日照市2026年高考数学四模试卷（含答案解析）

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
3．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．C．D．
4．若函数满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．
B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．
C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．
6．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )
A．5B．6C．7D．9
7．以，为直径的圆的方程是
A．B．
C．D．
8．已知函数满足，设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
11．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．7B．14C．28D．84
12．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.
14．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．
15．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
16．已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，，， .求边上的高.
①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
18．（12分）已知函数．
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若,且,求证：．
19．（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.
（1）试估计的值；
（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.
①求的数学期望和方差；
②若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.
附：
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；
②若，则，，.
20．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.
21．（12分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点.
（1）求证：直线与椭圆相切；
（2）判断是否为定值，并说明理由.
22．（10分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.
【详解】
为上的奇函数，
，
而函数是上的偶函数，，
，
故为周期函数，且周期为
故选：B
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.
2．C
【解析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.
【详解】
最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.
3．C
【解析】
联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】
依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4．A
【解析】
由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.
【详解】
函数满足，，即，
，，，即，
，则，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.
，
由于函数在区间上为增函数，
所以，当时，取得最小值.
故选：A.
本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．C
【解析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】
对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；
对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；
对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；
对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.
故选：C.
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
6．A
【解析】
由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，
从而得出的最大值.
【详解】
因为，
则，即
整理得，令，
设，
则，
令,则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，则，
因为，，
由题可知：时，则，所以，
所以，
当无限接近时，满足条件，所以，
所以要使得
故当时，可有，
故，即，
所以：最大值为5.
故选：A.
本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.
7．A
【解析】
设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为，
由题意得圆心为，的中点，
根据中点坐标公式可得，，
又，所以圆的标准方程为：
，化简整理得，
所以本题答案为A.
本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.
8．B
【解析】
结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：若，则，即成立，
若，则由，得，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．
9．D
【解析】
双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D.
10．A
【解析】
求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.
【详解】
由，得，所以，所以.
故选：A
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
11．D
【解析】
利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解
【详解】
，
解得．
．
故选：D
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
12．C
【解析】
由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.
【详解】
由，所以，对应点.
故选：C
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3
【解析】
在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解.
【详解】
设，，
则
，
故.
故答案为：3
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
14．
【解析】
设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．
【详解】
由题意，如图所示，设，则，
又由，，所以为的中点，为的三等分点，
则，，
所以
．
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
15．
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：
因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
16．
【解析】
设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围.
【详解】
设，直线AB的参数方程为，(为参数)
代入圆，
化简得：，
，
，
，
存在点，使得，
，即，
，
，
，
故答案为：
本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．详见解析
【解析】
选择①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高.
选择②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高.
选择③，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高.
【详解】
选择①，在中，由正弦定理得，
即，解得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择②，在中，由正弦定理得，
又因为，所以，即；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择③，在中，由，得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.
18． (Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．
【详解】
(Ⅰ) 的定义域为且
令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减
函数的极大值为，无极小值
(Ⅱ)，
，即
由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减
且，则
要证，即证，即证，即证
即证
由于，即，即证
令
则
恒成立 在递增
在恒成立
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．
19．（1）
（2）①，,②72
【解析】
（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；
（2）①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；
②先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.
【详解】
（1）平均时间为（分钟）
∴
（2）①∵，
∴，
②∵，，∴
∵，，
∴
∴
即最佳时间长度为72分钟.
本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.
20．
【解析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵
【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得，，，.因此矩阵
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
21．（1）证明见解析；（2）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据判别式即可证明．
（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，
【详解】
解：（1）当时直线方程为或，直线与椭圆相切.
当时，由得，
由题知，，即，
所以.
故直线与椭圆相切.
（2）设，，
当时，，，，
所以，即.
当时，由得，
则，，
.
因为

.
所以，即.故为定值.
本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式对任意实数恒成立，等价于，解不等式即可求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得成立，所以.
故不等式的解集为.
（Ⅱ）因为，
由题意得，则，
解得，
故的取值范围是.
亮灯时长/
频数
10
20
40
20
10