2026年人教A版高中数学必修第二册第十章检测试卷解析版

这是一份2026年人教A版高中数学必修第二册第十章检测试卷解析版，共8页。
第十章过关检测(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是(　　)A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为35,则比赛5场,甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%答案:D2.口袋中有100个大小质地相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为(　　)A.0.45B.0.67C.0.64D.0.32答案:D解析:摸出红球的概率为45100=0.45,因为摸出红球、摸出白球和摸出黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32.3.从1,2,…,9中任取两数,下列事件是对立事件的是(　　)A.恰有一个偶数和恰有一个奇数B.至少有一个是奇数和两个数都是奇数C.至少有一个奇数和两个数都是偶数D.至少有一个奇数和至少有一个偶数答案:C解析:从1,2,…,9中任取两数包括“一奇一偶”“两个奇数”“两个偶数”,只有C中的两个事件是对立事件.4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为(　　)A.0.2B.0.8C.0.4D.0.7答案:A解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿,共有10种情况,它们的长度恰好相差0.3 m的是(2.5,2.8),(2.6,2.9)两种,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率P=210=0.2.5.甲、乙两人同时参加某次英语考试,他们达到优秀的概率分别为0.6,0.7,则甲、乙两人至少有一人达到优秀的概率为(　　)A.0.42B.0.28C.0.18D.0.88答案:D解析:由于甲、乙两人考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,则他们考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3.由于两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12,所以甲、乙两人至少有一人达到优秀的概率为1-0.12=0.88.6.甲、乙、丙三名学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲答题及格的概率为45,乙答题及格的概率为35,丙答题及格的概率为710,三人各答题一次.则三人中只有一人及格的概率为(　　)A.320B.42135C.47250D.以上都不对答案:C解析:由题意可得仅甲及格的概率为45×1-35×1-710=24250,仅乙及格的概率为1-45×35×1-710=9250,仅丙及格的概率为1-45×1-35×710=14250,所以三人中只有一人及格的概率为24250+9250+14250=47250.7.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车.某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆.则他乘坐上等车的概率为(　　)A.12B.15C.110D.112答案:A解析:共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车),所以他乘坐上等车的概率为36=12.8.若一个三位数的各位数字互不相同,且各位数字之和等于10,则称此三位数为“十全十美三位数”(如235),任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为(　　)A.1320B.720C.12D.512答案:C解析:任取一个“十全十美三位数”,试验的样本空间Ω={109,190,901,910,127,172,217,271,712,721,136,163,316,361,613,631,145,154,415,451,514,541,208,280,802,820,235,253,325,352,523,532,307,370,703,730,406,460,604,640},共包含40个样本点.其中为奇数的样本点有20个.所以任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为2040=12.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.中国篮球职业联赛中,某运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表:记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(　　)A.P(A)=0.55B.P(B)=0.18C.P(A+B)=0.55D.P(B+C)=0.45答案:ABD解析:由题意可知,P(A)=55100=0.55,P(B)=18100=0.18,事件A+B与事件C互为对立事件,且事件A,B,C互斥,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.73,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)= 0.27,P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45.故选ABD.10.抛掷两枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:A=“至少一枚点数为1”,B=“两枚骰子点数一奇一偶”,C=“两枚骰子点数之和为8”,D=“两枚骰子点数之和为偶数”,下列结论正确的是(　　)A.C⊆DB.B与D为对立事件C.A与D相互独立D.A与C为互斥事件答案:ABD解析:根据题意,用数对(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)表示抛掷两枚质地均匀的骰子的样本点,共包含36个样本点.事件A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(6,1),(5,1),(4,1),(3,1),(2,1)},共11个样本点.事件B={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4), (5,6),(6,1),(6,3),(6,5)},共18个样本点.事件C={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},共5个样本点.事件D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1), (5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)},共18个样本点.由于事件C中的样本点均在事件D中,则C⊆D,故A正确;由于B∩D=⌀,B∪D=Ω,则B与D为对立事件,故B正确;因为P(A)=1136,P(D)=1836=12,事件AD={(1,1),(1,3),(1,5),(5,1),(3,1)},共5个样本点,则P(AD)=536,显然P(AD)≠P(A)·P(D),则A与D不相互独立,故C不正确;因为A∩C=⌀,则A与C为互斥事件,故D正确.故选ABD.11.以下对各事件发生的概率判断正确的是(　　)A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13B.每个大于2的偶数都可以表示为2个素数的和,例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取2个不同的数,其和等于14的概率为115C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是536D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是12答案:BCD解析:对于A选项,画树形图如下:从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=13,故玩一局甲不输的概率是23,故A中概率判断错误;对于B选项,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)},则n(Ω)=15,其中和等于14的只有(3,11),所以在不超过14的素数中随机选取2个不同的数,其和等于14的概率为115,故B中概率判断正确;对于C选项,所有可能出现的结果共有6×6=36种,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种,则所求概率是536,故C中概率判断正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率P=36=12,故D中概率判断正确.故选BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.甲、乙两名象棋选手在一次比赛中,甲胜的概率比乙胜的概率高0.05,和棋的概率为0.59,则乙胜的概率为　　　　　. 答案:0.18解析:设乙胜的概率为P,则甲胜的概率为P+0.05,又已知和棋的概率为0.59,故P+P+0.05+0.59=1,解得P=0.18.13.某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为45,56,23,且三个项目是否成功相互独立,则至少有一个项目成功的概率为　　　　　. 答案:8990解析:记事件A=“至少有一个项目成功”,则P(A)=15×16×13=190,所以P(A)=1-P(A)=1-190=8990.14.先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子,将得到的点数分别记为a,b.将a,b,5分别作为三条线段的长,则这三条线段能构成等腰三角形的概率是　　　　　. 答案:718解析:样本点的总数为6×6=36.因为三角形的一边长为5,所以当a=1时,b=5符合题意,有1种情况;当a=2时,b=5符合题意,有1种情况;当a=3时,b=3或5符合题意,有2种情况;当a=4时,b=4或5符合题意,有2种情况;当a=5时,b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意,有6种情况;当a=6时,b=5或6符合题意,有2种情况.故满足条件的不同情况共有14种,所求概率为1436=718.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)经统计,在某政务大厅一个窗口排队等候的人数及相应概率如下:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?解:设事件A=“有0人等候”,事件B=“有1人等候”,事件C=“有2人等候”,事件D=“有3人等候”,事件E=“有4人等候”,事件F=“有5人及5人以上等候”,则易知A,B,C,D,E,F互斥.(1)设事件G=“至多2人排队等候”,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)设事件H=“至少3人排队等候”,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.16.(15分)某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为23,科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.(1)求他不需要补考就获得证书的概率;(2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求他参加4次考试的概率.解:设事件A1=“科目A第一次考试合格”,事件A2=“科目A补考合格”;事件B1=“科目B第一次考试合格”,事件B2=“科目B补考合格”.(1)记事件C=“不需要补考就获得证书”,则C=A1B1,且A1与B1相互独立,故P(A1B1)=P(A1)P(B1)=23×12=13.(2)设事件D=“参加4次考试”,则D=A1A2B1,且A1,A2,B1相互独立,P(D)=P(A1A2B1)=P(A1)·P(A2)P(B1)=13×23×12=19.17.(15分)为响应绿色出行,某市推出新能源租赁汽车.每次租车收费的标准由两部分组成:①里程计费:1元/千米;②时间计费:0.12元/分.已知陈先生的家离上班的公司12千米,每天上下班租用该款汽车各一次.将路上开车所用的时间记为t(单位:分),现统计了50次路上开车所用时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:将各时间段发生的频率视为概率,将路上开车所用的时间视为用车时间,区间为[20,60).(1)估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分的概率;(2)若公司每月发放800元的交通补助费用,请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车(每月按22天计算),并说明理由(任一时段用该区间的中点值作代表).解:(1)设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分”为事件A,则所求的概率P(A)=1-P(A)=1-1250=1925,因此陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分的概率为1925.(2)每次开车所用的平均时间为25×1250+35×2850+45×850+55×250=35(分),每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12+0.12×35=16.2(元),每个月的费用为16.2×2×22=712.8(元),712.8