江西省八所重点中学2026届高三下学期4月联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江西省八所重点中学2026届高三下学期4月联考数学试卷含解析（word版+pdf版），共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若全集 ,则集合 为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,故 .
2. 已知复数 满足 ，则 的虚部为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,故 , ,故 的虚部为 .
3.已知 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可得 ,故 ,
.
4.设单位向量 的夹角为 ,则 在 上的投影数量为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 在 上的投影数量为 ,
,
,
在 上的投影数量为 .
5.已知正项等比数列 的前 项和为 ,满足 ,记 表示不超过 的最大整数,设 ,则数列 的前 30 项和为
A. 464 B. 465 C. 466 D. 467
【答案】C
【解析】由已知得 ,
当 时， ，当 时， .
设数列数列 的前 30 项和为 ,
6.若甲盒中有 3 个白球,2 个红球,1 个黑球,乙盒中有 个白球 ,3 个红球,2 个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件 “从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同” 的概率不小于 ,则 的最小值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件 ,从甲盒中取出的球和从乙盒中取出
的球颜色相同为事件 ,则
,即 ,
故 ,所以 的最小值为 6 .
7.已知两定点 和 ,双曲线 以 为焦点且经过动点 ,若 在直线 上运动, 则双曲线 的离心率的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】焦距 ,半焦距 ,离心率 ,求 的最小值即求实半轴长 的最大值.
,先求 的最大值. 由于 (其中 为 关于直线 的对称点,当且仅当 在 延长线与 的交点时等号成立.
关于直线 的对称点 。故 ,
即 的最大值为 ,因此 .
故双曲线离心率的最小值为 .
8.已知函数 的零点为 ,函数 的零点为 ,其中 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,
在 上单增, ,当 时, ,
当 时, ,故 , ,即 .
令 ,
故函数 在 上递增, 在上递减,则 ,
所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若 均为实数，则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,且 ,则 的最小值为
D. 若 ,且 ,则 的最大值为 2
【答案】AC
【解析】由不等式性质可知 A 正确, B 错误 选项,由已知得 ,则 ,故 正确 D 选项, 最小值为 2, D 选项错误.
10.已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点( 位于第一象限)，过 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，则下列结论正确的是
A. 的最小值为 2
B. 若直线 交 轴于点 ,则
C.抛物线 在点 处的两条切线相互垂直
D. 若 ，则梯形 面积分别为 16
【答案】ACD
【解析】由抛物线焦点弦最短可知 A 选项正确
由 得 , B 选项错误
抛物线在 处的切线分别为 ,两条切线斜率之积为 选项正确
由 得 ,(其中 为直线 的倾斜角) , D 选项正确.
11.在三棱锥 中, 平面 ,且 . 动点 在侧面 内(包括边界)运动，且满足点 到平面 的距离等于点 到点 的距离. 设动点 的轨迹为曲线 ，则以下选项中正确的是
A. 三棱锥 的外接球的表面积为
B. 二面角 的正切值为
C. 三棱锥 的体积的最小值是
D. 过点 平行于平面 的平面截三棱锥 所得截面面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】三棱锥 的外接球半径为体对角线的一半, ,表面积 ,故 (A) 错误。
二面角 即平面 与平面 的夹角。平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,设夹角为 ,则 ,故 ,因此 (B) 正确。
以 为原点，建立空间直角坐标系: ， ， ， 。平面 SBC 的方程为 。 设 ,由条件 ,化简得 。联立 得 ,。由轨迹方程可求得 三棱锥 的体积 ,由得 ,因此 (C) 正确。
过 且平行于平面 的平面方程为 ,截面为直角三角形,面积 ,
又 ,故 (D) 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的二项展开式中，系数最大的项为________.
【答案】
【解析】 展开式的第 项系数为 ,其中 ,当 时, 系数为最大,故系数最大的项为 .
13.已知函数 满足 对任意实数 都成立,若 ，则 _______.
【答案】-1
【解析】已知 ,
所以 ,
两式相减得 ,
则 .
14.在三角形 中， 边上的中线 ，外心为 ，重心为 ，则 的取值范是________.
【答案】
【解析】设 ,三角形 的面积为 .
由面积公式: ,得 .
由中线长公式: ,即 (1)
由余弦定理: (2)
将(2)代入(1)得: ，即 (3)
将 代入式(3)，得 .
由基本不等式 ,得 ,解得 ; 结合三角形存在性,
,故 .
外接圆半径 满足: ,即 .
由 和 消去 ,结合 ,得 .
由 平方得 .
求 的取值范围:
当 时, ; 当 时, .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取 100 人、现从这 200 名学生中随机选 1 名学生,设事件 为“选到的学生愿意报名参加答题活动”,事件 为“选到的学生为男生”,且 .
(1)根据已知条件，完成下列 列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择 1 人，设选到女生的概率为 ,求 的值:
(2)依据小概率值 的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关.
参考公式与数据: ,其中 .
【解析】(1)愿意报名参加答题活动的人数为 ，愿意参加答题活动的学生为男生的人数为 ,故愿意参加活动的学生为女生的人数为 ,不愿意参加答题活动的学生为男生的
人数为 ,不愿意参加答题活动的学生为女生的人数为 .
由表格得不愿意参加答题活动得 80 人有 60 个女生,所以 的估计值为 . 7 分
(2)零假设为 :该校学生报名参加答题活动与性别无关，
根据表中数据可得, , 11 分
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,即认为该校学生报名参加答题活动与性别有关，该推断犯错误的概率不超过 0.001. 13 分
16.已知数列 的前 项和为 ,且满足
(1)求数列 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1) 已知
当 时， ，解得 .1 分
当 时, ,由 得: , 3 分
两边同除以 ,得 ,因此 是首项为 ,公差为 3 的等差数列, 6 分
故 ,即 . 8 分
由 ,则
12 分
则数列 的前 项和为:
.15 分
17.如图,四棱锥 中, 平面 ,平面 平面 ,
(1)证明: 平面 ；
(2)点 为线段 上一点 ( 与 , 不重合).
(i) 若 ，求二面角 的余弦值；
(ii) 是否存在点 ,使得 四点共球且该球心位于平面 内,若存在,指出点 位置; 若不存在, 请说明理由.
【解析】
(1)方法一:由 平面 平面 ，得 .
因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
取 的中点为 ,又因为 ,所以 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,所以 平面 .
方法二: 因为 平面 平面 ,得 ,
又因为 ,所以 ,
又因为 ,所以
又 ,由余弦定理得 ,所以 ,
又因为平面 平面 ,且平面 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 .4 分
(2)(i)以 为原点， 方向为 轴方向建系，
则有 ， ， ，由于 则 .6 分
平面 的法向量: 设 ,由 得 令 得 ;
平面 的法向量: 设 ,由 得 令 ,得 . 9 分
设二面角 的平面角为 ,注意到 为锐二面角,
所以 ,即二面角 的余弦值为 . 10 分
(2)(ii)设 ，则 ； 11 分
设过 四点的球的球心为 ,半径为 ,则 ,即
可得
令 解得 满足条件,
综上: 即 时点 使得 四点共球且该球心位于平面 内. 15 分
18.若椭圆: 上一点 处的切线方程为 . 已知椭圆 分别为左、右顶点且离心率 . 直线 过 交椭圆 于 两点.当直线 垂直于 轴时, .
(1)求椭圆 的方程；
(2)连接 ，并过 两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点 ，过 作 的平行线交 于 点,直线 ( 为坐标原点)交直线 于点 ,直线 和直线 的斜率分别为 和 两点横坐标分别为 .
证明 (i) 为定值;
(ii) 为定值.
【解析】(1) 由题意可知 在椭圆上,且由 ,可得 ,联立方程
.4 分
(2)(i)由题意可知直线 不与 轴重合,设直线 ,点
.5 分
.6 分
又因为 .8分
所以 . 9 分
(ii) 由题意可知过点 的切线和点 的切线分别为: ,和 ,联立方程
. 11分
,所以 . 12 分
直线 ,直线
.15 分
,又由(i)可知 ,所以 ,
即 . 16 分
可得 为 中点,所以 ,即 . 17 分
19.已知函数 .
(1)若 时，求函数 在点 上的切线方程；
(2)若 ，使得当 时， 的值域为 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 证明: .
【解析】(1)当 时， ， ，所以 ，
故切线方程为 . 4 分
(2)(i) 显然 在 上单调递增，则 ，所以 ，
令 ,则 ,故 在 上单调递增,在 上单调递减, ,函数 的大致图象为下图,故有 ,即 的取值范围为 10分
(ii) 记 ，则 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增,故 ,即 ,即 ,
同理 ,因为函数 的 ,且对称轴为 ,
则方程 存在两根 ,且 ,
故 ,
又 ,且 , 所以 ,
则 ,即 . 17 分性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
20
60
80
愿意报名参加答题活动
80
40
120
合计
100
100
200