江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷

这是一份江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共8题；共40分)
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1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A . B . C . D .
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2. 已知集合 ， 集合 ， 则（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
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3. 已知是正项等比数列的前项和，且 ， ， 则（ ）
A . 212 B . 168 C . 121 D . 163
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4. 复数在复平面内对应的点为 ， 为坐标原点，将向量绕点逆时针旋转后得到向量 ， 点对应复数为 ， 则（ ）
A . B . C . D .
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5. 函数有且只有一个零点，则的取值可以是（ ）
A . 2 B . 1 C . 3 D .
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6. 已知正四棱锥 ， 现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A . 240 B . 420 C . 336 D . 120
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7. 已知 ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
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8. 我国著名科幻作家刘慈欣的小说（三体II·黑暗森林）中的“水滴”是三体文明使用新型材料—强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为 ， ， 则（ ）
A . B . C . D . 和的大小关系无法确定
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题会出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．(共3题；共18分)
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9. 已知随机变量X、Y ， 且的分布列如下：
若 ， 则（ ）
A . B . C . D .
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10. 已知函数；满足： ， 恒成立，且在上有且仅有2个零点，则（ ）
A . 周期为 B . 函数在区间上单调递增 C . 函数的一条对称轴为 D . 函数的对称中心为
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11. 在棱长为2的正方体中，点E ， F分别为棱 ， 的中点，过点的平面与平面平行，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A . B . 若点为平面内任意一点，则的最小值为 C . 底面半径为且高为的圆柱可以在该正方体内任意转动 D . 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分．把答案填在答题卡中的横线上．(共3题；共15分)
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12. 展开式中项系数为．
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13. 在三角形中、 ， 角刚平分能交于点 ， 若 ， 则三角形面积的最大值为．
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14. 已知函数 ， 存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，(共5题；共77分)
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15. 数列满足 ， ， ， ．
（1） 证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2） 求正整数 ， 使得 ．
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16. 三棱柱中， ， ， 侧面为矩形， ， 三棱锥的体积为 ．
（1） 求侧棱的长；
（2） 侧棱上是否存在点 ， 使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
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17. 在平面直角坐标系中， ， 直线 ， 动点在直线上，过点作直线的垂线，与线段的中垂线交于点 ．
（1） 求点的轨迹的方程
（2） 经过曲线上一点作一条倾斜角为的直线 ， 与曲线交于两个不同的点Q ， R ， 求的取值范围．
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18. 一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖次，总得分为 ， 每次中奖的概率为 ， 且每次摸奖相互独立．
（1） 当时，求的概率；
（2） 当时，求的概率分布列和数学期望；
（3） 当时，判断的数学期望与10的大小，并说明理由．
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19. 已知函数 ， 恒成立．
（1） 求实数的值；
（2） 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3） 数列满足： ， ， 若数列中有无穷个不同的项，求整数的值．
难度系数：0.63
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题会出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分．把答案填在答题卡中的横线上．
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
15 16 17 18 19
X
1
2
3
4
5
P
m
n