2025年4月山东省济南市中考一模数学试题（原卷＋解析）

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本试卷共8页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2． 答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效．
一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项符合题目要求．
1. 9的算术平方根为（ ）
A. B. 3C. ﹣3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】算术平方根是指一个非负数的正的平方根，9 的正平方根为 3，因此答案选 B。
2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】沿一条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形为轴对称图形。选项 B 沿竖直中线折叠可完全重合，其余选项均不满足，故选 B。
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3. 地球上的海洋面积约为，用科学记数法将表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】科学记数法形式为a×10n（＜，n为整数），原数转化时小数点移动位数与n绝对值一致，本题对应形式为选项 C。
4. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是（ ）．
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解题的关键．设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”，列出方程，即可求解．
【详解】 多边形外角和恒为360°，内角和公式为(n−2)×180°。由题意内角和是外角和 2 倍，即(n−2)×180°=720°，解得n=6，为六边形。
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简分别进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
解析：
A：同类项才能合并，该项无法合并，错误；
B：积的乘方等于各因式乘方的积，运算正确；
C：同底数幂相除，底数不变指数相减，计算错误；
D：二次根式化简结果错误。
【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率．
画出树状图，用题意的情况数除以总的情况数即可．
详解】解：设三种文化为 A、B、C，两人选择的所有组合共 9 种，两人同选 B（荆楚文化）仅 1 种情况，概率为，故选：A．
7. 一元二次方程的一个根为0，则（ ）
A. 2B. C. 2或D. 2或1
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，把代入方程得，然后解方程即可，解题的关键是熟记方程的解和熟练掌握解一元二次方程．
【详解】解：将x=0代入方程，得到关于参数的等式，求解可得参数值为 2 或 - 1。
8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性．由可知，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：反比例函数y=xk中k＞ 0，图象在一、三象限，且每个象限内y随x增大而减小。三点分属不同象限，据此可比较函数值大小。
9. 如图．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点． 作射线交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，． 若，， ，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图，菱形的判定和性质，平行成比例线段，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；
利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形，得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．
【详解】由作图可知AD平分∠BAC，MN垂直平分AD，可证四边形AEDF为菱形，再利用平行线分线段成比例定理，代入已知边长计算得结果。
10. 如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长至，使，连接，连接交于， 当、、三点共线时，最小，即最小，当运动到时，最小，由图得当时，，此时与重合，与重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【详解】通过构造平行四边形转化线段，找到PD+PE取最小值的位置，结合函数图象与勾股定理、矩形性质，计算出函数最低点的坐标。
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
当运动到时，最小，
由图得：当时，，
此时与重合，与重合，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
当时，
，
函数图象最低点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
第II卷 （非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案．
11. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
根据提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
提取多项式各项的公因式a，即可完成因式分解。
12. 分式方程的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母化为整式方程是解题的关键．
先去分母，化为一元二次方程，再求解，注意检验是否有增根即可．
【详解】方程两边同乘最简公分母化为整式方程，求解后检验，舍去增根，得到原方程的解。
解：
，
解得：，
经检验：是增根，舍去，是原方程的根，
∴原方程的根为：，
故答案为：．
13. 如图，直线分别交直线于点E，F，，与交于点P，且，，，则______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，先求出的度数，进而求出的度数，根据平行线的性质，求出的度数，根据，求出的度数，过点作，进而得到，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可．
【详解】先根据平行线性质求出相关角的度数，再作辅助线构造平行线，利用角的和差关系计算出∠APD。
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
14. 张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，分王亮提速前，王亮提速追上甲之前和王亮提速追上甲之后，三种情况列出方程进行求解即可．
【详解】分别计算两人不同阶段的速度，分相遇前、相遇后两种情况列方程，求解得到两人相距 100 米时的出发时间。
解：由图象可知：张华的速度为：；
王亮提速前的速度为：，提速后的速度为：；
王亮追上张华所用时间为：，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得；
当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：（舍去）；
综上：或；
故答案为：或．
15. 如图，在矩形纸片中，，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、的位置，则面积的最大值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，矩形的性质，翻折变换等知识，如图，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，可得结论，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】利用矩形中心对称性质，结合折叠特点，确定三角形面积最大时的点的位置，计算出最大面积。
解：如图，连接，交于点，过点作于点．
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
当，，共线时，的面积最大，最大值为．
故答案为：．
三． 解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，演算步骤．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本日考查了实数的混合运算，二次根式的运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】依次计算绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂，再按先乘除后加减的顺序计算，最终得出结果。
解：
．
17. 解不等式组并写出它的正整数解．
【答案】不等式组的解集为，正整数解为1，2，3，4
【解析】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定正整数解即可．
本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键．
【详解】分别求解两个不等式，取解集的公共部分，再从中找出所有正整数解。
解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
故原不等式组的解集为.
故正整数解为1，2，3，4.
18. 如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：．
【答案】证明过程见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论．
【详解】由平行四边形对边平行且相等，结合已知条件推出DE与BF平行且相等，证四边形DEBF为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分得结论。
证明∶ 四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
19. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）．
【答案】（1）
（2）
【解析】根据中点性质求出相关线段长，再在两个直角三角形中分别用三角函数计算高度，作差得到下降的高度。
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；
（1）过点作于点，在中，，代入数据即可求解；
（2）解：过点作于点，在中，得出，在中，得出，进而即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
则的长为5m．
【小问2详解】
解：过点作于点，
点为钢丝中点，
在中，
，
，
在中，，，
，
则下降的高度约为．
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．
（1）求证：OD⊥CE；
（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）解析：由切线性质得，等腰三角形三线合一得D为BC中点，结合中位线定理推出，进而证。（2）解析：连接EF，利用圆周角定理得直角，通过角度互余推导相等角，结合三角函数与勾股定理求边长，再由平行线分线段成比例求AE。
【分析】（1）⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，得到CE⊥AB，由等腰三角形的性质三线合一得到BD=DC，根据三角形的中位线的性质得到结论；
（2）连接EF，由CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，得到∠EFC=90°，又因为 CE⊥AB，得到∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，推出∠BEF=∠ECF，于是得到tan∠BEF=tan∠ECF，得到等积式，求得EF=2，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解．
【详解】解：（1）∵⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
又∵OE＝OC，
∴OD∥EB，
∴OD⊥CE；
（2）连接EF，
∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°．
∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°，
∴∠BEF＝∠ECF，
∴tan∠BEF＝tan∠ECF
∴，
又∵DF＝1，BD＝DC＝3，
∴BF＝2，FC＝4，
∴EF＝2，
∵∠EFC＝90°，
∴∠BFE＝90°，
由勾股定理，得，
∵EF∥AD，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角形函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21. 电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分．
数据共分成五组（电影评分用表示）：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
组的数据：
9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5．
：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的观众总人数；
（2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度；
（3）请补全频数直方图；
（4）抽取的观众对电影评价的中位数是 分；
（5）清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数．
【答案】（1）50 （2）72
（3）见详解 （4）9.3
（5）930
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图中的相关知识，中位数的定义以及样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据A组的人数以及占比即可得出抽取的观众总人数．
（2）用360度乘以C组人数的占比计算即可．
（3）先求出B组的人数，即可补全条形统计图．
（4）根据中位数的定义求解即可．
（5）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
用 A 组人数除以 A 组所占百分比，得到抽取的观众总人数。
解：（人）
则随机抽取的观众总人数为50人．
【小问2详解】
用360°乘以 C 组人数占比，得到 C 组对应扇形圆心角度数。
解：，
扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为72度．
小问3详解】
先计算 B 组人数，再补全频数直方图。
解：B组的人数有：（人）
补全条形统计图如下：
【小问4详解】
总人数为 50，中位数为第 25、26 个数据的平均数，结合分组数据计算得中位数。
解：∵一共有50名观众，
∴中位数位为第25，26名评分的中位数，且位于D组，
则中位数位：
【小问5详解】
用样本中优秀观众占比，估计总体 1500 人中优秀观众的数量。
解：（人）
则清明假期期间某电影院1500认为电影特别优秀的观众人数为930人．
22. 某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元．
（1）求与的函数表达式，并求出的取值范围；
（2）问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1），
（2）当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题．
（1）设组装A种道具x个，则B种道具个，根据“总费用种道具费用种道具费用”即可得出y与x的函数关系式；再根据题意列不等式组即可得出x的取值范围；
（2）根据（1）的结论，结合一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解析：设 A 道具x个，则 B 道具(80−x)个，根据总费用公式列出函数式；再结合材料数量限制列不等式组，求x的取值范围。
解：
．
根据题意，得
．
解得
∴的取值范围是．
【小问2详解】
根据一次函数的增减性，结合x的范围，确定费用最少时x的值，计算最少费用。
解：由（1）得
∵是的一次函数，且
∴随着的增大而增大．
∴当时，
答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）M点坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式。
（2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可；
（3）设，分两种情况讨论：当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，通过证明，确定点，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，同理可得：，确定点N的坐标，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标．
小问1详解】由面积相等推出点E在平行于AC的直线上，设点E坐标，代入反比例函数求解。
解：设直线的解析式为。
将点，点代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入中，
，
解得：，
，
将代入，
，
∴反比例函数解析式；
【小问2详解】由面积相等推出点E在平行于AC的直线上，设点E坐标，代入反比例函数求解。
解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，

∵，
，
，
∵的面积且与的面积相等，
∴E点在过D点且与平行的直线上，即，
，
设，
则

解得，（不合题意，舍去）
，
∴；
【小问3详解】设点M坐标，分顶点F、N在直线上两种情况，构造全等三角形表示对应点坐标，代入直线方程求解。
解：设，
如图，当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，
过点D作交于点H，

，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得，
如图，当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，

同理可得：，
，
，
，
解得：或，
点M在点D左侧，
，
综上所述：M点坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定及性质，属于反比例函数几何综合题，难度较大．
24. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到抛物线，将抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作轴的垂线交直线于点，以为边构造矩形．设的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，请直接写出的值或取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）当或或时，矩形与图象有三个公共点．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角函数，平移的性质，掌握函数的性质是解题的关键．
（1）利用平移的性质即可求解；
（2）连接，延长交轴于点，过点作交于点，过点作轴交点为，设，求出，得到点，求出直线解析式，联立函数式得到方程组，解方程组即可求解；
（3）利用函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析解答即可；
【小问1详解】根据旋转、平移的坐标变化规律，依次求出抛物线C2​、C3​的解析式。
解：∵抛物线是：绕原点顺时针旋转后得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线是向右平移4个单位，向上平移2个单位得到，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】构造直角三角形求角度相关点坐标，求直线解析式，联立二次函数方程求交点。
解：存在，使得，理由如下：
连接，延长交轴于点，过点作交于点，过点作轴交点为，如图：
∵抛物线的解析式为：，
∵点，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴在和中， ，
设，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴
∴，
∴点，
设直线的解析式为：，把，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线和抛物线上，联立得：
，
解得：，，
当时，，
当时，，
∴点或．
【小问3详解】根据矩形平移与函数图象的交点个数，数形结合分情况讨论t的取值。
解：①当点与原点重合时，即时，此时矩形不存在，
②当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点，如图：
∴当时，，
∴点，
∴当时，矩形与图象有三个公共点，
③当，矩形与图象只有二个公共点，
④由②中可知，当，矩形与图象有四个公共点，
⑤如图：当点在上时，矩形与图象有四个公共点，
设直线的解析式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则点，
∵点向上平移两个单位长度得到点，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∴把点代入得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
⑥当时，矩形与图象只有三个公共点，
⑦当时，矩形与图象只有二个公共点，
综上，当或或时，矩形与图象有三个公共点．
25. 如图，在中，，点E是斜边上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______．
【类比迁移】
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），；（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①，当时，的最小值为；②当时，为或．
【解析】
【分析】（1）先证明，，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论；
（2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论；
（3）①先证明四边形为正方形，如图，过B作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为，结合，再解方程可得答案．
【详解】（1）解析：证明三角形全等，得出CF与BE垂直且相等。（2）解析：证明三角形相似，推导CF与BE的位置和数量关系。（3）①解析：证四边形为正方形，分情况列出面积函数式，求二次函数最小值；②利用圆的性质与勾股定理，计算AE的长度。
解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点B与点D关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
如图，当时，
此时，
同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，
当时，的最小值为；
②如图，∵，正方形，记正方形的中心为，
∴，
连接，，，
∴，

∴在上，且，为直径，
∴，
过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面积为，
∴，
解得：，，经检验都符合题意，
如图，
综上：当时，为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
甲种材料（件）
乙种材料（件）
道具
3
4
道具
5
2