江西省八所重点2025届高三下学期4月联考数学试卷（附答案解析）

这是一份江西省八所重点2025届高三下学期4月联考数学试卷（附答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A．3B．6C．60D．30
5．若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，若，当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．有最大值D．不是单调数列
8．已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在江西省重点中学协作体2025届高三第一次联考中，某校高三年级参加了联考，该校有600个学生数学及格（90分及以上），从数学及格的学生中随机抽取100个学生的数学成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．估计该校有96名学生数学成绩不低于120分
C．用频率估计概率，已知某学生数学成绩不低于100分，则该生数学成绩不低于130的概率为0.2
D．成绩在和内学生的男女比例分别为和，从成绩在的学生中随机抽1学生，该生是女生的概率为
10．已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（ ）
A．轨迹关于原点对称
B．轨迹关于直线对称
C．当时，轨迹为一条直线
D．当时，轨迹存在最高点
11．如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则三棱锥体积为定值
B．若，则动点所围成的图形的面积为
C．若，则的最小值为3
D．若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为
三、填空题
12．若事件､相互独立，，，则 ．
13．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 ．
14．已知是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知的内角的对边分别为．已知．
(1)求角：
(2)若，求的面积．
16．如图，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，沿将折起，使点到达点．
(1)求证：：
(2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
17．在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线交于两点，求面积的最大值．
18．为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为
(1)求的值；
(2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望；
(3)求．
19．数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，．
(1)分别求函数和的值域；
(2)若，求函数的值；
(3)若数列满足：是数列的前项和，求的值．
《江西省八所重点2025届高三下学期4月联考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】由复数的乘除运算及共轭复数概念即可求解.
【详解】由，
所以，
所以，
故选：B
2．C
【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】由可得，解得，
即，
由，解得，即，
所以.
故选：C
3．B
【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量与的夹角.
【详解】设向量与的夹角为，则由题意可知，，
因为向量的夹角，所以.
故选：B.
4．C
【分析】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数.
【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）.
要求的系数，则的次数，此时.
同样根据二项式定理，展开式的通项为（）.
要得到，则令，解得.
当，时，的系数为
在的展开式中，的系数为60.
故选：C.
5．D
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离不大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【详解】双曲线渐近线为，且与圆有公共点，
圆心到渐近线的距离不大于半径，即，，，．
故选：D．
6．A
【分析】根据已知条件，利用两角和与差的正弦公式展开，得到与的关系，再将展开，结合基本不等式求出其最大值时的值，进而求出．
【详解】已知，根据两角和与差的正弦公式展开可得：
，移项可得：．
因为，所以，，等式两边同时除以，得到．
根据两角差的正切公式可得：．
令，因为，所以，则．
根据基本不等式：，当且仅当，即，时等号成立．
所以，即当时，取得最大值．
因为，当时，．
当取得最大值时，，
故选：A．
7．C
【分析】先对进行变形，构造新数列，求出数列的通项公式，结合作差法判断增减性，逐一分析选项.
【详解】设，则.
已知，将，代入可得：
可得.
两边取倒数，即.
又因为，所以，则.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式，则.所以.
当时，，所以选项A错误.
由前面计算可知，所以选项B错误.
因为，当增大时，减小，减小，且时，，，所以有最大值，选项C正确.
由可知，，所以是单调递减数列，选项D错误.
故选：C.
8．B
【分析】函数不等式恒成立问题转化为方程根的问题，以及利用韦达定理和对数运算性质得到相关等式，最后通过求函数最值来求解的最大值.
【详解】因为恒成立，所以和有两个相同正根.对于方程，两边同乘得.
由一元二次方程性质，有两个不同正根，则，且，.
由可得，可得.
根据对数运算法则，所以，即.
令，对求导，.
令，即，解得.
当时，，递增；
当时，，递减.
所以在处取最大值，.
综上， 的最大值为.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为1得到方程求出的值，再根据频率分布直方图一一判断即可判断A，B，D，再应用条件概率公式计算判断C.
【详解】依题意可得，解得，故A正确；
该600名学生中成绩在的频率为，人数约为人，故B正确；
用频率估计概率，已知某学生数学成绩不低于100分，则该生数学成绩不低于130的概率为0.2
因为成绩不低于100分的频率为，成绩不低于130的概率的频率为，
所以某学生数学成绩不低于100分，则该生数学成绩不低于130的概率为，故C错误；
的频率是，的频率为，成绩在和内学生的男女比例分别为和，
所以从成绩在的学生中随机抽1学生，该生是女生的概率为，故D正确.
故选：ABD
10．BD
【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误.
【详解】设，则，整理得，
即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确；
当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误；
当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确．
故选：BD
11．ABD
【分析】对于A，由题意可得的轨迹为线段，即可判断；对于B，由题意可得动点所围成的图形是矩形，即可判断；对于C，由正弦定理可得，利用空间坐标运算可得点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，再利用，求解后即可判断；对于D，由题意可得点的轨迹是以为旋转轴，为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线，从而得点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上，求出此椭圆的离心率即可判断．
【详解】对A,因为动点在正方体内及其边界上，
且，则的轨迹为线段．
由于，平面，所以，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对B,易知平面，
动点在正方体内及其边界上，且，
所以动点所围成的图形是矩形，则面积为，故B正确；
对C，设边上的高为,则，
由正弦定理可得，所以，故，
以为点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
则，
又因为，整理得：，
所以空间动点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，
又因为，所以，故C错误；
对D,在棱上取，则．
因为异面直线与所成角为，则直线与所成角为，
故空间动点的轨迹是以为旋转轴，
为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线，
又动点在底面内，故动点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上，
椭圆以为长轴，球是底面与圆锥封闭几何体的内切球，
球与底面的切点为椭圆靠近顶点的焦点．
如图，即，
即，则，所以椭圆的离心率，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是得出每一选项中点P的轨迹．
12．/0.5
【分析】根据相互独立事件概率公式求得正确答案.
【详解】若事件､相互独立，，，则
故答案为：
13．4
【分析】由题意可确定当最小时，最小，则最小，继而设，表示出，结合二次函数性质求最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知的圆心为，半径为2，
如图，，则，

而，当最小时，最小，则最小；
由于P在抛物线上，设，
则，
当时，取最小值8，即取到最小值，
则取最小值2，故的最小值为4，
故答案为：4
14．
【分析】几何法：利用正弦定理建立与外接圆半径的关系，再根据圆与圆（的外接圆）的位置关系求出的最小值，进而得到．
代数法：通过设点的坐标，用向量的坐标运算表示出，然后利用不等式求出的最小值，再根据三角函数关系求出的最大值．
【详解】方法一（几何法）
解：设圆为的外接圆，且半径为，则，故
由于点既在圆上，也在圆上，即圆与圆有公共点，当圆与圆内切时，圆的半径最小，即
由于边的垂直平分线为，设，则，
两边平方得，两边消去得：
，即，.
则，故.
方法二（代数法）
设
，当时等号成立．
即，则．
故
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，求出，结合特殊角的三角函数值，即可求得答案；
（2）利用余弦定理求出，根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）因为，由正弦定理得
在中，，则，即，
故．
（2）由余弦定值知：，
即，则，
所以．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证.
（2）由（1）中信息，确定体积最大的条件，再作出二面角的平面角，利用几何法求解.
【详解】（1）取中点，连接，
由，得，由等边，得，
而平面，，则平面，又平面，
所以.
（2）依题意，的面积为，三棱锥体积，
则当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥体积最大，
在中，，，因此当平面时，三棱锥体积最大，
在平面内过作于，连接，由平面，平面，
得，而平面，于是平面，
又平面，则，是二面角的平面角，
在中，，在中，，
，所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设，借助，构造方程组，求出，代入，整理计算即可；
（2）依题意，知道直线不垂直于轴，设其方程为，直曲联立，借助韦达定理和三角形面积公式得，令，变形，结合基本不等式计算即可.
【详解】（1）设，则，过作轴的垂线，垂足为,则，
因为，则，
则整理得代入中得，
整理得，所以曲线C的方程为．
（2）
依题意知道，直线不垂直于轴，
则设其方程为，
由消去并整理得，
，解得，
设，则
则，
令，则，且
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为．
18．(1)，
(2)分布列见解析，数学期望为5；
(3)
【分析】（1）计算和运用了分步乘法计数原理和分类加法计数原理来计算事件发生的概率；
（2）结合乘法公式计算概率，得到随机变量的分布列和期望；
（3）通过分析爬台阶的不同情形建立递推关系，再通过变形构造等比数列来求解数列的通项公式．
【详解】（1）由题可知，
（2）随机变量所有可能取值为：3，4，5，6，
的分布列
；
（3）爬到第个台阶有两种情况：
情形一：爬到第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶，
情形二：爬到第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶，
故，
则，
所以，
，又，故是等比数列，
，
故.
19．(1)，的值域为整数集
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦函数的有界性可得，而函数无界，其值域为，所以的值域为整数集；
（2）先求出与的值域，发现当且时，，当时，，由此可得函数的值；
（3）令，求得单调递减，利用单调性分析可得：，再令，利用导数可知在上单调递增，故，又当为奇偶时分别两次运用分组求和法可求得的范围，由此可得求的值.
【详解】（1）由于，所以，
由于函数的值域为，所以的值域为整数集；
（2）令，则，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以当时，，当时，．
由于恒成立，并且当时，，当时，．
故当且时，，当时，．
所以
（3）令，则在上单调递减，且，
，所以
依次可得：，
令，则在上恒成立．
所以在上单调递增，
故，又，
所以当为偶数时，
即，
故；
当为大于1的奇数时，
即，故．
所以
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
D
A
C
B
ABD
BD
题号
11









答案
ABD









3
4
5
6