广东省深圳市深圳外国语学校 2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷（原卷+解析卷）

这是一份广东省深圳市深圳外国语学校 2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷（原卷+解析卷），共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，共24分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题围绕幂的运算规则展开，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，以及合并同类项。解答时需严格依据相关运算法则，准确进行指数运算与系数计算。
【详解】解：A、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项正确，符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，梅花花粉的直径约为，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题核心考查科学记数法。解题的关键在于准确掌握其表示形式：，其中需满足 的条件，同时正确确定 n 的数值。
我们将科学记数法的规则应用于解题：
1. 确定 a 的值：将原数的小数点移动，直到保留的整数部分只有一位，得到 a。
2. 确定 n 的值：
◦ 当原数绝对值 \ge 10 时，n 是正整数，其值等于小数点移动的位数。
◦ 当原数绝对值 < 1 时，n 是负整数，其绝对值等于小数点移动的位数。
以本题为例，将原数转变为 a 时，小数点需向左移动特定位数，因此 n 为正数。代入标准形式即可得到正确结果。
【详解】解：，
故选：C．
3. 下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6
B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°
D. 打开电视，正在播放动画片
【答案】C
【解析】
【分析】本题核心考查事件的分类。解题关键是熟练掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义，并根据事件发生的可能性大小进行准确判断。
【详解】
选项 A：随机事件。抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数可能是 1、2、3、4、5、6 中的任意一个，点数为 6 可能发生也可能不发生，因此是随机事件。
选项 B：随机事件。投掷硬币 100 次，正面朝上的次数是不确定的，可能是 50 次，也可能是其他数值，因此是随机事件。
选项 C：必然事件。根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和都恒等于 180°。在给定条件下，这件事一定发生，所以是必然事件。
选项 D：随机事件。打开电视时，电视屏幕上播放的节目是随机的，可能是动画片，也可能是新闻、电视剧等其他内容，因此是随机事件。
故选：C．
【点睛】本题考查的是事件的概念。必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
4. 如图，的边上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题核心考查三角形高线的定义。解题的关键在于准确识别：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段，就是这条边对应的高线。
【详解】要找到 BC 边上的高，步骤如下：1. 确定顶点与对边：题目要求的是 BC 边的高，因此需要找到对边 BC 所对应的顶点 A。2. 执行高线定义：根据定义，高线是从顶点向对边作的垂线段。3. 得出结论：从顶点 A 向 BC 边作垂线，垂足为 F，那么线段 AF 即为 BC 边上的高。
因此，本题的正确选项为 B。
【点睛】本题考查的是三角形高线的概念。熟记“从顶点出发，垂直于对边”的核心特征是快速解题的关键。
5. 在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（ ）
A. 8B. 11C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题核心考查三角形三边关系。解题的关键在于熟练掌握：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
【详解】解：∵在中，若，，即，∴，∵长度为整数，∴的长度可以为3、4、5，
∴的周长可能是9、10、11．
故选：B．
【点睛】解决这类问题的核心步骤是：先根据三边关系列出不等式组，求出第三边的取值范围，再根据题目要求（如整数、奇数等）筛选出可能的值，最后进行计算。
6. 如图，施工队从点A出发，沿北偏东方向修公路，在段出现塌陷区，后改变方向，由点B沿北偏西的方向继续修建段，到达点D又改变方向，从点D继续修建段，若要使路段，则的度数应为（ ）
A. 110°B. 100°C. 90°D. 80°
【答案】D
【解析】
【分析】本题核心考查平行线的性质。解题的关键在于：能准确识别图中的同位角、内错角和同旁内角，并灵活运用“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”等性质进行角度换算。
【详解】解：如图，
由题意可知，，
∵，∴（两直线平行，同位角相等），
∴，
∵，∴，
∴，
故选：D．
【点睛】解此类几何题的核心技巧是：“由线定角”。只要看到平行线，就立刻在脑海中映射出对应的同位角、内错角和同旁内角关系，层层拆解，步步为营。
7. 如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为8，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为（ ）
A. 11B. 19C. 22D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查乘法公式与几何图形面积的综合应用，重点依托数形结合思想，通过两种不同方式计算同一阴影区域面积，建立等量关系推导平方差公式，最终完成图形面积求解，逻辑清晰且贴合初中数学核心考点。
【详解】解：设正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b，且a > b > 0。
1. 由图1可知，阴影部分为大正方形挖去小正方形后的剩余区域，面积表达式为：
2. 由图2可知，阴影部分经割补拼接为规则长方形，长为a+b，宽为a-b，面积表达式为： ，所以，
3. 由图3可知，阴影部分与图2拼接图形规格一致，面积综上，结合题目选项推导可得，最终答案为：B
8. 如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（ ）．
A. 1或B. 2或C. 2或D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解题的核心关键在于分类讨论思想的运用。需依据全等的对应性分情况讨论，再结合全等三角形对应边相等的性质列方程求解，进而确定线段长度。
根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可
【详解】解：①若，则，，∴，，
解得：，；
②若，则，，∴，，
解得：，；∴AB的长度为或．
故选：D．
二、填空题（共5小题，共15分）
9. 若，则代数式的值是_____
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式进行求解即可．
【详解】解：
∵，，∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
10. 文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮20秒，绿灯亮30秒，黄灯亮10秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题核心考查概率公式的直接应用。解题的关键在于准确识别：在一次试验中，所有可能出现的结果总数，以及符合特定条件（如红灯、绿灯）的结果数，然后代入公式进行计算。
【详解】解：由题意得，当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为．
故答案：．
【点睛】解决概率问题的第一步，就是明确“全部可能”和“目标可能”。在本题中，这是一个典型的等可能事件模型，直接计算即可。
11. 如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：）
【答案】13
【解析】
【分析】本题综合考查整式的混合运算与立体几何体积公式的实际应用。解题核心在于准确运用圆柱体积公式 ，表示出各部分体积，再通过代数运算解决实际问题。本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．直接利用概率公式可得答案．
【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为，
瓶子中小圆柱容积，
杯子的容积为，
则所需杯子个数为，
则一共需要13个这样的杯子.
【点睛】解本题的关键是“建模”，将实际的装水问题转化为数学中的体积差与单个体积的商的问题。同时，注意计算结果需根据实际情况取整数。
12. 如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题核心考查三角形的中线与面积关系。解题关键在于牢记核心性质：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。利用这一性质，可逐步推导各部分面积的等量关系。
【详解】解：连接，
∵点D、E、F分别是线段的中点；∴，，，
∴，，，，，，∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是．
故答案为：．
【点睛】解本题的核心是“以中点为分割”，反复运用中线等分面积的性质，将复杂图形拆解为若干个全等（等面积）的小三角形，通过计数即可快速得出比例关系，避免了复杂的计算。
13. 在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点．请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与三角形的一边平行，则的度数为_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题综合考查图形折叠的性质与平行线的性质。解题的核心关键在于运用分类讨论思想，结合折叠前后角度不变及平行线内错角相等、同旁内角互补等特征，分情况进行推导。
分，AC∥ED，AC∥EF△三种情况，利用折叠性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图，则，
由折叠性质得：，∴，
当AC∥ED时，如图，则，

由折叠性质得：，∴；
当AC∥EF时，如图，则，
由折叠性质得：，
∴．
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】解决折叠类几何问题时，务必先锁定折叠性质（对应边、对应角相等）这一核心，再结合平行线的性质。本题的易错点在于漏解，必须全面考虑所有可能的角相等关系，分情况讨论才能万无一失。
三、解答题（共7小题，共61分）
14. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题核心考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂以及积的乘方运算法则。解题关键是严格按照运算顺序，先算乘方，再算加减。
【详解】解：（1）
；
（2）
【点睛】本题综合考查实数混合运算，核心涉及零指数幂、负整数指数幂的运算性质，以及单项式的乘除运算法则。解题的关键在于熟练掌握并准确运用各类基本运算法则，运算过程中注意符号与指数的变化，即可顺利求解。
15. 先化简，后求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题重点考查整式的化简求值。解题关键在于严格遵循运算顺序：先运用乘法公式进行展开运算，再计算括号内的部分，最后进行除法运算，完成化简。将已知数值代入化简后的结果，即可求得最终答案。【详解】解：
，
当时，原式．
16. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）盒子中球的总个数为_______；
（2）任意摸出一个球是红球的概率是_______；任意摸出一个球是黑球的概率是______；
（3）从盒子中取出一定数量的白球后，任意摸出一个球是白球的概率为，求取出的白球数量．
【答案】（1）15； （2）；
（3）取出了3个白球．
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式的实际应用，解题核心是熟练掌握概率计算公式：P(随机事件)=事件发生的结果数/所有可能出现的结果总数，结合题目条件，直接运用公式计算、列方程求解即可。
【小问1详解】
解：已知盒子中有红球3个，白球5个，从中任意摸出一个球是白球的概率为。
设盒子中球的总个数为n，根据概率公式可得：
解得n=15，即盒子中球的总个数为：15。
【小问2详解】
解：盒子中球的总个数为15，其中红球3个，白球5个，
则黑球的个数为：15 - 3 - 5 = 7（个）。
任意摸出一个球是红球的概率：任意摸出一个球是黑球的概率：
故答案依次为： ；
【小问3详解】
解：设取出白球x个，此时盒子中剩余白球(5 - x)个，球的总个数变为(15 - x)个。
根据题意，此时摸出白球的概率发生对应变化，列方程得：
解得：x = 3。
答：取出了3个白球。
【点睛】本题全面考查概率公式的基础应用，解题关键是明确总结果数与目标事件结果数，直接套用公式计算；涉及数量变化的问题，通过设未知数、列一元一次方程即可求解，牢记概率公式是解题的核心。
17. 如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．
（1）过点C画直线的平行线，注明点D，点D在C的上方（不写作法，下同）；
（2）过点A画直线的垂线，垂足为点A，直线交于点H．
（3）线段的长度是点______到直线______的距离．
（4）若，则_______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）B，
（4）
【解析】
【分析】本题综合考查应用与设计作图，核心涉及垂线段最短原理及点到直线的距离概念。解题关键在于灵活运用数形结合思想，准确利用格点特征完成作图，并依据几何性质进行判断。
【小问1详解】
解：如图，即为所作；

【小问2详解】
解，如图，即为所作；
【小问3详解】
解：线段的长度是点到直线的距离,
故答案为：B，；
【小问4详解】
解：由作图知，，
∵，∥∴,
故答案为：．
【点睛】解决此类格点作图题，关键在于两点：一是敏锐捕捉格点间的垂直、平行等几何关系；二是牢固掌握点到直线的距离定义及三角形外角等核心性质，将图形语言准确转化为代数语言进行推理。
18. 如图，，点E是延长线上的一点，交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）的度数为．
【解析】
【分析】本题综合考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质。解题的关键在于熟练掌握这些核心几何定理，并能根据图形结构，灵活进行角度的转化与推导。
【小问1详解】
证明：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
【小问2详解】
解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵是的一个外角，∴，
∴的度数为．
【点睛】
本题的核心在于“线与角”的双向转化。证明 AD \parallel BE 是后续计算的基础，熟练运用平行线的性质转移角度，再结合三角形内角和与外角性质求解，是解决此类综合几何题的标准思路。
19. 定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”．
（1）若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；
（2）若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______；
（3）若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值．
【答案】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析；
（2）3； （3）或．
【解析】
【分析】本题是一道新定义下的整式运算综合题。核心考查多项式乘多项式的运算法则，以及对新定义概念的理解与应用。解题关键在于准确捕捉“好多项式”与“极好多项式”的定义特征，根据项数变化列出关系式进行求解。
【小问1详解】
B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，
理由如下：，
∵的项数比A的项数多1项，∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”；
【小问2详解】
，
∵B是A的“极好多项式”，
∴且，
解得．
故答案为：3；
【小问3详解】
，
∵B是A的“极好多项式”，
∴或，
解得或0．
∴的值是或0．
【点睛】解决新定义题的核心在于“翻译”。第一步必须准确理解并转化题目给出的新定义，将其转化为熟悉的数学条件（如“系数为0”、“项数相等”）。后续计算完全依托多项式乘法法则，细心计算即可得分。
20. 已知，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接．
（1）如图1，若，，，则______°，_____°；
（2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，将射线绕点N以每秒的速度顺时针转动，射线转动后的对应射线为；同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，射线转动后的对应射线为，当射线首次落到直线上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后直线恰好垂直于直线，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）105，90；
（2），理由见解析；
（3）或者．
【解析】
【分析】本题综合考查平行线的性质与判定、角平分线定义及三角形外角性质，解题核心在于熟练掌握基础几何概念，并能灵活运用辅助线构建模型、结合分类讨论解决问题。
（1）求解角度值。直接利用平行线的性质即可求解。过点E作辅助线，结合平行线的传递性与角度和差关系，代入已知条件计算，最终求得角度值。
（2）推导角度关系式。延长BE交CD于点G，设AE与DE交于点H。令相关角为\alpha，根据角平分线定义表示出拆分后的角，再结合平行线内错角相等的性质转化角度，利用三角形内角和定理及外角性质，建立\alpha与目标角的关联，最终推导得出结果。
（3）分情况求解角度。第一步，根据已知条件及角平分线定义，求出基础角的度数。第二步，分射线在下方和射线在上方两种情况讨论：
• 射线在下方时，直接利用平行线性质与角的和差关系计算；
• 射线在上方时，设射线与CD交于点G，结合平行线性质与三角形内角/外角性质推导。
综合两种情况，最终确定答案。
【小问1详解】
∵，，∴．
如图，过点E作
∴
∵，∴，∴
∴．
故答案为：105，90；
【小问2详解】
如图，延长交于点G，设、交于点H，
设，
∵平分，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
在和中，
∵，，；
∴，即，
∴；
【小问3详解】
∵，∴
∵平分，∴
如图，当射线在下方时，
∵，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴；
如图，当射线在上方时，设直线交于点G，
∵，∴．
∵，∴，
∴
∵，∴，
∴；
综上所述，或．