2026年山东省日照市高考数学一模试卷（含解析）

这是一份2026年山东省日照市高考数学一模试卷（含解析），共8页。
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．若向量，记，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知空间中三条直线，，与平面分别交于不同的三点，，，则“，，三点共线”是“直线，，共面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ）
A．120种B．144种C．240种D．288种
7．已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直于圆锥的底面，则该圆锥底面半径的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
8．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为，，，和，，，，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则（1）的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，5，7，8的分位数为2
B．若随机变量，且，则
C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点
D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
（多选）10．（6分）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的有（ ）
A．数据，，，，的平均数是
B．数据，，，，的平均数是
C．若，，则数据，，，，的中位数大于数据，，，，的中位数
D．若，，则数据，，，，的平均数大于数据，，，，的平均数
（多选）11．（6分）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线对称
B．
C．
D．记的最小值为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列为公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则 ．
13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为 ．
14．已知集合，2，3，，，从集合中随机抽取一个数记为，再从，，，中随机抽取一个数记为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求实数，，的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，，，等级系数为5的2件日用品记为，，现从，，，，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
16．（15分）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点．当直线的倾斜角为时，△是等边三角形．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：为定值．
17．（15分）在△中，角，，的对边分别为，，，，且．
（1）求的大小；
（2）如图所示，为△外一点，，，求△外接圆半径的长．
18．（17分）已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是，的中点，二面角为直二面角．
（1）证明：；
（2）设直线与平面所成角为，且，求的取值范围；
（3）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：．
19．（17分）设函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求的最大值；
（3）已知数列满足：
①；②且．
设，求证：．
注：．
参考答案
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
解：由得，则，
集合，
则．
故选：．
2．设复数满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
解：复数满足，
则，
故．
故选：．
3．若向量，记，则（ ）
A．B．C．D．
解：因为，
所以，
所以．
故选：．
4．已知空间中三条直线，，与平面分别交于不同的三点，，，则“，，三点共线”是“直线，，共面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：如图，空间中三条直线，，与平面分别交于不同的三点，，，
且，，三点共线，但直线，，不共面，
充分性不成立；
若直线，，共面，设其为，则，，均在平面内，也在平面内，
则，，在平面与的交线上，，，三点共线，
必要性成立；
“，，三点共线”是“直线，，共面”的必要不充分条件．
故选：．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
解：由可得，
对于，由于，，故错误，
对于，，由于，，故，，
故，则，故错误，
对于，由于，故，故错误，
对于，，由于，得，故．
故选：．
6．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ）
A．120种B．144种C．240种D．288种
解：已知食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，
则小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，
则不同的方案共有种．
故选：．
7．已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直于圆锥的底面，则该圆锥底面半径的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
解：如图所示，取，，，，，的中点，
记为，，，，，，易知六边形为正六边形，且平面，
又因为垂直于圆锥的底面，
所以当圆锥底面内切于正六边形时，圆锥的底面积最大，此时半径也达到最大值，且的中点在正六边形的中心，
设此时圆锥的半径为，
因为正方体的棱长为，
可得，
所以，
所以．
故选：．
8．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为，，，和，，，，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则（1）的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
解：由题知，（1）．
令，则可以表示为数轴上所对应的点到数轴上与所对应的点的距离的和．
由数轴上两点间距离的性质可知，当位于和之间时，取得最小值，即，
令，则，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以在处取得极小值也是最小值，（1），
所以，，即，，
所以（1）的最小值为1．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，5，7，8的分位数为2
B．若随机变量，且，则
C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点
D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
解：对于，因为，
所以数据的分位数为2，故正确；
对于，由正态分布的对称性可知，，
即，
解得，故错误；
对于，由回归方程的性质可知直线恒过样本中心，故正确；
对于，在独立性检验中，的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，故错误．
故选：．
（多选）10．（6分）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的有（ ）
A．数据，，，，的平均数是
B．数据，，，，的平均数是
C．若，，则数据，，，，的中位数大于数据，，，，的中位数
D．若，，则数据，，，，的平均数大于数据，，，，的平均数
解：是各项均为正数的等差数列，且公差，
设的前项和为，则，
所以数据，，，，的平均数是，故正确；
取为2，4，8，此时平均数为，故错误；
，，，，的中位数是，，，，，的中位数，
而，故正确；
数列的前项和为，
所以数列的前项和的平均数为，
数列是各项均为正数，且公比的等比数列，
所以，
所以的前项和，
所以数列的前项和的平均数小于，
由选项知，，所以数列的前项和的平均数比的前项和的平均数大，故正确．
故选：．
（多选）11．（6分）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线对称
B．
C．
D．记的最小值为，则
解：对于：由已知
，
令，，则，，
当时，，即曲线关于直线对称，因此正确；
对于
，
所以由，，得，因此错误；
对于：当时，
，
又恒成立，即，且，，
则，因此正确；
对于时，的最小值为，
时，设，则，，，
则，，
又，易知函数在，上单调递减，
且当时，，
即当时，，，即，；
当时，，，即，；
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数，即，
时也符合上式，所以，
令，，，，
所以在，上单调递减，且，
所以，
所以，因此正确．
故答案为：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列为公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则 4 ．
解：由数列为公差为2的等差数列，且，，成等比数列，
得，即，
解得．
故答案为：4．
13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为 ．
解：已知椭圆与抛物线有相同的焦点，
由焦点，得，
所以抛物线的方程为，准线为，
设点的横坐标为，根据抛物线的定义可得：
，得，代入抛物线方程可得，
设椭圆的左焦点为，
有，
故，
可得椭圆的离心率为．
故答案为：．
14．已知集合，2，3，，，从集合中随机抽取一个数记为，再从，，，中随机抽取一个数记为，则 ．
解：由题意可知，随机变量的取值为1，2，，，
由全概率公式有：
，
所以
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求实数，，的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，，，等级系数为5的2件日用品记为，，现从，，，，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解：（1）根据题意，若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，
则，，
则；
（2）根据题意，从，，，，这5件日用品中任取两件，
则，，，，，，，，，，
其中等级系数恰好相等的种，
故要求概率．
16．（15分）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点．当直线的倾斜角为时，△是等边三角形．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：为定值．
解：（1）设双曲线的焦距为，则可得，
当的倾斜角为时，不妨设，，如下图所示：
将点代入，可得，
又，
解得，
由△是等边三角形可得，
即，
联立解得或（舍，
所以可得，
故双曲线的标准方程为．
（2）证明：由（1）得，即，分两种情况讨论：
①当直线斜率不存在时，此时的方程为，代入双曲线得，
即过，
则，
②当直线斜率存在时，
设直线，不妨设，，，，
联立直线和双曲线方程，
消去得．
则，
计算可得，
代入韦达定理，结果化简得：，
因此，
即为定值．
17．（15分）在△中，角，，的对边分别为，，，，且．
（1）求的大小；
（2）如图所示，为△外一点，，，求△外接圆半径的长．
解：（1）在△中，，，
结合正弦定理，可得，
因为△中，，
所以，
化简得，
结合△中，，可得，即，
所以，即，
结合为三角形的内角，可得，；
（2）在△中，由正弦定理得，
结合，可得，
在△中，，，
在△中，，所以，
可得，
由余弦定理得，
即，
所以，
因为和均为锐角，正弦值为正，
所以，即，解得，
可得，
在△中，由正弦定理得，
解得，即△的外接圆半径为．
18．（17分）已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是，的中点，二面角为直二面角．
（1）证明：；
（2）设直线与平面所成角为，且，求的取值范围；
（3）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：．
【解答】（1）证明：由题意知，
又因为，是的中点，所以，
又因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
（2）解：在平面内作的垂线作为轴，所以轴，
如图以为坐标原点，分别以，为，轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为，设，
所以，0，，，0，，，，，，1，，，2，，
则，
所以，
．
设平面的法向量，
得，令，
则，0，，
可得直线的方向向量，，，
所以，，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
可得，，
解得．
所以长度的取值范围为；
（3）证明：设是四面体的表面积，则，
令与面所成角为，
则，
因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是，（取不到等号），
则，，
又因为，
所以，
所以．
即证得．
19．（17分）设函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求的最大值；
（3）已知数列满足：
①；②且．
设，求证：．
注：．
解：（1）由题函数，
因此，
故，
又，
故曲线在处的切线方程为；
（2）由题意，对任意恒成立，
因此，令，
因此，
令，
因此，其中，
令，即，解得，
下面证明时，在上恒成立，
令，注意到，
因此，注意到，
令，因此，
其中在上恒成立，令，
故，故在上单调递减，
其中（1），故在上恒成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
故，故在上单调递增，
，故，因此．
下面证明时，在上不成立，
若，，使得时，，在单调递减，
因此当时，，即，在单调递减，
因此时，
故在上不成立．
综上所述，的最大值为；
（3）证明：令，因此，，
，，，，，，均大于0，设，
因为，
因此，
若，上式不成立，因此，
由于在上单调递增，
故，，，
故为等差数列，首项和公差均为，故，，
故，，
由（2）当时，在上恒成立，
因此在上单调递增，由于，因此在上恒成立，
即，因此，
因此，
，
因为，，因此，，
因此，
因此
，因此．
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.45
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.45