2024年山东省济南市市中区中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
2. 据有关部门统计，2023年春节假期期间，济南累计接待游客人次，将数字用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：“两直线平行，同位角相等”．依据，即可得到，再根据，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．

4. 已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先观察数轴得到，，，然后根据不等式的基本性质、有理数的加法和乘法法则判断各个选项的正误即可．
【详解】解：观察数轴可知：，，，
，
，，，，
，，选项错误，选项正确，
故选：C．
5. 中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．以下四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此判定即可．
【详解】A．是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意 ；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方计算即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法、积的乘方运算法则．
7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数（）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内随的增大而减小，而点在第三象限双曲线上，则，进而判断，于是，，对的大小关系做出判断．
【详解】解：∵反比例函数（）的图象在一、三象限，
∴在每个象限内随的增大而减小，
∵点，在第一象限双曲线上，
∴，
∵点在第三象限双曲线上，
∴，
∴，
故选A．
8. 学校举办“校园好声音”比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，解答此题的关键是用树形法列举出所有可能的情况，再根据概率公式解答．列举出所有等可能的情况数，让选出的恰为一男一女的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中一男一女的情况有种，则选出的恰为一男一女的概率是．
故选：C．
9. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本作图得到垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质对选项进行判断；证明为的中位线，利用中位线的性质判定B选项；由， ，可计算出，则，可对C选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得垂直平分，，
，，，所以A选项正确，不符合题意；
，，
∴是的中位线，
，，所以B选项正确，不符合题意；
，
，
∵，
，
，
，
，所以C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
，，
，
，
，
设，，得，
解之得（负舍），
∴，
∴，
，
∴．
所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
10. 定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点A为抛物线上的动点，点B为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则b的值为（ ）
A. B. C. －1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，一元二次方程根的判别式，根据定义表示，并根据二次函数的性质确定最小值是解题的关键
根据定义表示出曼距，当A、B两点横坐标相等时，取得最小值，求解即可．
【详解】由题意得：设，，
∴，
当A、B两点横坐标相等时，取得最小值，
∴，
∵曼距的最小值为1；
∴，
解得：或，
∵抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：，
因此，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案．）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式：．
12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可．
【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右，
∴摸出红球的概率为，
∴袋子中红球的个数为（个），
∴ 袋子中黄球的个数为（个），
故答案是：15．
13. 代数式与代数式的值相等，则______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验是解题的关键．
【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
14. 如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发______h后，两人相遇．
【答案】2.1
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的性质以及求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出乙的速度，得出时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，列式作答，即可作答．
【详解】解：乙的速度：
∵乙在途中休息了后按原速度继续前进
∴设时，乙的函数解析式为
把代入
得
∴
∴时，乙的函数解析式为
依题意，设甲的函数解析式
把代入
得
∴
∴甲的函数解析式
∵两人相遇
∴
∴
解得
则出发后，两人相遇
故答案：
16. 如图，中，，，E，F分别为边上两点，连结，将沿翻折，A，B对应点分别为，，点C在直线上，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，解直角三角形．证明，四边形是矩形，求得，设，利用，列式计算求得，据此计算即可求解．
【详解】解：作于点，
根据折叠的性质得，，，，，
∵，
∴，四边形是矩形，
，，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算三角函数、平方根、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可．
【详解】解
原式
18. 解不等式组并写出该不等式组的整数解．
【答案】不等式组的解集为，整数解为，0，1
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴ 该不等式组的解集为：，
∴ 该不等式组的整数解为：，0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】解法一：由菱形的性质可得，结合可证，再证明即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明即可．
【详解】证明：解法一： ∵四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴
解法二： 连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在△ACE和△CAF中，
D
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
20. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
（1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点A到地面的距离；
（2）在（1）条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，结果精确到．）
【答案】（1）2.4m
（2）一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可顺利通过门口
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定；
（1）过点A作于点F，过点O作于点G ，证明四边形为矩形，得到．解，得到，则点A到地面的距离．
（2）方法1：当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离，作交于M，作，则四边形为矩形，解得到．则货车高度；
方法2：M为上一点，点M到地面的距离，作，则四边形为矩形，解中，得到．则点N到墙壁的距离货车宽度，综上，一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
【小问1详解】
解：如图所示，过点A作于点F，过点O作于点G
由题意得：，，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴．
在中，，
∴，
∴点A到地面距离．
【小问2详解】
解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
理由如下：
方法1
当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离，
作交于M，作，
又∵，
∴四边形为矩形，
在中，，，
∴．
∴货车高度，
综上，一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
方法2：
M为上一点，点M到地面的距离，作，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，．
∵，入口宽度．
∴点N到墙壁的距离货车宽度，
综上，一辆宽为、高为的货车可顺利通过门口．
21. 2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：，，，，，，，，，，，，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为______度；
（3）抽取的七年级的部分同学的成绩的中位数是______分；
（4）该校要对成绩为组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校名学生中获得一等奖的学生人数．
【答案】（1），见解析
（2）
（3）
（4）人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题的关键．
（1）由组的人数和所占百分比可求出总人数，利用总人数乘上组的百分比求出组的人数，即可补全统计图；
（2）乘以组人数所占的比例即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）总人数乘以样本中组人数的比例，再乘以一等奖人数所占的比例即可求解．
【小问1详解】
解：本次随机抽查的学生人数：（人），
组人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
【小问2详解】
解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：抽取的七年级的部分同学排在第和名的成绩分别为和，
即中位数是分，
故答案为：；
【小问4详解】
（人），
答：估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为人．
22. 如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
（1）连接，利用切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理和直角三角形的性质得到，利用同角的余角相等的性质解答即可得出结论；
（2）利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
．
，
，
．
是的直径，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
．
，
，
，
，
，
．
23. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外活动实践，现决定增购两种体育器材：购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元．
（1）购买一件A种器材和一件B种器材各需要多少元？
（2）今年计划购买A、B两种体育器材共40件，且A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍，那么购买A种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？
【答案】（1）购买一件A种器材需要20元，购买一件B种器材需要30元
（2）购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
（1）购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元，根据“买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买A种器材a件，根据“A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍”列一元一次不等式求自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性求解即可．
【小问1详解】
设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元
由题意得：，解得：
答：设购买一件A种器材需要20元，购买一件B种器材需要30元．
【小问2详解】
设购买A种器材a件，则购买B种器材件，总费用为w元．
由题意得：，解得：，
由题意得：，
∵，∴w随a的增大而减小，
∴当时，w的值最小，．
答：购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元．
24. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
（3）平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上；
①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______；
②定义，则函数的最大值为______．
【答案】（1）
（2）点坐标为或
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．
（1）先根据点求出的解析式，然后求出点的坐标，最后将点的坐标代入中，求出，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点在下方时，当点在上方时，结合“若的面积是面积的倍”，求出点的坐标，将点的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；
（3）①根据题意可得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，则，将其代入中，即可求解；②分为：当时，；当时，；分别解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：直线经过点，，
，
解得：，
，
点在直线上，
，
，
，
；
【小问2详解】
①当点在下方时，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
把代入中，
得：，
；
②当点在上方时，
，
，
为的中点，
，，
，
把代入中，得：，
，
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
① 由，沿射线方向平移个单位长度得到点，
得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，
，
点恰好在反比例函数的图象上，
，
；
②．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
时，函数有最大值，最大值为；
当时，，
解得：，
时，函数有最大值，最大值为；
．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
，即；
当时，，
解得：，
，即；
综上所述，函数的最大值为，
故答案为：．
25. 如图1，抛物线与x轴交于点，点B，与y轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）连结，点D为抛物线在第一象限部分上的点，作轴交于点E，若，求D点的横坐标；
（3）如图2，将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线．过点作不与x轴平行的直线交于M，N两点．在y轴正半轴上是否存在点P，满足对任意的M，N都有直线和关于y轴对称？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的坐标为或
（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，一元二次方程与二次函数的关系等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）把，代入得，解得，即可得抛物线表达式为；
（2）求出直线解析式为，设，可得，，故，解得或，故的坐标为或；
（3）过作轴于，过作轴于，设，根据将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线，知抛物线的解析式为，又直线过点，可设直线解析式为，，，，，即知，是的两根，有，，证明，可得，即，从而，，得．
【小问1详解】
解：把，代入得：
，
解得，
抛物线表达式为；
【小问2详解】
由，可得直线解析式为，
设，
在中，令得，
，，
，
，
解得或，
的坐标为或；
【小问3详解】
在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
设，
将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
直线过点，
设直线解析式为，，，，，
由得，
，是的两根，
，，
直线和关于轴对称，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
解得，
，
在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，此时的坐标为．
26. 实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；
②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】
（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②；（2）2；（3）
【解析】
【分析】（1）①由得出，再由相似三角形的性质即可得解；②延长交于，令交于，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）延长，相交于点，连接．由矩形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质得出点为中点，由直角三角形的性质得出，当，三点共线时取得最小值，证明出为等边三角形，即可得解；
（3）分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，证明，得出，再证明出四点共圆，得出，，解直角三角形得出，即可得出，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①，
，
，
故答案为：；
②如图，延长交于，令交于，
，
由①可得，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
所在直线较小夹角的度数为，
故答案为：；
（2）延长，相交于点，连接．
，
四边形是矩形，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
，
∵于点，
∴在中，，
∵在中，，且为定值，
∴当，三点共线时取得最小值，
∵，
∴，此时为等边三角形，
．
（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，
，
，，，，为中点，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，，
在中，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．