山东省济南市东南片区2025年中考一模数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市东南片区2025年中考一模数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在这四个数中，最小的数是（ ）
A.B. C. D.
【答案】C
【解析】，
在这四个数中，最小的数是，
故选：C．
2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】．故选：A．
3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】俯视图是：
故选：D．
4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，由题意得，，
∵，∴，
∵，∴，
故选：.
5. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由数轴知：，，则，，
、B、D选项正确，C选项错误；故选：C．
6. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
7. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅分别为，
画树状图如下：
共有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有种，
两位同学选择同一个展厅的概率为，
故选：B．
8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ）
A. 6B. 12C. 16D. 24
【答案】D
【解析】在中，令，则，
令，则，，，，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，，，
，，
在与中，，
，，，
，，，
，设，，
，，，，
点，点在反比例函数图象上，
，，（不合题意舍去），
，，故选：D．
9. 如图，在中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接，再以点为圆心，以的长为半径作弧交射线于点，连接．若，则的长为（ ）
A. 2B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由题意得，直线垂直平分，，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
解得：（舍负），
∵，，∴，
∴，
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论：
①若点坐标为，则点的等和点在直线上；
②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为；
③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点：
④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】①设点，
，，，故①正确；
②设，，
，，，，故②正确；
③设，，，
点的等和点在直线上，
当时，直线解析式为，
而直线与直线平行，
点的等和点一定不在直线上，故③错误；
④设，，，
代入得，
即，
对于任意实数，二次函数的图象上总存在点的等和点；
故④正确；
故选：B ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．
【答案】
【解析】飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，击中阴影区域的概率是，
故答案为：．
12. 化简的结果为_______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
13. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°．
【答案】
【解析】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为，
∴它的一个外角．
14. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______．
【答案】
【解析】根据函数图象得，慧慧开始的速度为，
，聪聪的速度为，
，．
15. 如图，在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为_______．
【答案】
【解析】如图，延长与的延长线交于点，
∵，
∴，，∴，
由折叠可得：，，∴，
∴，
∵，∴，∴，而，，
∴，∴，∴.
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. 计算：．
解：
.
17. 解不等式组：，并求所有整数解的和．
解：，
解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，
所有整数解得和为．
18. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．

证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
即．
19. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是．
（1）求下折臂的长；
（2）求路灯的高．
（结果精确到，参考数据：）
解：（1）过点作于点，过点作于点，
由题意可得四边形是矩形，
，，
，．
在中，，
答：下折臂的长约为．
（2）过点作，垂足为．
，
．
，
．
，
，
由题意可得四边形是矩形，
，
在中，，
．
．
答：路灯的高约为．
20. 如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求线段的长．
（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21. 某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
乙试验田穗长的频数分布直方图
甲试验田穗长频数分布表（表1）
c．乙试验田穗长在这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4
．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中的值为___________，的值为___________；
（2）表2中的值为___________；
（3）在此次考查中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是___________；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是___________；
（4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计乙试验田所有“良好”的水稻约为多少万个？
解：（1）∵这一组对应的频率为，
∴，
∵这一组的频数为，
∴频率为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数，
故中位数为：，
故答案为：；
（3）由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，
因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲．
故答案为：甲，甲；
（4）甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个），
答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为3万个．
22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同．
（1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？
（2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？
解：（1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
，
答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元
（2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，
由题意得：，
解得，
为正整数，
，
答：最少购进品牌工具套装套．
23. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离；
（3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标．
解：（1）点在一次函数上，，
，一次函数的表达式为；
点在直线上，，．，
把代入得，解得：，
反比例函数的表达式为；
（2）法1：作轴交直线于点，
，，
，，．
法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，
连接，
与同底等高，，
，，，
；
（3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可知：，
，
轴，轴，，
，，
，，
点，为等腰直角三角形．
设，则，，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，，
解得：（不合题意，舍去），
当时，，点的坐标为．
24. 抛物线交x轴于，B两点（B在A右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长；
（3）如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标．
解：（1）抛物线过，
，解得：，
抛物线解析式为：.
（2）抛物线与轴交于，
令，则：，，
∵，∴，∴，
∴设直线的解析式为：，把代入得：，
解析式为：，
如图，过点作轴，垂足为，交于点，
，∴，
∵，，
又，，
，，
又，，
设，则，
，
解得：，，
，；
（3），
同（2）法可得：直线解析式为：，
由（2）知解析式为：，
设，
，，
设的解析式为：，把代入，得：，
解析式为：，，
中点为，
将代入，
得：，
解得：（舍），，．
25. （一）模型呈现
（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
解：（1），，
故答案为：
（2）四边形的周长为，，
，，
的周长为，，
，
，，
故答案为：；
（3）；理由如下，
，，
，，，
，
，，，
，，
，，；
（4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
在矩形中，，，，，
，，
，
，，
，
，，，
为等腰三角形，，
设，则，
，
，，，，
，
， ，
，，，，，
，，
∴，，
设，，
，，，
即，
，对称轴为直线，当时，，
即当时，．分组
频数
频率

4
0.08


14
0.28

11
0.22

0.20

2
合计
50
1.00
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
5.8
58
0.454
乙
5.924
w
6.5
0.608