江西八所重点中学2026届高三下学期4月联考 数学试卷（含解析）

这是一份江西八所重点中学2026届高三下学期4月联考 数学试卷（含解析），共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若全集，则集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正项等比数列满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
6．若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若均为实数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则的最小值为
D．若，且，则的最大值为2
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（位于第一象限），过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．若直线交轴于点，则
C．抛物线在点处的两条切线相互垂直
D．若，则梯形面积为
11．在三棱锥中，平面，且.动点在侧面内（包括边界）运动，且满足点到平面的距离等于点到点的距离.设动点的轨迹为曲线，则以下选项中正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积为
B．二面角的正切值为
C．三棱锥的体积的最小值是
D．过点平行于平面的平面截三棱锥所得截面面积的最大值为
三、填空题
12．的二项展开式中，系数最大的项为__________.
13．已知函数满足对任意实数都成立，若，则__________.
14．在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________.
四、解答题
15．有媒体称开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且.
(1)根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关.
参考公式与数据：，其中.
16．已知数列的前项和为，且满足
(1)求数列；
(2)设，求数列的前项和.
17．如图，四棱锥中，平面，平面平面，
(1)证明：平面：
(2)点为线段上一点（与不重合）.
（i）若，求二面角的余弦值：
（ii）是否存在点，使得四点共球且该球心位于平面内，若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.
18．若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为.
证明（i）为定值：
（ii）为定值.
19．已知函数.
(1)若时，求函数在点上的切线方程；
(2)若，使得当时，的值域为.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．A
【详解】由题意得，且全集，
所以集合.
2．D
【详解】由题设，故其虚部为.
3．B
【详解】由诱导公式得，则，
所以.
4．D
【详解】由单位向量的夹角为，可得，
又由，
可得，
且，
所以向量在 上的投影数量为.
5．C
【详解】因为数列是正项等比数列，所以公比，且，
又，所以，又，所以.
因为，所以，将代入化简得，
解得或（舍去）.
所以.
所以，
因为表示不超过的最大整数，
所以当时，，当时，.
所以数列的前项和为.
6．B
【详解】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为，
从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件，
则，，，
所以，根据全概率公式得：
，
所以，整理得：，解得，
所以满足题意的的最小值为.
7．A
【详解】由，得，，故最小等价于最大，
由双曲线定义，在上，
设双曲线方程为，将代入得：
，
由得，故.
8．C
【详解】因为函数的零点为，所以，
因为函数的零点为，所以，
则，即，
可得，令，
则，可得在上单调递增，
所以，则，即，
可得，
由已知得，则，
而，，则，解得，
令，则，
令，，令，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，即，
而可化为与构成的复合函数，
由对勾函数性质得在上单调递增，
所以，则的取值范围是.
9．AC
【详解】选项A：，，，
，故A正确；
选项B：令，满足，
则，此时，故B错误；
选项C：已知，且，
则，
当且仅当时等号成立，
的最小值为，故C正确；
选项D：已知，且，则，
，开口向上，对称轴为，
，
的最小值为2，无最大值，故D错误．
10．ACD
【详解】
抛物线的标准形式是，则，，准线，
选项A：焦点弦，
当斜率不存在时，直线为，代入抛物线得，此时，
，
当斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线方程得，由韦达定理得，
，
综上，的最小值为2，故A正确；
选项B：若直线交轴于点，，则，
设，，，则，
由得，解得，
已知在抛物线上，则，且在第一象限，
，，，
，故B错误；
选项C：对抛物线求导得，解得，
处切线斜率，处切线斜率，
设过焦点的直线方程为，代入抛物线得，
由韦达定理，
切线斜率乘积，故两条线互相垂直，故C正确；
选项D：设，则，
，
，
，
，解得，
，故D正确．
11．BCD
【详解】对于A，因为平面，且，
所以可将三棱锥补成一个正方体，该正方体的外接球即为该三棱锥的外接球，
因为，可得该正方体的对角线长为，
设三棱锥外接球的半径为，可得，即，
所以外接球的表面积为，所以A错误；
对于B，如图（1）所示，取的中点，连接，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
在直角中，，可得，
所以，可得，
即二面角的正切值为，所以B正确；
对于C，设点到平面的距离为，则点到点的距离也为，即,
可得点的轨迹是以为焦点，以在内过的直线为准线的抛物线，
此抛物线与侧面的交线，即为点的轨迹，
设抛物线的方程为 ，因为到平面的距离为，所以，
可得，则抛物线的方程为，
设，在任取一点，可得的最小值为,最大值为，
所以，当点与点重合时，此时到准线的距离最短，
如图（2）所示，可得，则，
可得直线的方程为，
联立和，整理得，
解得或（舍去），
可得点到准线的距离为，即，
所以三棱锥的体积的最小值为，所以C正确；
对于D，过点平行于平面的平面截三棱锥所得截面为三角形 ，
且截面与相似，其相似比为，
所以截面面积为，
要使得截面面积最大，则最小，由C知，
所以截面面积的最大值为，所以D正确.
12．
【详解】的二项展开式的通项公式为：，
各项的系数即为各项的二项式系数，
因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数，
所以系数最大的项为第项.
13．
【详解】已知，
所以，
两式相减可得：，
化简可得：，
若，则由原式可得，
该方程组无实数解，故，
则，即函数周期为，
因此：.
14．
【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，重心，即，
则由边上的中线得，即，
所以，故，当且仅当时等号成立，
所以即，
因为外心O在AB中垂线上，也在AC中垂线上，，AC中点为，
所以AC中垂线所在直线方程为，
将代入得，
所以外心，
则，
所以的取值范围是.
15．(1)
；
(2)该校学生报名参加答题活动是否与性别有关.
【详解】（1）由，得愿意报名参加答题活动人数为，
由，得愿意报名参加答题活动的男生人数为，
愿意报名参加答题活动的女生人数为，
所以列联表为：
.
（2）零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
16．(1)
(2)
（1）解：由数列的前项和为，且，
当时，可得，可得，
当时，，
即，可得，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以.
（2）解：由（1）知：，
可得，
所以
.
17．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）存在，时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内.
【详解】（1）方法一：由平面，平面，得，
因为平面平面，且平面平面，
取的中点，连接，又因为，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，、平面，所以平面.
方法二：因为平面，平面，得，
又因为，所以，，
又因为，所以，，
又因为，
由余弦定理得，
所以，故，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，故，
又因为，且，，、平面，
所以平面.
（2）（i）以为原点，、、方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由于，即，即，
所以，则，
设平面的法向量为，，，
则，令，则，
设平面的法向量为，，
则，
令，则，
设二面角的平面角为，注意到为锐二面角，
所以，
即二面角的余弦值为.
（ii）设，则，
设过，，，四点的球的球心为，
半径为，则，
即，求解可得：，
令，解得满足条件，
综上所述：时点使得，，，四点共球且该球心位于平面内.
18．(1)；
(2)（i）（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意可知在椭圆上，且由，可得，
联立方程，所以椭圆.
（2）（i）由题意可知直线不与轴重合，设直线，
点，.
，
.
又因为，所以，
（ii）由题意可知过点的切线和点的切线分别为：，和，
联立方程.
，所以.
直线，直线，
，
，又由（i）可知，所以，
即.
可得为中点，所以，即．
19．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
所以，则切线的斜率，
又，所以切线方程为.
（2）（i）因为，所以在上单调递增，
则，即方程有两个不相等的正根，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的极大值为，
因为时，，时，，
所以，则，解得，
所以实数的取值范围是
（ii）由（i）知，有两个不相等的正根，即，
两式相减得，即，
令，则，代入得，
则，所以，
要证，只需证，即
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
则，即，
所以，
令，，
则在上单调递增，
所以，则，
因为，所以，所以，则，
所以.性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
20
60
80
愿意报名参加答题活动
80
40
120
合计
100
100
200
性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
20
60
80
愿意报名参加答题活动
80
40
120
合计
100
100
200