黑龙江省哈尔滨六中2025-2026学年高一（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨六中2025-2026学年高一（下）段考数学试卷（3月份）（含解析），共9页。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．已知平面向量，若，则（ ）
A．1B．C．D．
2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形中，，为边上的任意一点（包含端点），为的中点，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点）．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知，分别是△边，上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．)
（多选）9．（6分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是
A．B．
C．D．和能构成一组基底
（多选）10．（6分）设为△所在平面内的一点，则下列说法正确的是
A．若，则点为△的重心
B．若，则点为△的垂心
C．若，则△的形状为等腰直角三角形
D．若，则△和△的面积之比为
（多选）11．（6分）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则下列结论正确的是
A．
B．向量与共线
C．
D．若，则最大值
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
13．已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围 ．
14．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则最大值为 ，若，则的最大值为 ；
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．）
15．（13分）已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量与的夹角的大小．
16．（15分）已知，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与垂直，求实数的值．
17．（15分）如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
（1）若，求，的值；
（2）求的值；
（3）求．
18．（17分）已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值；
（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．当时，求函数的值域．
19．（17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（Ⅰ）设函数，试求的伴随向量；
（Ⅱ）记向量的伴随函数为，求当且时的值；
（Ⅲ）设，已知，，，问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知平面向量，若，则（ ）
A．1B．C．D．
解：因为，
所以，
因为，
所以，解得．
故选：．
2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，向量，则，
所以与向量同向的单位向量为．
故选：．
3．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
解：，，，
，，
，，
，，，
，，
故选：．
4．如图，在矩形中，，为边上的任意一点（包含端点），为的中点，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
解：以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，，
所以，，
所以．
因为，
所以，，
即．
故选：．
5．已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解：由题意可在，，
在上的投影向量是，，
，
当时，取最小值．
故选：．
6．如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点）．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解：设，因为点为中点，所以，
则，
因为、、三点共线，由向量共线定理推论可得，，
所以，即由、、三点共线可得，
所以．
故选：．
7．如图，已知，分别是△边，上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
解：由，，共线，
可得，，
所以，①
由，，共线，
可得，，
所以，②
由①②知：，则，
故，由，
可得，
由，，共线，有，解得．
故选：．
8．设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
解：，，
，
即，则，
故，得，
，，
，
．
故选：．
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．)
（多选）9．（6分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是
A．B．
C．D．和能构成一组基底
解：对于选项，，选项错误．
对于选项，，选项正确．
对于选项，由于八边形为正八边形，故，且，
故，所以选项正确．
对于选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以正确．
故选：．
（多选）10．（6分）设为△所在平面内的一点，则下列说法正确的是
A．若，则点为△的重心
B．若，则点为△的垂心
C．若，则△的形状为等腰直角三角形
D．若，则△和△的面积之比为
解：对于，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又，，即，
点为△的重心，故正确；
对于，由，可得，即，
同理，可得，，即点为△的3条高的交点，点为△的垂心，故正确；
对于，由，则，
，即，化简得，
即，△为直角三角形，故错误；
对于，，△与△边上的高之比为，
△与△的面积之比为，故正确．
故选：．
（多选）11．（6分）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则下列结论正确的是
A．
B．向量与共线
C．
D．若，则最大值
解：因为在梯形中，，
，所以，
则，
选项：因为为线段的中点，
所以，故正确；
选项：因为、、三点共线，
所以存在唯一的，使得，
又因为、、三点共线，所以存在唯一的，
使得，
又因为，
所以，解得，故，
所以，
则向量与不共线，故错误；
选项：因为为线段的中点，
所以，
由选项可得：，所以，
，，
所以，故正确；
选项：因为为线段上的一个动点，
所以设，，，
又因为，，
所以，则的最大值为，故正确．
故选：．
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
解：，
则．
因为，，即．即，解得．
向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
13．已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围 ．
解：与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）．
当时，向量，，
则，解得．
当反向共线时，，解得．
综上所得，求实数的取值范围为．
故答案为：．
14．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则最大值为 9 ，若，则的最大值为 ；
解：由题意，
，
所以
，
因为，故当时，
取得最大值为9；
以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为，
设，，，
则，
因为，
所以，
所以，
所以当时，，此时取得最大值．
故答案为：9；．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．）
15．（13分）已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量与的夹角的大小．
解：（1）由得，，
所以，即，
由得，，
所以，即．
（2）由（1）得，，
所以，，，
所以，
所以向量，的夹角为．
16．（15分）已知，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与垂直，求实数的值．
解：（1）因为，且与的夹角为，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
又因为，
所以，
因为，所以与的夹角为；
（3）因为向量与垂直，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以实数的值为或6．
17．（15分）如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
（1）若，求，的值；
（2）求的值；
（3）求．
解：（1）因为，，
所以，又，
所以；
（2）由（1），
在平行四边形中，，，，
则，
所以
；
（3）由图可知，，
又，，，
所以，
所以，，
则．
18．（17分）已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值；
（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．当时，求函数的值域．
解：（1）已知向量，，函数，
根据平面向量数量积的坐标公式可得：
，
令，解得：，
的单调递增区间为；
（2）由（1）得：，
，，
又，，
，
；
（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
则，
当时，，，
即的值域为．
19．（17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（Ⅰ）设函数，试求的伴随向量；
（Ⅱ）记向量的伴随函数为，求当且时的值；
（Ⅲ）设，已知，，，问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）
，的伴随向量
（Ⅱ）向量的伴随函数为，且，，
又且，
（Ⅲ）设，，，
，
，
当，等式成立
此时，满足