2023年广东省广州越秀区中考一模数学试题

这是一份2023年广东省广州越秀区中考一模数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列实数中，比小的数是（ ）．
A. B. 4C. D. 1
【分析】实数大小比较：考察负数与负数、负数与正数的大小比较法则，特别是绝对值大的负数反而小。
【答案】解：正数大于0，负数小于0。对于两个负数，绝对值大的反而小
，，
比小的数是，
故选C．
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】图形的对称性：考察轴对称图形与中心对称图形的定义及识别，需同时满足两个条件。
【答案】解；轴对称图形需沿某直线折叠重合，中心对称图形需旋转180°重合。A项仅为轴对称；B项既是轴对称（沿对角线或中线）又是中心对称（绕中心点）；C项仅为中心对称；D项两者皆非。
故选B．
3. 某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为，，，下列关于这组数据描述错误的是（ ）．
A. 中位数是35B. 众数是35 C. 平均数是35 D. 方差是2
【分析】统计量的计算：考察中位数、众数、平均数、方差的定义及计算，需识别错误描述。
【答案】解：，，，，
中位数是35； 众数是35；平均数是，方差是，
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【分析】整式运算：涵盖积的乘方、合并同类项、负整数指数幂、单项式乘法，考察运算法则。
【答案】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选C.
5. 如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【分析】圆周角定理：考察直径所对圆周角为直角，以及同弧所对圆周角相等的性质。由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，得出的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得的度数．
【答案】解：为的直径，
，
，
，
．
故选：C．
6. 若点在直线上，则下列各点也在直线l上的是（ ）．
A. B. C. D.
【分析】一次函数图象：考察待定系数法求解析式，及点在函数图象上的坐标特征。先将代入求出b的值，再将各选项的横坐标依次代入即可判断．
【答案】解：点在直线上，
，
解得，
，
当时，，因此不在直线l上，在直线l上；
当时，，因此，不在直线l上；
故选：B．
7. 如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）．
A. B. C. D.
【分析】三视图与圆锥侧面积：考察由主视图还原圆锥几何量（半径、母线），并计算侧面积。根据三视图得出圆锥的底面直径为3，母线长为3，然后根据圆锥侧面积公式进行计算即可求解．
【答案】解：∵个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，
∴圆锥底面半径 r=1.5 ，母线l=3
∴S=πrl=，
故选：A．
8. 在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为，测得教学楼顶部C的仰角为．根据以上信息，可以表示教学楼（单位：米）的高度是（ ）．
A. B.
C. D.
【分析】解直角三角形应用：考察俯角、仰角模型，利用正切函数解决测量高度问题。分别解，，求出的长即可得到答案．
【答案】解：过A作AB垂直地面于B，交楼顶于D。
在Rt△ADB中, tanα=BDm ,故 BD=mtanα
在Rt△ADC中，tanβ=CDm​,故CD=mtanβ
∴楼高BC=BD+CD=m(tanα+tanβ)
故选：A。
9. 抛物线G：与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【分析】二次函数平移与最值：考察抛物线平移规律（顶点轨迹），及二次函数求最大值。
【答案】解：在中，当时，，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的顶点坐标为，即抛物线的顶点在直线上，
∴抛物线G沿直线平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线上，
设抛物线H的顶点坐标为，
∴抛物线H的解析式为，
在中，令，则，
∴的最大值为，
故选B．
10. 如图，四边形的对角线与交于点E，且，，，，，则的长是（ ）．
A. 9B. 10C. D.
【分析】几何综合计算：考察勾股定理、解直角三角形及方程思想，解决复杂几何线段长问题。
【答案】解：设，则，
∵，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得 ，
在中，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴
，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
故选B．
二、填空题
11. 在函数中，自变量x的取值范围是___．
【分析】函数自变量取值范围：考察二次根式有意义的条件（被开方数非负）。
【答案】根据二次根式有意义的条件，必须．
故答案为：x≥12
12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，则的值是_____________．
【分析】坐标变换：考察关于x轴对称的点的坐标特征（横同纵反）。
【答案】解：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数
∴，
∴，
故答案为：．
13. 分解因式： ____．
【分析】因式分解：考察提公因式法与公式法（完全平方公式）的综合运用。
【答案】解：．
故答案为：．
14. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度．
【分析】三角形外角性质：考察等边三角形性质及三角形外角等于不相邻两内角和的性质。
【答案】解：如图，
是等边三角形，
，
，，
，
，
（四边形内角和或外角和性质）
故答案为：240．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
15. 如图，在菱形中，与相切于点A，与相切于点C，点B在上，则_____________．
【分析】切线性质与圆周角：考察切线垂直于半径，结合菱形性质与圆周角定理求角度。
【答案】解：如图所示，连接
由切线性质得，
∵四边形内角和 360∘
故 ∠AOC=360∘−90∘−90∘−∠B=180∘−∠B
∵菱形对角相等，∴∠B=∠D∠B=∠D 。
∵圆周角得∠D=12∠AOC∠D=1​2∠AOC 。
∴，
∴，
故答案：．
16. 如图，矩形中，，，点E，F分别为边，上的动点，且，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．
（1）当点E为的中点时，线段的长是_____________；
（2）当点E在边上运动时，线段的最小值是_____________．
【分析】动点问题与最值：考察矩形性质、旋转性质及辅助圆思想，利用“垂线段最短”求最小值。
【答案】（1）如图，当点E为的中点时，
矩形中，，，
，，，
E为的中点，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
由旋转可知，
；
（2）如图，取的中点为O，过点O作于点H，在的延长线上截取，连接，，则，，，
，
的中点为O，
，
由旋转可知，，
，
又，
，
，
，
O，M，G，F在同一个圆上，
，，
即点G在过点M且与垂直直线上运动，
当时，取最小值，
此时，如下图所示：
，，
，
，
，，
，
．
故答案为：（1）1；（2）．
三、解答题
17. 解不等式组：．
【分析】解不等式组：考察一元一次不等式组的解法及数轴表示。先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
如图，在平行四边形中，E，F分别是上一点，，交于点O．求证：．
【分析】全等三角形证明：考察平行四边形性质及ASA判定定理证明线段相等。直接利用证明即可证明．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19. 已知：．
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
【分析】分式化简求值：考察分式的混合运算，及整体代入思想（反比例函数或方程根）。
【答案】（1） 解：
；
（2）解：选择条件①：
∵点是反比例函数图象上的点，
∴，即，
∴；
选择条件②：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
20. 为落实立德树人根本任务，坚持“五育”并举全面发展素质教育．某学校提倡家长引导孩子在家做一些力所能及的家务劳动．为了解九年级学生平均每周家务劳动时间，随机抽取了部分九年级学生进行调查，根据调查结果，绘制如下频数分布表：
请完成下列问题：
（1）若九年级共有400名学生，估计平均每周家务劳动时间少于2小时的学生大约有 人．
（2）学校为了鼓励学生进行家务劳动，计划在参与调查的学生中，抽取2名学生分享劳动心得．若只从平均每周家务劳动时间不低于3小时的5名学生（其中2名男生，3名女生）中随机抽取，请用树状图或列表的方法求抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生的概率．
【分析】概率统计：考察用样本估计总体，及列表法或树状图求概率（两步不放回）。
【答案】（1）解：人，
∴估计平均每周家务劳动时间少于2小时的学生大约有280人，
故答案为：280；
（2）解：设两人男生分别用A、B表示，三名女生分别用C、D、E表示，列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生的结果数有12种，
∴抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生的概率为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，且．反比例函数的图象经过C，D两点，直线交x轴于点E．
（1）求k的值；
（2）求的面积．
【分析】反比例函数综合：考察待定系数法求k，相似三角形性质求坐标，及三角形面积计算。
【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，即，
解得，
反比例函数的图象经过点C，，
点C的坐标为，即，
设直线的解析式为，
将，代入，可得，
解得，
直线的解析式为，
令，解得，
，
．
22. 坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本增加了3元．
（1）该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
（2）两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
【分析】分式方程应用：考察列分式方程解工程问题，及一元一次方程解销售盈利率问题。【答案】（1）解：设第一批文化衫每件的成本是x元，
由题意知，，
化为整式方程为：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
故第一批文化衫每件的成本是30元；
（2）解：设每件文化衫标价为y元，
由题意知，
解得，
即每件文化衫标价为50元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于．
23. 如图，为的外接圆，，，点D为的中点，连接，作的角平分线交于点E．
（1）尺规作图：作出线段；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，求证：；
（3）若，求的周长．
【分析】圆的综合：考察尺规作图（角平分线）、圆周角定理、旋转全等及解直角三角形。
【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）证明：如图所示，连接，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵A、B、C、D都在上，
∴，
∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，即，
∴，
如图所示，将绕点D旋转得到，
∴，，
∴，
∴三点共线，
过点D作于G，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
过点D作于H，则，
在中，，
∴，
∴的周长．
24. 已知抛物线：经过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标；
（3）当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围．
【分析】二次函数综合：考察待定系数法、根与系数关系、抛物线与x轴交点及函数图象性质。
【答案】（1）解：∵抛物线：经过点．
∴
∴；
（2）解：∵
∴，
令，即
∴
∵抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，
即①
∴
解得：或
当，即②
由①②得，
∴
当，即③
由①③得
∴
综上所述，或
（3）解：∵当时，自变量x的取值范围是：或
∴当时，的两个根为或，且，
对称轴为直线
∴
即
∴抛物线解析式为
令，即
解得：，则抛物线与轴交点坐标为，；
∵时，，
∴，又，
解得：；
当时，解析式为
∵在抛物线上，
∴
解得：或
∵，抛物线开口随着的绝对值的增大开口越小，
∴或．
25. 如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边，上的动点（点E不与B，C重合），且．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的长；
（3）求的最小值．
【分析】几何最值：考察等边三角形性质、相似三角形判定与性质、辅助线构造（旋转）求最小值。
【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：过点D作，过点F作，如图所示，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵点D为的中点，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
∵
∴，，，
∵，
∴，即，
解得：，
即；
（3）解：连接，过点F作，过点C作且，
在和中，
∵是等边三角形，点D为的中点，
∴
∵，，
∴，
∴，
设，
由（2）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当B、F、K三点共线时取等号，即取得最小值，
过点 K作交的延长线于点M，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即取得最小值是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
C
B
A
A
B
C
劳动时间（x/时）
频数（学生人数）
8
20
7
5
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）