云南省昭通市2026届高三下学期3月第二次统一测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份云南省昭通市2026届高三下学期3月第二次统一测试数学试卷含解析（word版+pdf版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知全集 ，集合 ， 是偶数 ，则
A. B. C. D.
【答案】B(人教 A 版必修一 1.3 集合的基本运算 13 练习 T1)
【解析】由题意 ，所以 .
2. 已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D(人教 A 版必修二第七章复数 P95 复习参考题 T7)
【解析】 ,对应点的坐标为 在复平面内对应的点位于第四象限.
3.已知 是 的边 上的点，且 ，则
A. B. C. D.
【答案】B(人教 A 版必修二第六章平面向量及其应用 P36 习题 6.3T1)
【解析】 , ,又 .
4.现有一个迷宫如图 1 所示，小球 从 、 、 任意一处滚动进入后，该处封闭，小球最终将从另一处滚动出来，出来后不再滚动进入，则 “小球 从 处滚动进入” 是 “小球 从 处滚动出来” 的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若小球 从 处滚动进入，则一定从 处滚动出来. 若小球 从 处滚动出来，可能是从 处或 处滚动进入，所以 “小球 从 处滚动进入” 是 “小球 从 处滚动出来” 的充分不必要条件.
5.已知 是两个平面, 是两条直线,则下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
【答案】D(人教 A 版必修二第八章 8.4 空间中点、线、面的位置关系 P171 复习参考题 8T16)
【解析】对于 ,当直线 在平面内时,不符合,故 选项错误;
对于 ,直线 还可以和平面 平行或包含于 ,故 选项错误;
对于 ,直线 和平面 内的两条相交直线垂直时,才可得到线面垂直,所以 选项错误;
对于 ,则平面 内存在与 平行的直线,且这条直线也垂直于 ,根据面面垂直判定定理可得 .
6.已知双曲线 的渐近线与以 为圆心,面积为 的圆相切,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C(人教 A 版选择性必修一第三章 3.2 双曲线 P127 练习 T3)
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ,且由圆的面积为 可得圆的半径 ,
又 渐近线与圆 相切, 圆心 到直线 的距离 ,
即 ,化简得 ,
又因为 ,所以 ,故离心率 .
7.设随机变量 的分布列为
其中 . 若 ,则
A. B. C. D.
【答案】A(人教 A 版选择性必修三第七章 7.3 离散型随机变量的数字特征 P66T1)
【解析】由题, ,
已知 ,代入得: ,
故 ,
代入 得: .
8.已知锐角 满足 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C(人教 A 版必修一 2.2 基本不等式 P45 例 2; 5.5 三角恒等变换 P229 习题 5.5T9)
【解析】 ,则 ,
令 , ,则 ,即 ,
于是 ,当且仅当 “ ”, 即 时 “=” 成立,
的最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.函数 的最大值为 4,则
A.
B. 图象关于点 中心对称
C. 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
D. 在 上的值域为
【答案】ABD
【解析】对于 的最大值为 ,所以选项 正确;
对于 的对称中心为 ,当 时为 ,所以选项 B 正确;
对于 ,将 的图象向左平移 个单位长度,得到 ,所以选项 C 错误;
对于 ,由 得 ,则 ,所以选项 D 正确.
10.函数 ,下列结论正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则 的极大值点为
C. 当 时, 有 3 个零点 D. 若 ,则
【答案】AD
【解析】对于 ,由 得 ,选项 正确;
对于 ,由 , 方程 的判别式 方程 的两根为 ,当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,所以 的极大值点为 ,所以选项 不正确;
对于 , 当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,当 时 ,当 时 ,所以 有一个零点,选项 不正确;
对于 , 当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,由 可得 ,即 ,则 ,故选项 正确.
11.已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 交于 两点,其中 ,则
A. 直线 的斜率为 B. 点 到 轴的距离为 6
C. 的面积为 D. 直线 的倾斜角为 或
【答案】BCD
【解析】由抛物线 的焦点为 ,得抛物线 , ,
由对称性,不妨令点 在第一象限,连接 并延长交抛物线于点 ,连接 并延长交抛物线于点 ,直线 ,
由 消去 得 ,则 ,即 ,
直线 ,由 ,则 ,
即 ,因此 , 点 与 关于 轴对称,则 ,
同理得,点 与 关于 轴对称, , 由 与 关于 轴对称,
得 平分 ,则 ,而 , 且 ,
则 ,于是 ,
直线 的斜率 ,
直线 ,由 消去 得 ,
而 ,解得 ,则 ,
点 ,
对于 ,直线 的斜率为 ,由对称性知, 也是直线 的斜率，故 错误；
对于 ，点 或 到 轴的距离均为 6， 故 B 正 确 ;
对 于 C , 由 ,得 ，故 C 正确；
对于 ,直线 的倾斜角 ,由对称性知, 也是直线 的倾斜角,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】因为 ,所以 . 又 ,所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 .
13.记 的面积为 ， 的外接圆半径为 ，且 ，则 _______.
【答案】4
【解析】由正弦定理 ( 为 的外接圆半径),且 的外接圆半径为 ,得 ,代入 ,得 . 由余弦定理得 ,又 ,所以 ,化简得 ,因为 ,所以 .
14.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体, “勒洛四面体” 就是其中之一. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心, 以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分. 如图 2, 若正四面体 的棱长为 ,则对应的勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为________.
【答案】
【解析】如图所示: 设 为底面的中心, 为其外接球的球心,半径为 , 由勒洛四面体和正四面体的对称性知: 为勒洛四面体内切球的球心,由题意,勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去 , 则 , 在 Rt 中, ,解得 ,所以该勒洛四面体内切球的半径是 该勒洛四面体内切球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知点 在函数 上，记数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ，求数列 的前 2026 项和 .
【解析】(1) 点 在函数 上, ,即 ,
, (2 分)
当 时, ;
当 时, ,
经验证当 时,上式成立, (5 分)
数列 的通项公式为 . (6 分)
(2)由(1)得 ，
(9 分)
设数列 的前 2026 项和为 ,
. (13 分)
16.新型 AI 模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具, 通过创新神经网络结构, 优化传统模型难以处理的高噪声数据. 实验人员用含噪声的图象数据对一种新型 AI 降噪模型进行实验,对使用该模型后,图象中的噪声残留量 (单位: 个/像素) 进行检测, 统计得到下表:
并计算得: .
(1)计算变量 (迭代轮数) 和变量 (噪声残留量) 的样本相关系数 ，并说明两变量线性的相关程度;
(2)若图象中的噪声残留量不高于 25 个/像素，则说明数据降噪完成. 用最小二乘法求 关于 的经验回归方程,并预测该 AI 模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪? 参考数据及公式:
样本数据 的相关系数 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计值分别为: ,
【解析】(1) ,
,
又 .
,
非常接近 两变量线性的相关程度很强. (6 分)
(2)由题意， ,
关于 的经验回归方程为 ,
令 ,解得 ,
所以至少需要迭代 7 轮才可以完成降噪. (15 分)
17.如图,在四棱锥 中, .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的正弦值.
【解析】
(1)证明:取 的中点 ，连接 、 ，
因为 ，
所以 ,
又 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,
所以 ,所以 ,即 ,
又 ,且 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .(7 分)
(2)解:由题意，四边形 为等腰梯形，取 的中点 ，连接 ，
则 且 ,
如图,以 为坐标原点, 所在直线分别为 , 轴建立空间直角坐标系,
则 , 所以 ,又 ,
,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
所以 取 ,
取平面 的一个法向量为 ，设平面 与平面 的夹角为 ，
,
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 .(15 分)
18.已知点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比为 .
(1)求 的轨迹方程 ；
(2)过点 的直线与 交于 两点，记 (O 为坐标原点)的面积为 ，过线段 的中点 作直线 的垂线,垂足为 ,设直线 的斜率分别为 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 求证: 为定值.
【解析】(1) 解: 由题意,设点 ,
又点 到 的距离为 ,得 ,
所以 的方程为 . (4 分)
(2)(i)解:易知右焦点为 . 设直线 的方程为 ， ， ， 中点 ,
联立 消去 ,得 ,
所以 ,
且 , (6 分)
可得 ,(7 分)
令 ,则 ,
所以 ,由对勾函数的性质可得 在 时单调递增,
所以 ,即 的取值范围为 . (10 分)
(ii) 证明: 方法一: 易知 ,所以 , 可得 . (12 分)
所以
因此 ,为定值. (17 分)
方法二: 不妨令 ,由题知 ,
所以
,
因此 ,为定值. (17 分)
19.帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法. 给定两个正整数 ,函数 在 处的 阶帕德近似定义为: , 且满足: . 注: 已知 在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数 的值；
(2)当 时，试比较 与 的大小，并证明；
(3)已知正项数列 满足: ， ，证明: .
【解析】(1)解:由题得 ,
,故 ,
解得 . (4 分)
(2)解:由上可得 ，要比较 与 的大小，
由 ，只需比较 1 与 的大小，
令 ,
,从而可得 在 上单调递增,
,即 ,
. (9 分)
(3) 证明: 设 ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
故 ,即 ,当且仅当 时等号成立;
由题意知 ,令 ,
故该函数在 上递减,故可得 ,即 ,可得 ;
一方面: 由 (2) 可得 ,又 ,
,即 ,即 ,
即 ,故 ,即 .
另一方面: 要证明 ,
两边同时除以 ,
令 ,
由基本不等式, ,
故 ,所以 在 单调递增,
所以 ,得证. (17 分)1
2
第 轮迭代
1
2
3
4
5
噪声残留量 (个/像素)
70
60
52
45
38