2022年山东省济南市市中区中考数学二模试卷

这是一份2022年山东省济南市市中区中考数学二模试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）国家主席习近平在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×107B．3.4×106C．3.4×105D．34×105
2．（4分）如图是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．60°C．50°D．40°
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝1B．a4+a3＝a7
C．（2a3）4＝8a12D．a4•a3＝a7
5．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C＝40°，则∠OBA的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
6．（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．35，2B．36，4C．35，3D．36，3
9．（4分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（ ）
A．47mB．51mC．53mD．54m
10．（4分）如果关于x的方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．B．且m≠1C．D．且m≠1
11．（4分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标（ ）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y＝﹣3x+3，l2：y＝﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：
①a﹣b+c＝0；②2a+b+c＝5；③抛物线关于直线x＝1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD＝5，
其中正确的个数有（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：2a2﹣8a+8＝ ．
14．（4分）不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是 ．
15．（4分）已知方程组，则x+y的值为 ．
16．（4分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是 ．
18．（4分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cs45°
20．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a＝2．
21．（6分）如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
22．（8分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
23．（8分）为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有 名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
24．（10分）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，
①求直线BD的解析式；
②求线段ED的长度．
25．（10分）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
26．（12分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，csA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+经过A（1，0），B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使S△ABM＝S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE＝BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF＝BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长．
山东省济南市市中区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）国家主席习近平在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×107B．3.4×106C．3.4×105D．34×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3400000用科学记数法表示为3.4×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（4分）如图是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个大正方形的左上角去掉一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3．（4分）如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．60°C．50°D．40°
【分析】根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠C＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解此题的关键．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝1B．a4+a3＝a7
C．（2a3）4＝8a12D．a4•a3＝a7
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a4÷a3＝a，故本选项错误；
B、a4+a3≠a7，不能合并；故本选项错误；
C、（2a3）4＝16a12，故本选项错误；
D、a4•a3＝a7，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．注意掌握指数的变化是解此题的关键．
5．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C＝40°，则∠OBA的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】由圆周角定理得出∠AOB＝80°，然后由OA＝OB，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，可求得∠OBA的度数．
【解答】解：∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，由①得，x≥﹣2；由②得，x＜1，
故此不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．
在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知解不等式组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
8．（4分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．35，2B．36，4C．35，3D．36，3
【分析】根据平均数的计算公式先求出编号3的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵这组数据的平均数是37，
∴编号3的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）＝36；
被遮盖的方差是：[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4；
故选：B．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
9．（4分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（ ）
A．47mB．51mC．53mD．54m
【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴BD＝AB＝60m，
∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30≈51（m）．
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
10．（4分）如果关于x的方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．B．且m≠1C．D．且m≠1
【分析】分类讨论：当m﹣1＝0时，方程为一元一次方程，有解；当m﹣1≠0时，根据判别式的意义得到△＝12﹣4×（m﹣1）×1≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况就看得到m的取值范围．
【解答】解：当m﹣1＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1；
当m﹣1≠0时，△＝12﹣4×（m﹣1）×1≥0，解得m≤且m≠1，
所以m的取值范围为m≤．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11．（4分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，则点A′的坐标（ ）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）
【分析】即求A点关于OB的对称点的坐标．通过解方程组求解．
【解答】解：∵tan∠BOC＝，∴OC＝2BC．
∵OC2+BC2＝OB2＝5，∴BC＝1，OC＝2．
所以A（1，0），B（1，2）．
直线OB方程：y﹣2＝2（x﹣1），
A′和A关于OB对称，假设A′（x0，y0），
AA'中点：x＝，y＝．在直线OBy﹣2＝2（x﹣1）上，
﹣2＝2（﹣1），y0＝2（x0+1）．
x02+y02＝OA'2＝OA2＝1，
x02+4（x0+1）2＝1，
5X02+8X0+3＝0．
X0＝﹣1或者﹣，
y0＝0或者．
x0＝﹣1，y0＝0不合题意，舍去．
所以A（﹣，）．
故选：C．
【点评】主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和翻折变换以及三角函数的运用．要熟练掌握才会灵活运用．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y＝﹣3x+3，l2：y＝﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：
①a﹣b+c＝0；②2a+b+c＝5；③抛物线关于直线x＝1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD＝5，
其中正确的个数有（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据直线l1的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E（﹣1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，进而判断各选项即可．
【解答】解：∵直线l1：y＝﹣3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（1，0），B（0，3），
∵点A、E关于y轴对称，
∴E（﹣1，0）．
∵直线l2：y＝﹣3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，
∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，
把y＝3代入y＝﹣3x+9，得3＝﹣3x+9，解得x＝2，
∴C（2，3）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，
∴，解得，
∴y＝﹣x2+2x+3．
①∵抛物线y＝ax2+bx+c过E（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故①正确；
②∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
∴2a+b+c＝﹣2+2+3＝3≠5，故②错误；
③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，
∴对称轴是直线x＝1，
∴抛物线关于直线x＝1对称，故③正确；
④∵b＝2，c＝3，抛物线过C（2，3）点，
∴抛物线过点（b，c），故④正确；
⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S四边形ABCD＝BC•OB＝2×3＝6≠5，故⑤错误．
综上可知，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的两点坐标特征，平行于x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：2a2﹣8a+8＝ 2（a﹣2）2 ．
【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：2a2﹣8a+8
＝2（a2﹣4a+4）
＝2（a﹣2）2．
故答案为：2（a﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
14．（4分）不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是 ．
【分析】画树状图列举出所有情况，看两次摸到球的颜色相同的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知共有9种等可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，
所以两次摸到球的颜色相同的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）已知方程组，则x+y的值为 3 ．
【分析】方程组两方程相加，即可求出x+y的值．
【解答】解：，
①+②得：3x+3y＝3（x+y）＝9，
则x+y＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（4分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影＝S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可．
【解答】解：过点O作OD⊥AB，
∵∠AOB＝120°，OA＝2，
∴∠OAD＝＝30°，
∴OD＝OA＝×2＝1，AD＝＝＝．
∴AB＝2AD＝2，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×2×1＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影＝S扇形OAB﹣S△AOB是解答此题的关键．
17．（4分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是 2≤k≤ ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．
【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y＝，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7，
，得x2﹣7x+k＝0
根据△≥0，得k≤，
又因为反比例函数经过点B时，k＝10，经过点C时，k＝6，
综上可知2≤k≤．
故答案为2≤k≤．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．
18．（4分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是 2﹣2 ．
【分析】根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AFD＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝2，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1＝∠2，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝DO＝AD＝2，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝2，
根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值＝OC﹣OF＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题关键，也是本题的难点．
三、解答题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cs45°
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣3+2﹣2+＝3﹣4．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a＝2．
【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝2（a﹣1）＝2a﹣2，
当a＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（6分）如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB＝∠EAD、∠AFD＝∠B，从而证得两个三角形全等，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中
∵
∴△ABE≌△DFA，
∴AB＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
22．（8分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
【分析】由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案
【解答】解：设裁掉的正方形的边长为xdm
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）＝12
即x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6（舍去）
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．
【点评】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键．
23．（8分）为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有 50 名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是 108 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
【分析】（1）由阅读中外名著本数为6本的有30人，占60%，可求得总人数；用阅读中外名著本数为7本的人数除以总人数得到其所占的百分比，再乘以360°，则可求得扇形的圆心角的度数；用总人数减去阅读本数为5、6、7本的人数，得到阅读本数为8本的人数，即可补全折线图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两名学生阅读的本数均为8的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）该班学生共有30÷60%＝50名，
圆心角的度数是15÷50×360°＝108°，
50﹣2﹣30﹣15＝3（人）
补全如图：
（2）因为阅读5本的有2人，阅读8本的有3人，所以可设A、B表示阅读5本的学生，C、D、E表示阅读8本的学生，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，抽得这两名学生阅读的本数均为8本的有6种情况，
∴P（两名学生都读8本）＝6÷20＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，
①求直线BD的解析式；
②求线段ED的长度．
【分析】（1）先求出AP，OP，再利用平行四边形的性质求出AB＝3，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）①联立方程组求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；
②先求出点E的坐标，进而求出DH，HE，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AP⊥x轴于点P，
则AP＝1，OP＝2．
又∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝3，
∴B（2，4）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过的B，
∴4＝．
∴k＝8．
∴反比例函数的关系式为y＝．
（2）①点A（2，1），
∴直线OA的解析式为y＝x（Ⅰ）．
∵点D在反比例y＝（Ⅱ）函数图象上，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或
∵点D在第一象限，
∴D（4，2）．
由B（2，4），点D（4，2），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+6．
②如图2，把y＝0代入y＝﹣x+6，解得x＝6．
∴E（6，0），
过点D作DH⊥x轴于H，
∵D（4，2），
∴DH＝2，
HE＝6﹣4＝2，
由勾股定理可得：ED＝＝2．
【点评】此题是反比例函数，主要考查了平行四边形的性质，待定系数法，勾股定理，解方程组，求出点D的坐标是解本题的关键．
25．（10分）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
【分析】（1）t＝0时，正方形的对角线为4，由此即可求出面积．
（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，由PE∥AB，可得 ＝，＝，解得x＝，再求出PC的长即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．求出PB2即可．②如图3中，当1＜t＜时，求出PB2即可．
（4）分三种情形讨论①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时．②当点P运动到点A时，满足条件，此时t＝1s．③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，分别求解即可．
【解答】解：（1）线段AB的“对角线正方形”如图所示：
（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，
∵PE∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴PE＝，CE＝4﹣＝，
∴PC＝＝，
∴t＝＝s；
（3）①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．
∵PC＝5t，则HC＝4t，PH＝3t，
在Rt△PHB中，PB2＝PH2+BH2＝（3t）2+（4﹣4t）2＝25t2﹣32t+16．
∴S＝PB2＝t2﹣16t+8．
②如图3中，当1＜t＜时，
∵PB＝8﹣5t，
∴S＝PB2＝t2﹣40t+32．
综上所述，S＝；
（4）①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时，易知AB＝AP＝3，PC＝2，∴t＝s．
②当点P运动到点A时，满足条件，此时t＝1s．
③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，作EH⊥BC于H．
易知EB平分∠ABC，
∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，OB＝EH＝EO＝BH＝＝1（直角三角形内切圆半径公式），
∴PB＝2OB＝2，
∴AP＝1，
∴t＝s，
综上所述，在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 s 或1s或 s；
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、角平分线的定义、勾股定理直角三角形的内切圆半径、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（12分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，csA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【分析】（1）先求出BC＝6，AB＝10，再判断出四边形DECF是矩形，即可用勾股定理求出EF；
（2）先判断出四边形DHCG是矩形，进而判断出△EDH∽△FDG，即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形得出比例式建立方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴，
∵AC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB边的中点，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝∠DEC＝90°，
∴，
∴AE＝4，
∴CE＝8﹣4＝4，
∵在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，
∴DE＝3，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF＝EC＝4，
∵在Rt△EDF中，DF2+DE2＝EF2，
∴EF＝5
（2）不变
如图2，
过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，
由（1）可得DH＝3，DG＝4，
∵DH⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DHC＝∠DGC＝90°
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DHCG是矩形，
∴∠HDG＝90°，
∵∠FDE＝90°，
∴∠HDG﹣∠HDF＝∠EDF﹣∠HDF，
即∠EDH＝∠FDG，
又∵∠DHE＝∠DGF＝90°
∴△EDH∽△FDG，
∴，
∵∠FDE＝90°，
∴，
（3）①当QF＝QC时，
∴∠QFC＝∠QCF，
∵∠EDF+∠ECF＝180°，
∴点D，E，C，F四点共圆，
∴∠ECQ＝∠DFE，∠DFE+∠QFC＝∠ECQ+∠QCF＝∠ACB＝90°，
即∠DFC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴，
∴，
②当FQ＝FC时，
∴∠BCD＝∠CQF，
∵点D是AB的中点，
∴BD＝CD＝AB＝5，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCQ，∠BDC＝∠CFQ，
∴△FQC∽△DCB，
由①知，点D，E，C，F四点共圆，
∴∠DEF＝∠DCF，
∵∠DQE＝∠FQC，
∴△FQC∽△DEQ，
即：△FQC∽△DEQ∽△DCB
∵在Rt△EDF中，，
∴设DE＝3k，则DF＝4k，EF＝5k，
∵∠DEF＝∠DCF＝∠CQF＝∠DQE，
∴DE＝DQ＝3k，
∴CQ＝5﹣3k，
∵△DEQ∽△DCB，
∴，
∴，
∴，
∵△FQC∽△DCB，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
③当CF＝CQ时，如图3，
∴∠BCD＝∠CQF，
由②知，CD＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵△EDQ∽△BDK，
在BC边上截取BK＝BD＝5，过点D作DH⊥BC于H，
∴DH＝AC＝4，BH＝BC＝3，由勾股定理得，
同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，
∴设DE＝3m，则EQ＝3m，EF＝5m，
∴FQ＝2m，
∵△EDQ∽△BDK，
∴，
∴DQ＝m，
∴CQ＝FC＝5﹣m，
∵△CQF∽△BDK，
∴，
∴，
解得m＝，
∴，
∴．
即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或或．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是判断出相似三角形得出比例式建立方程求解．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+经过A（1，0），B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使S△ABM＝S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE＝BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF＝BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长．
【分析】（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b方程组，解关于a、b的方程组求得a、b的值即可；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．依据等边三角形的性质可求得CK＝3，然后依据三角形的面积公式结合已知条件可求得S△ABM的面积，设M（a，a2﹣2a+），然后依据三角形的面积公式可得到关于a的方程，从而可得到点M的坐标；
（3）①首先证明△BEC≌△AFB，依据全等三角形的性质可知：AF＝BE，∠CBE＝∠BAF，然后通过等量代换可得到∠FAB+∠ABP＝∠ABP+∠CBE＝∠ABC＝60°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB；
②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为弦的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．先求得⊙M的半径，然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当AE＝BF时，点P在AB的垂直平分线上时，过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径＝CK的长．
【解答】解：（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得：，
解得：a＝，b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+．
（2）存在点M，使得S△ABM＝S△ABC．
理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠ACB＝60°．
∵CK⊥AB，
∴KA＝BK＝3，∠ACK＝30°．
∴CK＝3．
∴S△ABC＝AB•CK＝×6×3＝9．
∴S△ABM＝×9＝12．
设M（a，a2﹣2a+）．
∴AB•|y|＝12，即×6×（a2﹣2a+）＝12，
解得：a1＝9，a2＝﹣1．
∴点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）．
（3）①结论：AF＝BE，∠APB＝120°．
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB，∠C＝∠ABF．
在△BEC和△AFB中，
，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF＝BE，∠CBE＝∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP＝∠ABP+∠CBE＝∠ABC＝60°．
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°．
②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为弦的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．
∵∠APB＝120°，
∴∠N＝60°．
∴∠AMB＝120°．
又∵ME⊥AB，垂足为E，
∴AE＝BE＝3，∠AME＝60°．
∴AM＝2．
∴点P运动的路径＝＝．
当AE＝BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径＝CK的长．
∵AC＝6，∠CAK＝60°，
∴KC＝3．
∴点P运动的路径为3．
综上所述，点P运动的路径为3或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、扇形的弧长公式，判断出点P运动的轨迹生成的图形的形状是解题的关键．编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
编号
1
2
3
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5
方差
平均成绩
得分
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