往下看，可知不锈钢漏斗的俯视图是，
故选：C
3. 2025年清明假期，济南市为丰富假日文旅市场，策划推出10条精品赏花线路，让市民游客饱览春日风光，重点监测的30家景区共接待游客约1750000人次．将1750000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可．
【详解】科学记数法标准形式为＜，将 1750000 小数点左移 6 位得1.75×106。
解：将数1750000用科学记数法表示为．
故选：Ｂ．
4. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和公式，可得答案．
【详解】先求外角：180°−140°=40°，多边形外角和恒为360°，边数=360°÷40°=9。
解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
，
解得，
故选：B．
5. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据题意得到，，由此根据不等式的性质判断即可．
【详解】由a负b正可得：＞，a+b符号不确定，＜，∣a∣与∣b∣无法直接判定，仅 A 一定成立。
解：由题意得，，，
A.∵，
∴，
故选项A正确，符合题意；
B. ∵，
∴，
故选项B错误，不符合题意；
C. ∵，
∴，
故选项C错误，不符合题意；
D.∵，，
∴，
故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、单项式除以单项式，合并同类项，同底数幂相乘，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】A：非同类项不可合并；B：积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，运算正确；C：同底数幂相乘应为指数相加，计算错误；D：单项式除法结果错误。
7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】】由Δ=0列方程：b2−4ac=0，代入系数计算得k=−1。
8. “趵突泉”、“黑虎泉”、“珍珠泉”、“五龙潭”是济南市四个有代表性的旅游景点．若小明和小亮各自从这四个景点中随机选择一个景点游览，则他们选择的景点中有“趵突泉”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列举法求两步概率问题，涉及列表法求概率、简单概率公式等知识，先将题中景点量化，再列表，列举出所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可得到答案，熟练掌握列举法求概率的方法是解决问题的关键．
【详解】解：设“趵突泉”、“黑虎泉”、“珍珠泉”、“五龙潭”分别为，列表如下：
由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的景点中有“趵突泉”的结果有种，
他们选择的景点中有“趵突泉”的概率是，总等可能结果共 16 种，不含趵突泉的有 9 种，含趵突泉的有 7 种，概率为167​。
故选：D．
9. 如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查尺规作图——作线段，作垂直平分线，解直角三角形，等腰三角形的性质．
由作图可知，是的垂直平分线，在中，解直角三角形得到，，．过点D作于点H，设与的交点为G，在中，，由等腰三角形的性质得到，从而，在中，解直角三角形即可．
【详解】由作图知MN垂直平分BE，得FB=FE；在Rt△ABC中求边长，作垂线构造直角三角形，利用等腰三角形与三角函数求得AF=415​。
10. 定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距离．有下列结论：①是以为圆心，半径为1的圆，则在y轴上到的距离为1的点有2个；②若点B到函数图象的距离为1，则所有符合要求的点B都在函数或的图象上；③若点C在函数的图象上，则点C到函数图象的距离的最小值为；④已知，点D到函数的图象距离的最小值为，则a的值为或．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了点到图形的距离的这一定义的理解，涉及点到圆的距离的定义及计算，两一次函数图象间的距离，一次函数图像上的点与二次函数图像的距离的定义，理解定义，数形结合是正确解答此题的关键．
根据点到图形的距离的这一定义的理解，可得在y轴上到的距离为1的点有；共3个点；可判断①；求得点B到函数图象的距离为1时，直线为，直线为，可判断②错误；结合图像，求得点C在函数的图象上，点C到函数图象的距离的最小距离为，可得③正确；分抛物线开口向上、向下两种情况分别求解即可判断④，本题得解．
【详解】① y 轴上满足条件的点有 3 个，判断错误；② 距离为 1 的点轨迹并非所给直线，判断错误；③ 两反比例函数间最小距离计算正确；④ 抛物线距离求解结果错误，仅③正确。
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11. 要使分式有意义，则x的值可以是_______（写出一个符合要求的x的值）．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，代数式求值，理解分式有意义的条件是解答关键．
根据分式有意义的条件求出的取值范围，再取值范围内选一个的值代入进行计算求解．
【详解】分式有意义要求分母不为 0，即x=2，在取值范围内任选一数即可。
解：要使分式有意义，
则，
，
当时，．
故答案为：1（答案不唯一）．
12. 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可．
【详解】分式有意义要求分母不为 0，即x=2，在取值范围内任选一数即可。
解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4，
∴摸到黄球的概率是0.4，
∴黄球的个数为（个），
∴口袋中大约有红球（个），
故答案为：12．
13. 光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为_______°．
【答案】76
【解析】
【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解．
【详解】由反射定律知入射角等于反射角，结合平行线内错角相等，通过角度和差计算得结果。
解：，
，
由题意知，，
，
，
，
，
故答案为：76．
14. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为，货车、轿车与甲地的距离为，，图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．两车出发后第二次相距时，货车的行驶时间为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了，从函数图象获取信息，一次函数的应用，根据题意先分别求出解析式，解析式，再利用相距作减法列出一元一次方程，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键，
【详解】先求货车与轿车的函数解析式，分阶段列方程，第二次相距时用距离差列一元一次方程求解。
解：设解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴解析式为，
当时，，
∴，
∵轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，
∴轿车行驶需要，
∴，
设解析式，
将，代入得，
，解得：，
∴解析式为，
∵两车出发后第二次相距，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，在菱形中，，．点E、F分别是、边上的动点，且，以为边向右作等边，连接、、．当时，的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点，先证，再证四边形是矩形，利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】证▲ADE≌▲ABF，作多条垂线构造矩形与直角三角形，用 30° 角性质与勾股定理计算。
过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点，如图所示：
四边形是菱形，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴
∵，
∴，，，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，构造直角三角形和矩形是解题关键．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，平方根，绝对值，再计算加减法即可得到答案．
【详解】按运算顺序：先算特殊角三角函数、零指数幂、负指数幂、绝对值与算术平方根，再做乘除，最后加减合并。
解：
．
17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
【答案】，不等式组的正整数解为1，2，3
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大小，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定出不等式组的解集，再在解集范围内确定出所有正整数解．
【详解】分别解两个不等式，取公共解集，再从解集中筛选正整数。
解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
18. 如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、三角形全等的判定与性质．解题关键是利用菱形性质得到边和角的关系．
通过利用中位线定理证明得出对应角相等，再结合菱形角的性质进行等量代换．
【详解】菱形四边相等、对边平行，E、F 为中点可得中位线，推出线段平行与相等，进而证三角形全等或等腰，得到AG=FG。
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵E，F分别是边，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
19. 学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案．以下是数学兴趣小组提供的设计表．
请根据设计表提供的信息完成下列问题：
（1）求文化长廊的最大宽度的长；
（2）求文化长廊的最高点E到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
【答案】（1）文化长廊的最大宽度的长为；
（2）文化长廊的最高点E到地面的距离为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作延长线于H，证明四边形为矩形，得到，，即可求解
根据解直角三角形得到，再根据矩形的性质得到，得到，再根据解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
（1）最大宽度BD：构造矩形，用三角函数求直角边，相加得总宽度。
解：过点作延长线于H，如图：
∵，
∴，
在中，，
，
∵垂直平分垂直平分，，
∴四边形为矩形，
，，
∴，
∴，
答：文化长廊的最大宽度的长为；
【小问2详解】
（2）最高点 E 到地面距离：在双直角三角形中分步计算高度，求和后按要求近似取值。
解：中，，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
∴，
答：文化长廊的最高点E到地面的距离EF为．
20. 如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．掌握圆中直径所对圆周角为直角、等腰三角形等边对等角，以及利用勾股定理和相似三角形求线段长度等知识点是解题的关键．
（1）利用圆中边与角的等量关系，逐步进行角的等量代换，最终证明，证明是圆的切线．
（2）先利用勾股定理求出，再通过作辅助线，根据角的关系证明三角形相似，利用相似三角形性质求出，进而求出的长度．
【小问1详解】
（1）利用直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形角相等，代换推出AB⟂BD，证切线。
证明：，
，
，
，
，
，所对的弧是同弧，
．
是 的直径，
，
，
，
即，
是 的切线；
【小问2详解】
（2）勾股定理求直径，作垂线构造相似三角形，用相似比求线段长。
解：在中，，
，，
，
作，
，
，
，
，
，
∴，
，
，，
.
21. 为提升学生数学素养，接轨未来职业需求，某学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．竞赛结束后，数据整理发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．现从该校七、八年级中各随机抽取相同人数的学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（））．根据以下信息，解答问题：
七年级B组的数据（单位：分）如下：79，79，78，78，78，77，76，76，75，74，74，74，73，72，72，71．

（1）求随机抽取的七年级学生数；
（2）在七年级参赛学生成绩扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为 度；
（3）请补全七年级参赛学生成绩的频数直方图；
（4）抽取的七年级参赛学生成绩的中位数是 分；
（5）若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和880人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）40人 （2）54
（3）见解析 （4）78.5
（5）476人
【解析】
【分析】本题考查了样本估计总体，频数直方图，求扇形的圆心角，中位数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用C组的人数除以C组的占比，即可作答．
（2）运用A组的占比乘上，即可作答．
（3）七年级B组的人数为人，再求出D组的人数，然后补全频数直方图，即可作答．
（4）结合中位数的定义，先得中位数是排在第和位的位置，中位数是在B组，再结合B组的具体数值进行列式计算，即可作答．
（5）运用样本估计总体列式计算，即可作答．
【小问1详解】
（1）由 C 组人数与占比求总样本数。
解：（人）
答：随机抽取的七年级学生数为40人．
【小问2详解】
（2）A 组占比乘 360° 得圆心角度数。
解：，
故答案为：A组所对应的圆心角度数为度；
【小问3详解】
（3）算各组人数补全直方图。
解：∵七年级B组的数据（单位：分）如下：79，79，78，78，78，77，76，76，75，74，74，74，73，72，72，71．
∴七年级B组人数为人，
则七年级D组的人数为（人），
故补全七年级参赛学生成绩的频数直方图，如图所示：
【小问4详解】
（4）40 个数据中位数为第 20、21 位平均数，计算得 78.5。
解：由（1）得随机抽取的七年级学生数为40人，
∴中位数是排在第和位的位置，
由（2）的频数直方图，得，
故中位数是在B组中，
∴排在第和位的数分别是和，
∴，
故答案为：．
【小问5详解】
（5）用样本优秀率估算七、八年级优秀总人数。
解：规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和880人，
∴
（人）
答：成绩为优秀的学生总人数为476人．
22. 学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元．
（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
【答案】（1）A的单价50元，B的单价35元
（2）购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键．
（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据“购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元”列二元一次方程求解即可；
（2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买总费用w元，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可．
【小问1详解】
（1）列二元一次方程组求 A、B 单价。
解：设A的单价为x元，B的单价为y元．
根据题意得：，
解得，
答：A的单价50元，B的单价35元；
【小问2详解】
（2）设 A 奖品数量，列不等式求范围，构建总费用一次函数，由单调性求最小值。
解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元．
根据题意得：
解得
∴
∵，
∴w随m的增大而增大
当时，w取最小值，最小值为2005元．
答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元．
23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，点P在线段的延长线上，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，连接，当时，求点B的坐标；
（3）如图2，点为反比例函数上任意一点，过点作轴，垂足为D，过点D作，与反比例函数交于点E，令，求n的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入，可得，再进一步求解即可；
（2）设，可得，，，如图，过作于，则，求解，利用，可得，再进一步求解即可；
（3）作轴于，证明，可得，设，可得，结合，E都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可．
【小问1详解】
（1）交点代入正比例函数，再代入求反比例解析式。
解：将代入，
解得，
将代入，
解得，
∴；
【小问2详解】
（2）设点坐标，用面积关系列方程求交点。
解：设，
∵，
∴，，，
∴，，
∴；
如图，过作于，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去），经检验，符合题意；
∴；
【小问3详解】
（3）证三角形相似，设点坐标利用反比例函数性质列方程求解。
解：作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵
∴，，
，，
∴，
∵，E都在反比例函数图象上，
∴，，
∴，
解得（舍）或，
∴n的值为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标；
（3）如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1），顶点
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标．
（2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据分解求解即可．
（3）延长到点M，利用待定系数法求出的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，再证明，由相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
（1）待定系数法求解析式，配方得顶点坐标。
解：∵抛物线经过点，
∴
解得
∴抛物线
∴顶点
【小问2详解】
（2）分点 E 在 x 轴上、下方，用等角关系求直线解析式，联立抛物线求点。
解：如图，
∵
∴，
设直线的解析式为，将点D的坐标代入得：
，
∴直线的解析式为
联立，
解得：（舍）或
∴；
②∵
∴当时，
∴
∵
∴直线
如图，设交于点G
∵
∴，
设
解得
解得
设直线的解析式为，
则，
解得：
∴直线的解析式为，
联立
解得：（舍）或
∴；
【小问3详解】
（3）利用圆与切线性质，找∠CFB最大时点 F 位置。
解：延长到点M，
，，
∴设解析式为：
把代入，可得出，
∴的解析式为：，
当时，则，
∴，
∴，
根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
25. （1）如图1，已知，，，点D在边上，，，连接，．线段，的数量关系为 ；若，则 度；
（2）如图2，已知，，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线同侧，若，请判断和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知等边，，E为中点，D为边上一动点，连接，，F为内一点，连接，，，若，求的最小值．
【答案】（1）相等，110；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先根据，，，证明，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答．
（2）根据得，证明，结合三角形内角和性质列式整理得，
（3）延长至，使得，连接，，运用相似三角形的性质以及E为中点，，证明，结合为等边三角形，得，则是的中位线， ，所以，点F的轨迹为，在的优弧上取点，连接，过点作，运用解直角三角函数进行列式得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】
证三角形全等得线段相等，用内角和求角度。
证三角形相似，推导线段数量关系。
（3）构造辅助线与轨迹圆，用三点共线求最短路径。
解：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：相等，；
（2），理由如下：
∵，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）延长至，使得，连接，，
∵，
∴，，
∵E为中点，，
∴，，
∴，
∴，
由（2）得，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
取中点G，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴点F在的劣弧上运动，
在的优弧上取点，连接，过点作，
则四边形是圆内接四边形，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
则，
则，
即，
∴，
∴，
∴，
当A、F、O共线时，取得最小值．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
校园主题文化长廊设计表
设计图
相关数据
点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．其中，，，