黑龙江哈尔滨第六中学校2023~2024学年高一下册期末测试数学试卷[附解析]

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一、单选题
1. 设复数 z 满足 ，则 z=（ ）
A. B. C. D.
2. 某工厂生产 三咱不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样的方法抽出一个
容量为 的样本，样本中 型号产品有 16 件， 型号产品有 40 件，则
A. B. C. D.
3. 设 ，向量 ， ，且 ，则 （ ）
A B. C. D. 5
4. 如图，测量河对岸 塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个观测点 ， ，测得
， ， ，并在 处测得塔顶 A 的仰角为 45°，则塔高 （ ）
A. B. C. D.
5. 某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如下图，数据的分组依次为 ，
， ， .若不低于 60 分的人数是 35 人，则该班的学生人数是（ ）
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A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
6. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 中， 分别为棱 的中点，
为棱 上的动点，且线段 的长度最小值为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为 5cm，12cm，高为 17cm，则该灯罩外接球的体
积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在 中， ， ， 所对 边长为 ， ， ， 的面积为 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下面四个命题中正确的是（ ）
A. 对应的点在第二象限
B. 若复数 ， 满足 ，则
C. 方程 在复数集内有两解 和
D. 已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应点的轨迹是圆
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10. 设 ， 是互相垂直的单位向量， ， ，下列选项正确的是（ ）
A. 若点 C 线段 AB 上，则
B. 若 ，则
C. 当 时，与 共线的单位向量是
D. 当 时， 在 上的投影向量为
11. 如图；正方体 棱长为 2， 是侧面 上的一个动点（含边界）；点 在棱
上；则下列结论正确的有（ ）
A. 若 ；沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为
B. 若 ，三棱锥 的外接球表面积为
C. 若 ； ，则点 的运动轨迹长度为
D. 若 ；平面 被正方体 截得截面面积为
三、填空题
12. 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且面积为 ，若 ，
，则角 等于______________
13. 如图所示，长方体 的底面 是正方形，其侧面展开图是边长为 8 的正方形，
分别是侧棱 上的动点，且 ， 在棱 上，且 ，若 平面 ，
则 ________.
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14. 南宋数学家秦九韶在 数书九章 中提出“三斜求积木”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，
自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设 中，a，b，c
分别为角 A，B，C 所对的边，S 为面积，则“三斜求积木”可用公式 表示．若
，且 ，则 面积的最大值为______．
三、解答题
15. 如图，已知四棱锥 ，底面 是 的菱形，又 平面 ，且
，点 分别是棱 的中点．
（1）证明： ∥平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
16. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ， ，求 c 和面积 S 的值．
17. 如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ，平面 平面
， ， 四棱锥 的体积为 .
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（1）求 长；
（2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 从下列三个条件中选择一个并解答问题：
① ；② ；
③ ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ABCD， ，
，M 为棱 PC 的中点．
（1）证明： 平面 PAD；
（2）若 ，
（i）求二面角 的余弦值；
（ii）在线段 PA 上是否存在点 Q，使得点 Q 到平面 BDM 的距离是 ？若存在，求出 PQ 的值；若不存
在，说明理由．
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